Bài học

Chu kì, tần số và tần số góc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thiết lập và vận dụng đúng ba công thức $T = 2\pi/\omega$ , $f = 1/T$ , $\omega = 2\pi f$ để chuyển đổi qua lại giữa chu kỳ, tần số và tần số góc của một dao động điều hòa.

Sau bài này, em thiết lập và vận dụng đúng ba công thức $T = 2\pi/\omega$, $f = 1/T$, $\omega = 2\pi f$ để chuyển đổi qua lại giữa chu kỳ, tần số và tần số góc của một dao động điều hòa.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài 1 đã định nghĩa chu kỳ $T$ là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại y hệt (prior-grade review, khái niệm này thực ra đã quen thuộc từ lớp dưới với các hiện tượng lặp lại). Bài 2 đưa vào đại lượng $\omega$ trong phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ . Bài này nối hai đại lượng đó lại, dựa trên tính chất tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ của hàm $\cos$ mà em đã học ở Toán 11 (same-grade bridge): $\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)$ với mọi $\theta$ .

Bài 1 đã định nghĩa chu kỳ $T$ là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại y hệt (prior-grade review, khái niệm này thực ra đã quen thuộc từ lớp dưới với các hiện tượng lặp lại). Bài 2 đưa vào đại lượng $\omega$ trong phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$. Bài này nối hai đại lượng đó lại, dựa trên tính chất tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ của hàm $\cos$ mà em đã học ở Toán 11 (same-grade bridge): $\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)$ với mọi $\theta$.

Khởi động

Hai con lắc, một có ω = 2π rad/s, một có ω = 4π rad/s — con lắc nào "lắc nhanh hơn", tức là hoàn thành một dao động toàn phần trong thời gian ngắn hơn? Trả lời trực giác trước, rồi kiểm tra lại bằng công thức bên dưới.

Kiến thức trọng tâm

Vì $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ tuần hoàn theo $t$ , ta cần tìm khoảng thời gian $T$ nhỏ nhất sao cho $x(t + T) = x(t)$ với mọi $t$ . Ta có $x(t+T) = A\cos(\omega t + \varphi + \omega T)$ ; để biểu thức này luôn bằng $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ với mọi $t$ , cần $\omega T = 2\pi$ (chu kỳ của hàm cos). Từ đó suy ra chu kỳ: $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ (s).

Vì $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ tuần hoàn theo $t$, ta cần tìm khoảng thời gian $T$ nhỏ nhất sao cho $x(t + T) = x(t)$ với mọi $t$. Ta có $x(t+T) = A\cos(\omega t + \varphi + \omega T)$; để biểu thức này luôn bằng $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ với mọi $t$, cần $\omega T = 2\pi$ (chu kỳ của hàm cos). Từ đó suy ra **chu kỳ**: $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ (s).

Tần số $f$ là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây, đơn vị Hertz (Hz), và theo định nghĩa $f = 1/T$ . Kết hợp với công thức trên, ta có $f = \omega/(2\pi)$ , hay viết ngược lại: $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ . Ba công thức này chỉ là ba cách viết khác nhau của cùng một mối liên hệ, nên chỉ cần nhớ một cái, hai cái còn lại suy ra ngay bằng biến đổi đại số đơn giản.

**Tần số $f$** là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây, đơn vị Hertz (Hz), và theo định nghĩa $f = 1/T$. Kết hợp với công thức trên, ta có $f = \omega/(2\pi)$, hay viết ngược lại: $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$. Ba công thức này chỉ là ba cách viết khác nhau của cùng một mối liên hệ, nên chỉ cần nhớ một cái, hai cái còn lại suy ra ngay bằng biến đổi đại số đơn giản.

Về mặt vật lí: $\omega$ càng lớn thì pha dao động $(\omega t + \varphi)$ biến thiên càng nhanh theo thời gian, nghĩa là vật hoàn thành một vòng dao động (ứng với pha tăng thêm $2\pi$ ) trong thời gian càng ngắn — chu kỳ $T$ càng nhỏ, và do đó tần số $f$ càng lớn. Ba đại lượng này luôn biến thiên cùng chiều với "độ nhanh" của dao động, chỉ riêng $T$ là biến thiên ngược chiều (chu kỳ nhỏ = dao động nhanh).

Về mặt vật lí: $\omega$ càng lớn thì pha dao động $(\omega t + \varphi)$ biến thiên càng nhanh theo thời gian, nghĩa là vật hoàn thành một vòng dao động (ứng với pha tăng thêm $2\pi$) trong thời gian càng ngắn — chu kỳ $T$ càng nhỏ, và do đó tần số $f$ càng lớn. Ba đại lượng này luôn biến thiên cùng chiều với "độ nhanh" của dao động, chỉ riêng $T$ là biến thiên ngược chiều (chu kỳ nhỏ = dao động nhanh).

Một cách khác để ghi nhớ ba công thức mà không cần học vẹt: hãy tưởng tượng $\omega$ là "tốc độ quay của kim đồng hồ pha" — mỗi giây, pha tăng thêm $\omega$ radian. Muốn quay hết một vòng tròn $2\pi$ radian (đúng một dao động toàn phần), cần thời gian $T = 2\pi/\omega$ . Còn $f$ chỉ đơn giản đếm xem trong một giây, kim đó quay được bao nhiêu vòng — mà mỗi vòng dài $2\pi$ radian, nên số vòng mỗi giây là $f = \omega/(2\pi)$ . Hình dung này giải thích luôn vì sao đơn vị của $\omega$ (rad/s) khác đơn vị của $f$ (Hz, tức vòng/s) đúng $2\pi$ lần — không phải một sự trùng hợp, mà là bản chất của việc đo cùng một tốc độ quay bằng hai đơn vị khác nhau (radian và vòng). Nhắc lại để tránh nhầm: nút loa phát ra âm trầm dao động với tần số $f$ khoảng vài chục đến vài trăm Hz — nếu lỡ tính nhầm thành $\omega$ ở đơn vị rad/s, con số sẽ lớn gấp hơn 6 lần thực tế, đủ để một bài toán kỹ thuật thực sự bị sai lệch nghiêm trọng.

Một cách khác để ghi nhớ ba công thức mà không cần học vẹt: hãy tưởng tượng $\omega$ là "tốc độ quay của kim đồng hồ pha" — mỗi giây, pha tăng thêm $\omega$ radian. Muốn quay hết một vòng tròn $2\pi$ radian (đúng một dao động toàn phần), cần thời gian $T = 2\pi/\omega$. Còn $f$ chỉ đơn giản đếm xem trong một giây, kim đó quay được bao nhiêu vòng — mà mỗi vòng dài $2\pi$ radian, nên số vòng mỗi giây là $f = \omega/(2\pi)$. Hình dung này giải thích luôn vì sao đơn vị của $\omega$ (rad/s) khác đơn vị của $f$ (Hz, tức vòng/s) đúng $2\pi$ lần — không phải một sự trùng hợp, mà là bản chất của việc đo cùng một tốc độ quay bằng hai đơn vị khác nhau (radian và vòng). Nhắc lại để tránh nhầm: nút loa phát ra âm trầm dao động với tần số $f$ khoảng vài chục đến vài trăm Hz — nếu lỡ tính nhầm thành $\omega$ ở đơn vị rad/s, con số sẽ lớn gấp hơn 6 lần thực tế, đủ để một bài toán kỹ thuật thực sự bị sai lệch nghiêm trọng.

Cùng biên độ, tần số góc lớn hơn cho chu kỳ ngắn hơn — đường ω = 4π rad/s "lắc" nhanh gấp đôi.

Ví dụ

Tính T và f từ tần số góc ω

1
Một dao động điều hòa có tần số góc $\omega = 10$ rad/s. Tính chu kỳ $T$ và tần số $f$ của dao động.
Một dao động điều hòa có tần số góc $\omega = 10$ rad/s. Tính chu kỳ $T$ và tần số $f$ của dao động.
2
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}2\pi \approx 0{,}628$ s.
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}2\pi \approx 0{,}628$ s.
3
$f = \dfrac{1}{T} \approx \dfrac{1}{0{,}628} \approx 1{,}59$ Hz. Vậy $T \approx 0{,}628$ s và $f \approx 1{,}59$ Hz.
$f = \dfrac{1}{T} \approx \dfrac{1}{0{,}628} \approx 1{,}59$ Hz. Vậy $T \approx 0{,}628$ s và $f \approx 1{,}59$ Hz.
4
Nhân ngược lại $T$ và $f$ : $T \times f \approx 0{,}628 \times 1{,}59 \approx 1{,}00$ , đúng bằng 1 như tính chất $T = 1/f$ đòi hỏi (sai số nhỏ chỉ do làm tròn). Phép nhân ngược này là cách kiểm tra nhanh, không cần tính lại từ đầu, để phát hiện ngay nếu đã bấm máy tính nhầm ở một trong hai bước trên.
Nhân ngược lại $T$ và $f$: $T \times f \approx 0{,}628 \times 1{,}59 \approx 1{,}00$, đúng bằng 1 như tính chất $T = 1/f$ đòi hỏi (sai số nhỏ chỉ do làm tròn). Phép nhân ngược này là cách kiểm tra nhanh, không cần tính lại từ đầu, để phát hiện ngay nếu đã bấm máy tính nhầm ở một trong hai bước trên.

Ví dụ

Tìm chu kỳ, tần số, tần số góc từ số dao động đếm được (dạng đề thi)

1
Trong 5 s, một vật dao động điều hòa thực hiện đúng 10 dao động toàn phần. Tính chu kỳ, tần số và tần số góc của dao động.
2
Chu kỳ là thời gian cho một dao động toàn phần, nên $T = t/n = 5/10 = 0{,}5$ s (đây là công thức chung để suy ra $T$ từ số dao động đếm được trong một khoảng thời gian).
Chu kỳ là thời gian cho một dao động toàn phần, nên $T = t/n = 5/10 = 0{,}5$ s (đây là công thức chung để suy ra $T$ từ số dao động đếm được trong một khoảng thời gian).
3
$f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz. $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57$ rad/s.
$f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz. $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57$ rad/s.
4
Tính lại $\omega$ theo đường khác, trực tiếp từ $T$ : $\omega = 2\pi/T = 2\pi/0{,}5 = 4\pi \approx 12{,}57$ rad/s — trùng khớp với kết quả tính qua $f$ ở bước trên. Vì hai con đường độc lập (qua $f$ , hoặc trực tiếp từ $T$ ) cho cùng một đáp số, kết quả $\omega \approx 12{,}57$ rad/s đáng tin cậy.
Tính lại $\omega$ theo đường khác, trực tiếp từ $T$: $\omega = 2\pi/T = 2\pi/0{,}5 = 4\pi \approx 12{,}57$ rad/s — trùng khớp với kết quả tính qua $f$ ở bước trên. Vì hai con đường độc lập (qua $f$, hoặc trực tiếp từ $T$) cho cùng một đáp số, kết quả $\omega \approx 12{,}57$ rad/s đáng tin cậy.

Ví dụ

So sánh chu kỳ của ba dao động có tần số góc khác nhau

1
Ba dao động điều hòa có tần số góc lần lượt là $\omega_1 = 2\pi$ rad/s, $\omega_2 = 4\pi$ rad/s, $\omega_3 = 10$ rad/s. Tính chu kỳ của mỗi dao động, và cho biết $\omega_2$ gấp đôi $\omega_1$ thì $T_2$ có gấp đôi $T_1$ không.
Ba dao động điều hòa có tần số góc lần lượt là $\omega_1 = 2\pi$ rad/s, $\omega_2 = 4\pi$ rad/s, $\omega_3 = 10$ rad/s. Tính chu kỳ của mỗi dao động, và cho biết $\omega_2$ gấp đôi $\omega_1$ thì $T_2$ có gấp đôi $T_1$ không.
2
$T_1 = 2\pi/\omega_1 = 2\pi/(2\pi) = 1$ s. $T_2 = 2\pi/\omega_2 = 2\pi/(4\pi) = 0{,}5$ s. $T_3 = 2\pi/\omega_3 = 2\pi/10 \approx 0{,}628$ s.
$T_1 = 2\pi/\omega_1 = 2\pi/(2\pi) = 1$ s. $T_2 = 2\pi/\omega_2 = 2\pi/(4\pi) = 0{,}5$ s. $T_3 = 2\pi/\omega_3 = 2\pi/10 \approx 0{,}628$ s.
3
$\omega_2 = 2\omega_1$ nhưng $T_2 = T_1/2$ , KHÔNG gấp đôi mà giảm một nửa — vì $T$ và $\omega$ tỉ lệ NGHỊCH với nhau, không phải tỉ lệ thuận. Đây là lỗi suy luận rất dễ mắc: tăng $\omega$ lên bao nhiêu lần thì $T$ giảm đi đúng bấy nhiêu lần, chứ không tăng theo.
$\omega_2 = 2\omega_1$ nhưng $T_2 = T_1/2$, KHÔNG gấp đôi mà giảm một nửa — vì $T$ và $\omega$ tỉ lệ NGHỊCH với nhau, không phải tỉ lệ thuận. Đây là lỗi suy luận rất dễ mắc: tăng $\omega$ lên bao nhiêu lần thì $T$ giảm đi đúng bấy nhiêu lần, chứ không tăng theo.
4
Vì $\omega_1 \approx 6{,}28 < \omega_3 = 10 < \omega_2 \approx 12{,}57$ rad/s, và $T$ nghịch biến theo $\omega$ , chu kỳ $T_3$ phải nằm giữa $T_2$ và $T_1$ về độ lớn: $0{,}5 < 0{,}628 < 1$ — đúng như ba giá trị vừa tính. Kiểm tra thứ tự này là một cách nhanh để phát hiện lỗi tính toán mà không cần bấm lại máy tính.
Vì $\omega_1 \approx 6{,}28 < \omega_3 = 10 < \omega_2 \approx 12{,}57$ rad/s, và $T$ nghịch biến theo $\omega$, chu kỳ $T_3$ phải nằm giữa $T_2$ và $T_1$ về độ lớn: $0{,}5 < 0{,}628 < 1$ — đúng như ba giá trị vừa tính. Kiểm tra thứ tự này là một cách nhanh để phát hiện lỗi tính toán mà không cần bấm lại máy tính.

Tần số góc

\omega

càng lớn, chu kỳ

T = 2\pi/\omega

càng nhỏ — đúng ba giá trị vừa tính trong ví dụ trên.Tần số góc $\omega$ càng lớn, chu kỳ $T = 2\pi/\omega$ càng nhỏ — đúng ba giá trị vừa tính trong ví dụ trên.

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn giữa $f$ (số dao động trong một giây, đơn vị Hz) và $\omega$ (tốc độ biến thiên của pha, đơn vị rad/s) là lỗi rất phổ biến vì cả hai đều "nói về tốc độ", nhưng $\omega$ lớn hơn $f$ đúng $2\pi$ lần ( $\omega = 2\pi f$ ). Nhầm hai đại lượng này khi thay vào phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ sẽ cho kết quả sai lệch hẳn $2\pi$ lần, dẫn đến tính hoàn toàn sai chu kỳ và mọi thời điểm sau đó.

Nhầm lẫn giữa $f$ (số dao động trong một giây, đơn vị Hz) và $\omega$ (tốc độ biến thiên của pha, đơn vị rad/s) là lỗi rất phổ biến vì cả hai đều "nói về tốc độ", nhưng $\omega$ lớn hơn $f$ đúng $2\pi$ lần ($\omega = 2\pi f$). Nhầm hai đại lượng này khi thay vào phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ sẽ cho kết quả sai lệch hẳn $2\pi$ lần, dẫn đến tính hoàn toàn sai chu kỳ và mọi thời điểm sau đó.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ , $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$ , $\omega = 2\pi f$ . Chỉ cần thuộc một công thức, hai công thức còn lại suy ra bằng biến đổi đại số. $\omega$ lớn (rad/s) ⇒ $T$ nhỏ (s) ⇒ $f$ lớn (Hz): dao động càng nhanh.

$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$, $\omega = 2\pi f$. Chỉ cần thuộc một công thức, hai công thức còn lại suy ra bằng biến đổi đại số. $\omega$ lớn (rad/s) ⇒ $T$ nhỏ (s) ⇒ $f$ lớn (Hz): dao động càng nhanh.

Ba đại lượng $A$ , $\omega$ , $\varphi$ , $T$ , $f$ đã đủ để mô tả trọn vẹn li độ theo thời gian — bất kỳ dao động điều hòa nào cũng chỉ cần đúng năm con số này để tái hiện lại toàn bộ chuyển động, không cần thêm dữ kiện nào khác. Chương tiếp theo hỏi tiếp: vật đang chuyển động nhanh hay chậm tại một thời điểm — nghĩa là cần công thức vận tốc, được suy ra trực tiếp từ chính phương trình $x(t)$ này.

Ba đại lượng $A$, $\omega$, $\varphi$, $T$, $f$ đã đủ để mô tả trọn vẹn li độ theo thời gian — bất kỳ dao động điều hòa nào cũng chỉ cần đúng năm con số này để tái hiện lại toàn bộ chuyển động, không cần thêm dữ kiện nào khác. Chương tiếp theo hỏi tiếp: vật đang chuyển động nhanh hay chậm tại một thời điểm — nghĩa là cần công thức vận tốc, được suy ra trực tiếp từ chính phương trình $x(t)$ này.