Bài học

Ôn tập tổng hợp: Dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng đồng thời các công thức $x(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , $T$ , $f$ , $\omega$ để giải trọn vẹn một bài toán tổng hợp về dao động điều hòa — từ một mô tả hoặc đồ thị ban đầu, tính ra mọi đại lượng còn lại tại một thời điểm bất kỳ, đúng kiểu một câu hỏi ôn tập giữa kì.

Sau bài này, em vận dụng đồng thời các công thức $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$, $T$, $f$, $\omega$ để giải trọn vẹn một bài toán tổng hợp về dao động điều hòa — từ một mô tả hoặc đồ thị ban đầu, tính ra mọi đại lượng còn lại tại một thời điểm bất kỳ, đúng kiểu một câu hỏi ôn tập giữa kì.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không đưa thêm kiến thức mới — toàn bộ nội dung dưới đây chỉ ráp lại những gì sáu bài trước đã dạy: định nghĩa dao động điều hòa (bài 1), phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ (bài 2), ba công thức $T$ , $f$ , $\omega$ (bài 3), phương trình vận tốc (bài 4), phương trình gia tốc và hệ thức $a = -\omega^2 x$ (bài 5), và kỹ năng đọc đồ thị (bài 6).

Bài này không đưa thêm kiến thức mới — toàn bộ nội dung dưới đây chỉ ráp lại những gì sáu bài trước đã dạy: định nghĩa dao động điều hòa (bài 1), phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ (bài 2), ba công thức $T$, $f$, $\omega$ (bài 3), phương trình vận tốc (bài 4), phương trình gia tốc và hệ thức $a = -\omega^2 x$ (bài 5), và kỹ năng đọc đồ thị (bài 6).

Khởi động

Một đề kiểm tra thường không hỏi riêng lẻ từng công thức — nó cho MỘT tình huống rồi hỏi liên tiếp nhiều đại lượng khác nhau: viết phương trình, tính tốc độ cực đại, rồi tính li độ tại một thời điểm cụ thể. Bài này luyện đúng cách làm việc đó: đi từ một điểm xuất phát, suy ra toàn bộ bức tranh còn lại.

Tổng hợp kiến thức

Sơ đồ mối liên hệ giữa ba đại lượng, tất cả đều dùng chung một tần số góc $\omega$ : $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , $v = x' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ (sớm pha $\pi/2$ so với $x$ ), $a = v' = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$ (ngược pha với $x$ ). Ba cặp cực trị luôn đối lập nhau theo vị trí: tại biên ( $x=\pm A$ ) thì $v=0$ và $|a|=a_{max}$ ; tại vị trí cân bằng ( $x=0$ ) thì $|v|=v_{max}$ và $a=0$ . Và $T$ , $f$ , $\omega$ luôn chuyển đổi qua lại bằng $T = 2\pi/\omega = 1/f$ .

Sơ đồ mối liên hệ giữa ba đại lượng, tất cả đều dùng chung một tần số góc $\omega$: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, $v = x' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ (sớm pha $\pi/2$ so với $x$), $a = v' = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$ (ngược pha với $x$). Ba cặp cực trị luôn đối lập nhau theo vị trí: tại biên ($x=\pm A$) thì $v=0$ và $|a|=a_{max}$; tại vị trí cân bằng ($x=0$) thì $|v|=v_{max}$ và $a=0$. Và $T$, $f$, $\omega$ luôn chuyển đổi qua lại bằng $T = 2\pi/\omega = 1/f$.

Muốn biết một câu hỏi đang cần công thức nào, hãy bám vào từ khóa trong đề: "biên độ", "pha ban đầu" trỏ về bài 2 (đọc phương trình); "chu kỳ", "tần số", "số dao động trong t giây" trỏ về bài 3; "tốc độ", "vận tốc cực đại" trỏ về bài 4 (và hệ thức $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$ khi đề cho sẵn li độ); "gia tốc", "lực kéo về hướng nào" trỏ về bài 5 (và hệ thức $a/a_{max}=-x/A$ khi đề cho tỉ số); còn "đồ thị", "hình vẽ" trỏ về bài 6 — luôn bắt đầu bằng việc đọc $A$ và $T$ trước khi tính bất kỳ đại lượng nào khác. Một bài toán tổng hợp thường ghép hai, ba từ khóa này lại trong cùng một đề.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: đọc đồ thị rồi tính đủ x, v, a tại một thời điểm

1
Một vật dao động điều hòa có đồ thị li độ với biên độ $A = 10$ cm, chu kỳ $T = 4$ s. Tại $t = 0$ , đồ thị cho $x(0) = 5$ cm và đường cong đang đi lên. Viết phương trình dao động, tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại, rồi tính li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại $t = 2$ s.
Một vật dao động điều hòa có đồ thị li độ với biên độ $A = 10$ cm, chu kỳ $T = 4$ s. Tại $t = 0$, đồ thị cho $x(0) = 5$ cm và đường cong đang đi lên. Viết phương trình dao động, tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại, rồi tính li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại $t = 2$ s.
2
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/4 = \pi/2$ rad/s. Từ $x(0) = A\cos(\varphi) = 5$ : $\cos(\varphi) = 5/10 = 1/2$ , cho $\varphi = \pm\pi/3$ . Vì đường cong đang đi lên ( $v(0) > 0$ ) nên cần $\sin(\varphi) < 0$ , chọn $\varphi = -\pi/3$ rad.
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/4 = \pi/2$ rad/s. Từ $x(0) = A\cos(\varphi) = 5$: $\cos(\varphi) = 5/10 = 1/2$, cho $\varphi = \pm\pi/3$. Vì đường cong đang đi lên ($v(0) > 0$) nên cần $\sin(\varphi) < 0$, chọn $\varphi = -\pi/3$ rad.
3
$x(t) = 10\cos(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{3})$ cm. $v_{max} = A\omega = 10 \times \pi/2 = 5\pi \approx 15{,}7$ cm/s. $a_{max} = A\omega^2 = 10 \times (\pi/2)^2 = 2{,}5\pi^2 \approx 24{,}7$ cm/s².
$x(t) = 10\cos(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{3})$ cm. $v_{max} = A\omega = 10 \times \pi/2 = 5\pi \approx 15{,}7$ cm/s. $a_{max} = A\omega^2 = 10 \times (\pi/2)^2 = 2{,}5\pi^2 \approx 24{,}7$ cm/s².
4
Pha dao động tại $t=2$ : $\dfrac{\pi}{2} \times 2 - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ . $x = 10\cos(2\pi/3) = 10 \times (-1/2) = -5$ cm. $v = -A\omega\sin(2\pi/3) \approx -13{,}6$ cm/s (âm — vật đang đi theo chiều âm).
Pha dao động tại $t=2$: $\dfrac{\pi}{2} \times 2 - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$. $x = 10\cos(2\pi/3) = 10 \times (-1/2) = -5$ cm. $v = -A\omega\sin(2\pi/3) \approx -13{,}6$ cm/s (âm — vật đang đi theo chiều âm).
5
$a = -\omega^2 x = -(\pi/2)^2 \times (-5) \approx 12{,}3$ cm/s². Giá trị này khớp với tính trực tiếp từ $a = -A\omega^2\cos(2\pi/3)$ , và có độ lớn nhỏ hơn $a_{max} \approx 24{,}7$ cm/s² — hợp lí vì vật chưa ở biên tại $t=2$ s.
$a = -\omega^2 x = -(\pi/2)^2 \times (-5) \approx 12{,}3$ cm/s². Giá trị này khớp với tính trực tiếp từ $a = -A\omega^2\cos(2\pi/3)$, và có độ lớn nhỏ hơn $a_{max} \approx 24{,}7$ cm/s² — hợp lí vì vật chưa ở biên tại $t=2$ s.

Tại

t=2

s, vật ở li độ

-5

cm — kết quả tính được ở bước 4.Tại $t=2$ s, vật ở li độ $-5$ cm — kết quả tính được ở bước 4.

Ví dụ

Bài toán nhiều ý (dạng đề kiểm tra giữa kì)

1
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ $T = 1$ s và biên độ $A = 4$ cm. Biết tại $t=0$ , chất điểm ở vị trí cân bằng và đang chuyển động theo chiều dương. a) Viết phương trình dao động. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại. c) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của chất điểm tại $t = 1/6$ s.
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ $T = 1$ s và biên độ $A = 4$ cm. Biết tại $t=0$, chất điểm ở vị trí cân bằng và đang chuyển động theo chiều dương. a) Viết phương trình dao động. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại. c) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của chất điểm tại $t = 1/6$ s.
2
$\omega = 2\pi/T = 2\pi$ rad/s. Vì $x(0) = A\cos(\varphi) = 0$ nên $\varphi = \pm\pi/2$ ; vì vật đang đi theo chiều dương ( $v(0)>0$ ) nên cần $\sin(\varphi)<0$ , chọn $\varphi = -\pi/2$ rad. Vậy $x(t) = 4\cos(2\pi t - \pi/2)$ cm — có thể viết gọn lại thành $x = 4\sin(2\pi t)$ cm, dùng đúng tính chất $\cos(\theta - \pi/2) = \sin(\theta)$ đã học ở Toán 11.
$\omega = 2\pi/T = 2\pi$ rad/s. Vì $x(0) = A\cos(\varphi) = 0$ nên $\varphi = \pm\pi/2$; vì vật đang đi theo chiều dương ($v(0)>0$) nên cần $\sin(\varphi)<0$, chọn $\varphi = -\pi/2$ rad. Vậy $x(t) = 4\cos(2\pi t - \pi/2)$ cm — có thể viết gọn lại thành $x = 4\sin(2\pi t)$ cm, dùng đúng tính chất $\cos(\theta - \pi/2) = \sin(\theta)$ đã học ở Toán 11.
3
$v_{max} = A\omega = 4 \times 2\pi = 8\pi \approx 25{,}1$ cm/s. $a_{max} = A\omega^2 = 4 \times (2\pi)^2 = 16\pi^2 \approx 157{,}9$ cm/s².
$v_{max} = A\omega = 4 \times 2\pi = 8\pi \approx 25{,}1$ cm/s. $a_{max} = A\omega^2 = 4 \times (2\pi)^2 = 16\pi^2 \approx 157{,}9$ cm/s².
4
Pha dao động: $2\pi \times 1/6 - \pi/2 = \pi/3 - \pi/2 = -\pi/6$ . $x = 4\cos(-\pi/6) = 4 \times (\sqrt{3}/2) \approx 3{,}5$ cm. $v = -8\pi\sin(-\pi/6) = -8\pi \times (-1/2) = 4\pi \approx 12{,}6$ cm/s (dương). $a = -\omega^2 x \approx -136{,}8$ cm/s² (âm, hướng về vị trí cân bằng).
Pha dao động: $2\pi \times 1/6 - \pi/2 = \pi/3 - \pi/2 = -\pi/6$. $x = 4\cos(-\pi/6) = 4 \times (\sqrt{3}/2) \approx 3{,}5$ cm. $v = -8\pi\sin(-\pi/6) = -8\pi \times (-1/2) = 4\pi \approx 12{,}6$ cm/s (dương). $a = -\omega^2 x \approx -136{,}8$ cm/s² (âm, hướng về vị trí cân bằng).
5
Vì $x = 4\sin(2\pi t)$ cm, $x = 0$ khi $\sin(2\pi t) = 0$ , tức $2\pi t = k\pi$ ( $k$ nguyên), hay $t = k/2$ giây. Nghiệm $t=0$ ứng với thời điểm xuất phát (đã cho trong đề), nên thời điểm ĐẦU TIÊN sau đó vật trở lại vị trí cân bằng là $t = 1/2 = 0{,}5$ s — đúng bằng nửa chu kỳ $T/2$ , khớp với tính chất đã nêu ở bài 2: vật đi từ vị trí cân bằng ra biên rồi quay lại vị trí cân bằng mất đúng $T/2$ .
Vì $x = 4\sin(2\pi t)$ cm, $x = 0$ khi $\sin(2\pi t) = 0$, tức $2\pi t = k\pi$ ($k$ nguyên), hay $t = k/2$ giây. Nghiệm $t=0$ ứng với thời điểm xuất phát (đã cho trong đề), nên thời điểm ĐẦU TIÊN sau đó vật trở lại vị trí cân bằng là $t = 1/2 = 0{,}5$ s — đúng bằng nửa chu kỳ $T/2$, khớp với tính chất đã nêu ở bài 2: vật đi từ vị trí cân bằng ra biên rồi quay lại vị trí cân bằng mất đúng $T/2$.

Ví dụ

Kiểm tra chéo bằng cả hai hệ thức độc lập thời gian

1
Một vật dao động điều hòa có $A = 5$ cm, $\omega = 4$ rad/s. Tại một thời điểm, người ta đo được li độ $x = 3$ cm, tốc độ $16$ cm/s, và gia tốc $-48$ cm/s². Ba số liệu này có nhất quán với nhau không?
Một vật dao động điều hòa có $A = 5$ cm, $\omega = 4$ rad/s. Tại một thời điểm, người ta đo được li độ $x = 3$ cm, tốc độ $16$ cm/s, và gia tốc $-48$ cm/s². Ba số liệu này có nhất quán với nhau không?
2
$|v| = \omega\sqrt{A^2-x^2} = 4\sqrt{25-9} = 4\sqrt{16} = 4 \times 4 = 16$ cm/s — trùng khớp với tốc độ đo được.
$|v| = \omega\sqrt{A^2-x^2} = 4\sqrt{25-9} = 4\sqrt{16} = 4 \times 4 = 16$ cm/s — trùng khớp với tốc độ đo được.
3
$a = -\omega^2 x = -16 \times 3 = -48$ cm/s² — trùng khớp với gia tốc đo được.
$a = -\omega^2 x = -16 \times 3 = -48$ cm/s² — trùng khớp với gia tốc đo được.
4
Cả ba số liệu $x=3$ cm, $v=16$ cm/s, $a=-48$ cm/s² đều nhất quán với nhau qua hai hệ thức độc lập thời gian đã học. Đây chính là kỹ năng tổng hợp quan trọng nhất của khóa học: dùng nhiều công thức độc lập để kiểm tra chéo lẫn nhau, thay vì tin tưởng tuyệt đối vào một phép tính duy nhất.
Cả ba số liệu $x=3$ cm, $v=16$ cm/s, $a=-48$ cm/s² đều nhất quán với nhau qua hai hệ thức độc lập thời gian đã học. Đây chính là kỹ năng tổng hợp quan trọng nhất của khóa học: dùng nhiều công thức độc lập để kiểm tra chéo lẫn nhau, thay vì tin tưởng tuyệt đối vào một phép tính duy nhất.

v_{max}=A\omega

phụ thuộc CẢ

A

lẫn

\omega

: dao động có

A=10

cm nhưng

\omega

nhỏ lại có

v_{max}

thấp nhất trong ba trường hợp.$v_{max}=A\omega$ phụ thuộc CẢ $A$ lẫn $\omega$: dao động có $A=10$ cm nhưng $\omega$ nhỏ lại có $v_{max}$ thấp nhất trong ba trường hợp.

Sai lầm thường gặp

Khi bài toán có nhiều ý liên tiếp, lỗi phổ biến nhất là dùng nhầm giá trị đã làm tròn của một ý trước để tính ý sau (sai số cộng dồn) — nên giữ dạng chính xác ( $\pi$ , $\sqrt{3}/2$ , phân số) xuyên suốt các bước, chỉ làm tròn ở kết quả cuối cùng. Lỗi thứ hai là quên rằng $v_{max}$ , $a_{max}$ không phụ thuộc $\varphi$ , nên nhầm lẫn giữa "giá trị cực đại có thể đạt được" với "giá trị tại đúng thời điểm đang xét".

Khi bài toán có nhiều ý liên tiếp, lỗi phổ biến nhất là dùng nhầm giá trị đã làm tròn của một ý trước để tính ý sau (sai số cộng dồn) — nên giữ dạng chính xác ($\pi$, $\sqrt{3}/2$, phân số) xuyên suốt các bước, chỉ làm tròn ở kết quả cuối cùng. Lỗi thứ hai là quên rằng $v_{max}$, $a_{max}$ không phụ thuộc $\varphi$, nên nhầm lẫn giữa "giá trị cực đại có thể đạt được" với "giá trị tại đúng thời điểm đang xét".

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp luôn giải theo cùng một trình tự: đọc/tính $A$ , $T$ hoặc $\omega$ → xác định $\varphi$ từ điều kiện đầu → viết $x(t)$ → suy ra $v(t)$ , $a(t)$ hoặc các giá trị cực đại → thay số tại thời điểm đề hỏi → kiểm tra chéo bằng $a=-\omega^2 x$ khi có thể.

Một bài toán tổng hợp luôn giải theo cùng một trình tự: đọc/tính $A$, $T$ hoặc $\omega$ → xác định $\varphi$ từ điều kiện đầu → viết $x(t)$ → suy ra $v(t)$, $a(t)$ hoặc các giá trị cực đại → thay số tại thời điểm đề hỏi → kiểm tra chéo bằng $a=-\omega^2 x$ khi có thể.

Khóa học này đã trang bị đầy đủ ngôn ngữ và phương trình để mô tả một dao động điều hòa. Khóa tiếp theo áp dụng đúng những công thức này vào hai hệ dao động thật ngoài đời: con lắc lò xo và con lắc đơn, đồng thời xét thêm năng lượng của dao động — câu hỏi mà khóa này chưa chạm tới.