Gia tốc trong dao động điều hòa

Sau bài này, em viết được phương trình gia tốc $a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$, giải thích được vì sao gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, và tính được gia tốc cực đại cũng như gia tốc tại một li độ cho trước.

Vật lí 10 đã định nghĩa gia tốc là đại lượng mô tả độ biến thiên của vận tốc theo thời gian (prior-grade review). Bài trước vừa viết được $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$; bài này lấy đạo hàm thêm một lần nữa, dùng đúng quy tắc đạo hàm hàm hợp của $\sin$: $[\sin(u)]' = u'\cos(u)$ (Toán 11, same-grade bridge, cùng nhóm công thức đã dùng ở bài 4).

Lấy đạo hàm của $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ theo thời gian: $a = v' = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi)$. So sánh với phương trình li độ $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta thấy ngay biểu thức trong ngoặc giống hệt nhau, nên có thể viết gọn lại thành một hệ thức cực kỳ quan trọng, không còn phụ thuộc thời gian $t$ tường minh: $$a = -\omega^2 x.$$

Hệ thức $a = -\omega^2 x$ cho biết: gia tốc luôn tỉ lệ thuận với li độ về độ lớn (hệ số tỉ lệ $\omega^2$), nhưng luôn **ngược dấu** với li độ. Khi vật lệch sang phía dương ($x>0$), gia tốc âm — kéo vật trở lại; khi vật lệch sang phía âm ($x<0$), gia tốc dương — cũng kéo vật trở lại. Nói cách khác, **gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng**, bất kể vật đang ở đâu trên quỹ đạo. Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: ngay tại biên, dù vận tốc bằng 0, gia tốc KHÔNG bằng 0 — nó đạt giá trị lớn nhất, chính là lực kéo vật quay đầu trở lại.

Vì $|\cos(\cdot)| \le 1$ và $x = \pm A$ khi $|\cos(\omega t + \varphi)| = 1$, gia tốc đạt độ lớn cực đại đúng tại biên: $a_{max} = A\omega^2$. Ngược lại tại vị trí cân bằng ($x=0$), theo $a=-\omega^2 x$, gia tốc bằng 0 — đối lập hoàn toàn với vận tốc, vốn cực đại tại chính vị trí này. Ba đại lượng $x$, $v$, $a$ luân phiên đạt cực trị: khi $x$ cực đại thì $v=0$ và $|a|$ cực đại; khi $x=0$ thì $|v|$ cực đại và $a=0$.

Chia hai vế của $a = -\omega^2 x$ cho $a_{max} = A\omega^2$, ta được một hệ thức gọn và rất hay dùng: $\dfrac{a}{a_{max}} = -\dfrac{x}{A}$, tức là **tỉ số giữa gia tốc và gia tốc cực đại luôn bằng đúng tỉ số giữa li độ và biên độ** (chỉ khác dấu). Nhờ đó, nếu đề cho biết gia tốc bằng bao nhiêu phần trăm gia tốc cực đại, em suy ra ngay li độ bằng bấy nhiêu phần trăm biên độ, không cần biết cụ thể $\omega$ hay thời điểm nào. Đây cũng là dấu hiệu để phân biệt hai công thức: hệ thức của $a$ với $x$ là bậc nhất (tỉ lệ thuận trực tiếp, không có căn), trong khi hệ thức của $v$ với $x$ ở bài trước có căn bậc hai — đừng nhầm lẫn dạng của hai công thức này.

Về ý nghĩa vật lí sâu hơn: theo định luật II Newton mà em đã học ở Vật lí 10 (prior-grade review), $\vec{F} = m\vec{a}$. Vì gia tốc trong dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, hợp lực tác dụng lên vật cũng luôn hướng về vị trí cân bằng — lực này về sau được gọi là **lực kéo về** (hay lực hồi phục). Khóa học tiếp theo sẽ chỉ ra chính xác lực kéo về đến từ đâu trong hai hệ cụ thể: lực đàn hồi của lò xo, và thành phần trọng lực của con lắc đơn.

Hai hệ thức độc lập thời gian — $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$ của bài trước và $a = -\omega^2 x$ của bài này — thoạt nhìn tách rời, nhưng ghép lại cho phép em suy ra CẢ vận tốc lẫn gia tốc chỉ từ một li độ $x$ và các hằng số $A$, $\omega$, không cần biết thời điểm $t$ hay pha ban đầu $\varphi$ là bao nhiêu. Đây chính là kỹ năng sẽ được luyện tập trong bài Ôn tập cuối khóa.

Ba công thức $x$, $v$, $a$ đã đầy đủ, nhưng trong đề thi, thông tin thường được cho dưới dạng một **đồ thị** thay vì một phương trình sẵn có. Bài tiếp theo luyện đọc ngược lại: từ hình dạng đồ thị $x$–$t$, suy ra $A$, $T$, $\varphi$, rồi suy tiếp ra dạng đồ thị $v$–$t$ và $a$–$t$ tương ứng.