Bài học

Khai phương một thương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng quy tắc khai phương một thương $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ (với $a\ge0$ , $b>0$ ) để tính và rút gọn các căn thức chứa phép chia.

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng đúng quy tắc khai phương một thương $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ (với $a\ge0$, $b>0$) để tính và rút gọn các căn thức chứa phép chia.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em quy tắc khai phương một tích $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ . Bài này hỏi một câu tương tự nhưng cho phép chia: với $a\ge0,b>0$ , liệu $\sqrt{a/b}$ có tách được thành $\sqrt a/\sqrt b$ hay không? Em cũng cần nhớ vì sao mẫu số của một phân số không bao giờ được bằng 0, và cách rút gọn một phân số thường (chia cả tử và mẫu cho ước chung) — thao tác đó sẽ lặp lại y hệt bên trong dấu căn. Bài trước đã cho em công cụ khai phương MỘT TÍCH; bài này đặt câu hỏi tương tự cho phép chia, và câu trả lời hóa ra không hoàn toàn giống hệt.

Bài trước đã cho em quy tắc khai phương một tích $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$. Bài này hỏi một câu tương tự nhưng cho phép chia: với $a\ge0,b>0$, liệu $\sqrt{a/b}$ có tách được thành $\sqrt a/\sqrt b$ hay không? Em cũng cần nhớ vì sao mẫu số của một phân số không bao giờ được bằng 0, và cách rút gọn một phân số thường (chia cả tử và mẫu cho ước chung) — thao tác đó sẽ lặp lại y hệt bên trong dấu căn. Bài trước đã cho em công cụ khai phương MỘT TÍCH; bài này đặt câu hỏi tương tự cho phép chia, và câu trả lời hóa ra không hoàn toàn giống hệt.

Khởi động

Tính $\sqrt{16}\div\sqrt4$ : được $4\div2=2$ . Bây giờ tính $\sqrt{16\div4}$ : $16\div4=4$ , và $\sqrt4=2$ . Lại cùng một kết quả — nhưng lần này mẫu số $b$ còn thêm một ràng buộc mà phép nhân không có. Đó là ràng buộc gì, và tại sao phép chia lại khắt khe hơn phép nhân ở đúng chỗ này?

Tính $\sqrt{16}\div\sqrt4$: được $4\div2=2$. Bây giờ tính $\sqrt{16\div4}$: $16\div4=4$, và $\sqrt4=2$. Lại cùng một kết quả — nhưng lần này mẫu số $b$ còn thêm một ràng buộc mà phép nhân không có. Đó là ràng buộc gì, và tại sao phép chia lại khắt khe hơn phép nhân ở đúng chỗ này?

Kiến thức trọng tâm

Với $a\ge0$ và $b>0$ , ta luôn có $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ . Quy tắc này gọi là khai phương một thương. Để ý điều kiện của $b$ khắt khe hơn điều kiện của $a$ : $b$ phải THỰC SỰ DƯƠNG ( $b>0$ ), không chỉ không âm — vì $b$ đứng ở mẫu, nếu $b=0$ thì phép chia không còn nghĩa, chưa nói gì đến việc khai căn nó. Điều kiện của $a$ thì giữ nguyên như phép nhân: chỉ cần $a\ge0$ là đủ, kể cả $a=0$ (vì $\sqrt0=0$ vẫn hợp lệ).

Với $a\ge0$ và $b>0$, ta luôn có $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$. Quy tắc này gọi là **khai phương một thương**. Để ý điều kiện của $b$ khắt khe hơn điều kiện của $a$: $b$ phải THỰC SỰ DƯƠNG ($b>0$), không chỉ không âm — vì $b$ đứng ở mẫu, nếu $b=0$ thì phép chia không còn nghĩa, chưa nói gì đến việc khai căn nó. Điều kiện của $a$ thì giữ nguyên như phép nhân: chỉ cần $a\ge0$ là đủ, kể cả $a=0$ (vì $\sqrt0=0$ vẫn hợp lệ).

Giống bài trước, quy tắc đọc được theo hai chiều: đọc xuôi để tính nhanh $\sqrt{a/b}$ khi $a/b$ ra một số chính phương gọn (như $50/2=25$ ); đọc ngược để gộp một phép chia hai căn thức thành một căn thức duy nhất của thương, dễ tính hơn nhiều so với tính riêng từng căn rồi mới chia.

Giống bài trước, quy tắc đọc được theo hai chiều: đọc xuôi để tính nhanh $\sqrt{a/b}$ khi $a/b$ ra một số chính phương gọn (như $50/2=25$); đọc ngược để gộp một phép chia hai căn thức thành một căn thức duy nhất của thương, dễ tính hơn nhiều so với tính riêng từng căn rồi mới chia.

Chiều đọc xuôi còn dùng để rút gọn một phân số nằm dưới một dấu căn duy nhất: với $\sqrt{\dfrac{18}{8}}$ , trước hết rút gọn phân số bên trong ( $\dfrac{18}{8}=\dfrac94$ ), rồi mới khai căn: $\sqrt{\dfrac94}=\dfrac32$ . Rút gọn phân số trước khi khai căn luôn cho số nhỏ hơn, dễ tính hơn so với khai căn tử và mẫu còn cồng kềnh rồi mới rút gọn kết quả.

Chiều đọc xuôi còn dùng để rút gọn một phân số nằm dưới một dấu căn duy nhất: với $\sqrt{\dfrac{18}{8}}$, trước hết rút gọn phân số bên trong ($\dfrac{18}{8}=\dfrac94$), rồi mới khai căn: $\sqrt{\dfrac94}=\dfrac32$. Rút gọn phân số trước khi khai căn luôn cho số nhỏ hơn, dễ tính hơn so với khai căn tử và mẫu còn cồng kềnh rồi mới rút gọn kết quả.

Cũng như bài trước, hai chiều đọc của quy tắc phục vụ hai mục đích khác nhau: chiều xuôi (gộp thành thương rồi rút gọn) hợp với những bài chỉ có số cụ thể; chiều ngược (tách tử và mẫu thành hai căn riêng) hợp hơn khi biểu thức chứa ẩn, vì lúc đó ta cần xử lý dấu của tử và mẫu một cách độc lập trước khi kết hợp lại.

Một cách luyện phản xạ tương tự bài trước: khi gặp một thương như $\dfrac{a}{b}$ dưới dấu căn, thử xem chính thương đó (sau khi rút gọn) có phải là một số chính phương hay một phân số có tử và mẫu đều là số chính phương hay không. Với $\sqrt{\dfrac{45}{5}}$ , tính ngay $\dfrac{45}{5}=9$ rồi khai căn ra 3, nhanh hơn nhiều so với việc tách riêng tử và mẫu ra hai căn thức phức tạp.

Một cách luyện phản xạ tương tự bài trước: khi gặp một thương như $\dfrac{a}{b}$ dưới dấu căn, thử xem chính thương đó (sau khi rút gọn) có phải là một số chính phương hay một phân số có tử và mẫu đều là số chính phương hay không. Với $\sqrt{\dfrac{45}{5}}$, tính ngay $\dfrac{45}{5}=9$ rồi khai căn ra 3, nhanh hơn nhiều so với việc tách riêng tử và mẫu ra hai căn thức phức tạp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn một thương dưới dấu căn

1
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac{50}{2}}$ .
Đơn giản hoá $\sqrt{\dfrac{50}{2}}$.
2
$\dfrac{50}{2}=25$ , nên $\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}$ .
$\dfrac{50}{2}=25$, nên $\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}$.
3
$\sqrt{25}=5$ .
$\sqrt{25}=5$.
4
$\sqrt{\dfrac{50}{2}}=5$ .
$\sqrt{\dfrac{50}{2}}=5$.

Ví dụ

Gộp một phép chia hai căn thức thành một căn thức

1
Tính $\sqrt{98}:\sqrt2$ .
Tính $\sqrt{98}:\sqrt2$.
2
Vì $98\ge0$ , $2>0$ : $\sqrt{98}:\sqrt2=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}$ .
Vì $98\ge0$, $2>0$: $\sqrt{98}:\sqrt2=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}$.
3
$\sqrt{49}=7$ .
$\sqrt{49}=7$.
4
$\sqrt{98}:\sqrt2=7$ .
$\sqrt{98}:\sqrt2=7$.

Ví dụ

Rút gọn căn thức chứa ẩn khi biết dấu

1
Rút gọn $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}$ với $x<0$ .
Rút gọn $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}$ với $x<0$.
2
Vì $4x^2\ge0$ và $25>0$ : $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}=\dfrac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{2|x|}{5}$ .
Vì $4x^2\ge0$ và $25>0$: $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}=\dfrac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{25}}=\dfrac{2|x|}{5}$.
3
Vì $x<0$ nên $|x|=-x$ . (1)
Vì $x<0$ nên $|x|=-x$. (1)
4
$\dfrac{2|x|}{5}=\dfrac{2(-x)}{5}=\dfrac{-2x}{5}$ .
$\dfrac{2|x|}{5}=\dfrac{2(-x)}{5}=\dfrac{-2x}{5}$.
5
Vậy với $x<0$ , ta có $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}=\dfrac{-2x}{5}$ .
Vậy với $x<0$, ta có $\sqrt{\dfrac{4x^2}{25}}=\dfrac{-2x}{5}$.

Ví dụ

Phối hợp hai lần khai phương một thương trong cùng một biểu thức

1
Rút gọn $D=\sqrt{200}:\sqrt2-\sqrt{98}:\sqrt2$ .
Rút gọn $D=\sqrt{200}:\sqrt2-\sqrt{98}:\sqrt2$.
2
$\sqrt{200}:\sqrt2=\sqrt{200:2}=\sqrt{100}$ ; $\sqrt{98}:\sqrt2=\sqrt{98:2}=\sqrt{49}$ .
$\sqrt{200}:\sqrt2=\sqrt{200:2}=\sqrt{100}$; $\sqrt{98}:\sqrt2=\sqrt{98:2}=\sqrt{49}$.
3
$\sqrt{100}=10$ ; $\sqrt{49}=7$ .
$\sqrt{100}=10$; $\sqrt{49}=7$.
4
$D=10-7=3$ .
$D=10-7=3$.
5
Vậy $D=3$ .
Vậy $D=3$.

Bốn ví dụ trên lặp lại đúng nhịp độ của bài trước: một phép chia số đơn giản, một phép chia gộp thành căn duy nhất, một trường hợp có ẩn kèm điều kiện dấu, và một biểu thức phối hợp nhiều bước — luyện đúng thứ tự này trước khi làm bài tập độc lập bên dưới.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ nhớ " $b\ge0$ " cho mẫu số như với phép nhân, quên rằng phép chia còn cần $b>0$ THỰC SỰ (mẫu khác 0). Ghi $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ mà không kiểm tra $b\ne0$ có thể dẫn đến một biểu thức vô nghĩa bị coi là hợp lệ. Lỗi thứ hai: nhầm thứ tự chia — viết $\sqrt{98}:\sqrt2$ thành $\sqrt{2:98}$ thay vì $\sqrt{98:2}$ , làm đảo ngược hoàn toàn kết quả. Lỗi thứ ba, cũng rất phổ biến: quên rằng $\sqrt{a}:\sqrt{b}$ và $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ dùng hai quy tắc khác nhau (thương và tích), rồi áp nhầm công thức của bài trước sang bài này.

Nhiều bạn chỉ nhớ \"$b\ge0$\" cho mẫu số như với phép nhân, quên rằng phép chia còn cần $b>0$ THỰC SỰ (mẫu khác 0). Ghi $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ mà không kiểm tra $b\ne0$ có thể dẫn đến một biểu thức vô nghĩa bị coi là hợp lệ. Lỗi thứ hai: nhầm thứ tự chia — viết $\sqrt{98}:\sqrt2$ thành $\sqrt{2:98}$ thay vì $\sqrt{98:2}$, làm đảo ngược hoàn toàn kết quả. Lỗi thứ ba, cũng rất phổ biến: quên rằng $\sqrt{a}:\sqrt{b}$ và $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ dùng hai quy tắc khác nhau (thương và tích), rồi áp nhầm công thức của bài trước sang bài này.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với $a\ge0$ , $b>0$ : $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ — nhớ mẫu $b$ phải dương thực sự, không chỉ không âm như thừa số trong phép nhân. Nếu phân số bên trong chưa tối giản, hãy rút gọn nó trước khi khai căn. Khi biểu thức phối hợp nhiều thương liên tiếp, gộp và rút gọn từng thương một trước khi cộng trừ kết quả với nhau, và luôn kiểm tra lại đáp số bằng cách nhân ngược trước khi kết luận. Bài sau sẽ cần cả bốn công cụ đã học đến đây.

Với $a\ge0$, $b>0$: $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ — nhớ mẫu $b$ phải dương thực sự, không chỉ không âm như thừa số trong phép nhân. Nếu phân số bên trong chưa tối giản, hãy rút gọn nó trước khi khai căn. Khi biểu thức phối hợp nhiều thương liên tiếp, gộp và rút gọn từng thương một trước khi cộng trừ kết quả với nhau, và luôn kiểm tra lại đáp số bằng cách nhân ngược trước khi kết luận. Bài sau sẽ cần cả bốn công cụ đã học đến đây.

Em đã có đủ ba công cụ cho các số thực không âm: định nghĩa $\sqrt a$ , hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$ , và hai quy tắc khai phương tích/thương. Bài sau giới thiệu một loại căn thức khác hẳn — không đòi hỏi số dưới dấu căn phải không âm.

Em đã có đủ ba công cụ cho các số thực không âm: định nghĩa $\sqrt a$, hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$, và hai quy tắc khai phương tích/thương. Bài sau giới thiệu một loại căn thức khác hẳn — không đòi hỏi số dưới dấu căn phải không âm.