Bài học

Vận tốc trong dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được phương trình vận tốc $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ từ phương trình li độ, xác định đúng vị trí vật đạt tốc độ cực đại, và tính được vận tốc tại một thời điểm hoặc một vị trí cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở Vật lí 10, em đã biết vận tốc tức thời là đại lượng mô tả vật đang chuyển động nhanh hay chậm, theo hướng nào, tại một thời điểm xác định (prior-grade review). Về mặt toán học, vận tốc chính là đạo hàm của li độ theo thời gian: $v = x'(t) = dx/dt$ — công cụ đạo hàm này em đang học song song ở Toán 11 (same-grade bridge), cùng với quy tắc đạo hàm của hàm hợp $\cos(u)$ : $[\cos(u)]' = -u'\sin(u)$ . Bài này áp dụng đúng quy tắc đó cho $u = \omega t + \varphi$ .

Ở Vật lí 10, em đã biết vận tốc tức thời là đại lượng mô tả vật đang chuyển động nhanh hay chậm, theo hướng nào, tại một thời điểm xác định (prior-grade review). Về mặt toán học, vận tốc chính là **đạo hàm của li độ theo thời gian**: $v = x'(t) = dx/dt$ — công cụ đạo hàm này em đang học song song ở Toán 11 (same-grade bridge), cùng với quy tắc đạo hàm của hàm hợp $\cos(u)$: $[\cos(u)]' = -u'\sin(u)$. Bài này áp dụng đúng quy tắc đó cho $u = \omega t + \varphi$.

Khởi động

Một vật dao động điều hòa đang ở đúng biên (điểm xa vị trí cân bằng nhất) và một vật khác đang đi qua đúng vị trí cân bằng — vật nào đang chuyển động nhanh hơn tại thời điểm đó? Nhiều học sinh đoán sai ngay từ câu hỏi này; bài học sẽ chứng minh câu trả lời đúng bằng công thức.

Kiến thức trọng tâm

Lấy đạo hàm hai vế của $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ theo thời gian, với $A$ , $\omega$ , $\varphi$ đều là hằng số: $v = x' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ . Đây là phương trình vận tốc của dao động điều hòa — cũng biến thiên điều hòa theo thời gian, cùng tần số góc $\omega$ với li độ, nhưng theo hàm $\sin$ thay vì $\cos$ , và có thêm hệ số $-A\omega$ ở trước.

Lấy đạo hàm hai vế của $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ theo thời gian, với $A$, $\omega$, $\varphi$ đều là hằng số: $v = x' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$. Đây là phương trình vận tốc của dao động điều hòa — cũng biến thiên điều hòa theo thời gian, cùng tần số góc $\omega$ với li độ, nhưng theo hàm $\sin$ thay vì $\cos$, và có thêm hệ số $-A\omega$ ở trước.

Vì $|\sin(\cdot)| \le 1$ , tốc độ (độ lớn của vận tốc) đạt giá trị lớn nhất khi $|\sin(\omega t + \varphi)| = 1$ , tức là $\omega t + \varphi = \pi/2 + k\pi$ . Nhưng đó cũng chính là điều kiện để $\cos(\omega t + \varphi) = 0$ , nghĩa là $x = 0$ — vật đạt tốc độ cực đại đúng lúc đi qua vị trí cân bằng, với giá trị $v_{max} = A\omega$ . Ngược lại, tại biên ( $x = \pm A$ , tức $\cos(\omega t + \varphi) = \pm 1$ ) thì $\sin(\omega t + \varphi) = 0$ , nên $v = 0$ — vật tạm dừng tức thời tại biên trước khi đổi chiều. Đây chính là đáp án cho câu hỏi khởi động: vật ở biên đang đứng yên tức thời, còn vật qua vị trí cân bằng mới là vật chuyển động nhanh nhất.

Vì $|\sin(\cdot)| \le 1$, tốc độ (độ lớn của vận tốc) đạt giá trị lớn nhất khi $|\sin(\omega t + \varphi)| = 1$, tức là $\omega t + \varphi = \pi/2 + k\pi$. Nhưng đó cũng chính là điều kiện để $\cos(\omega t + \varphi) = 0$, nghĩa là $x = 0$ — **vật đạt tốc độ cực đại đúng lúc đi qua vị trí cân bằng**, với giá trị $v_{max} = A\omega$. Ngược lại, tại biên ($x = \pm A$, tức $\cos(\omega t + \varphi) = \pm 1$) thì $\sin(\omega t + \varphi) = 0$, nên $v = 0$ — vật tạm dừng tức thời tại biên trước khi đổi chiều. Đây chính là đáp án cho câu hỏi khởi động: vật ở biên đang đứng yên tức thời, còn vật qua vị trí cân bằng mới là vật chuyển động nhanh nhất.

Có thể viết lại $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos(\omega t + \varphi + \pi/2)$ (dùng tính chất $-\sin\theta = \cos(\theta + \pi/2)$ ). Nhìn dưới dạng này, pha của $v$ là $(\omega t + \varphi + \pi/2)$ , lớn hơn pha của $x$ đúng $\pi/2$ — người ta nói vận tốc sớm pha $\pi/2$ so với li độ. Về mặt thực hành, điều này có nghĩa: đồ thị $v$ – $t$ có hình dạng giống hệt đồ thị $x$ – $t$ nhưng bị "đẩy sớm" đi một phần tư chu kỳ.

Có thể viết lại $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos(\omega t + \varphi + \pi/2)$ (dùng tính chất $-\sin\theta = \cos(\theta + \pi/2)$). Nhìn dưới dạng này, pha của $v$ là $(\omega t + \varphi + \pi/2)$, lớn hơn pha của $x$ đúng $\pi/2$ — người ta nói **vận tốc sớm pha $\pi/2$ so với li độ**. Về mặt thực hành, điều này có nghĩa: đồ thị $v$–$t$ có hình dạng giống hệt đồ thị $x$–$t$ nhưng bị "đẩy sớm" đi một phần tư chu kỳ.

Có một hệ thức khác cũng rất hữu ích, không chứa thời gian $t$ : từ $x/A = \cos(\omega t + \varphi)$ và $v/(A\omega) = -\sin(\omega t + \varphi)$ , bình phương rồi cộng hai vế và dùng $\sin^2 + \cos^2 = 1$ , ta được $\left(\dfrac{x}{A}\right)^2 + \left(\dfrac{v}{A\omega}\right)^2 = 1$ , tức là $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ , hay $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$ . Hệ thức này cho phép tính tốc độ tại MỘT li độ cho trước mà không cần biết vật đang ở thời điểm nào — rất tiện khi đề bài chỉ cho vị trí, không cho thời gian.

Có một hệ thức khác cũng rất hữu ích, không chứa thời gian $t$: từ $x/A = \cos(\omega t + \varphi)$ và $v/(A\omega) = -\sin(\omega t + \varphi)$, bình phương rồi cộng hai vế và dùng $\sin^2 + \cos^2 = 1$, ta được $\left(\dfrac{x}{A}\right)^2 + \left(\dfrac{v}{A\omega}\right)^2 = 1$, tức là $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$, hay $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$. Hệ thức này cho phép tính tốc độ tại MỘT li độ cho trước mà không cần biết vật đang ở thời điểm nào — rất tiện khi đề bài chỉ cho vị trí, không cho thời gian.

Li độ đạt cực trị tại

t = 0

;

0{,}5

s và bằng 0 tại

t = 0{,}25

;

0{,}75

s.Li độ đạt cực trị tại $t = 0$; $0{,}5$ s và bằng 0 tại $t = 0{,}25$; $0{,}75$ s.

So với đồ thị

x

–

t

ở trên:

v = 0

khi

x = \pm 4

cm (biên), và

|v| = v_{max} \approx 25{,}1

cm/s khi

x = 0

— đúng như dự đoán vận tốc sớm pha

\pi/2

so với li độ.So với đồ thị $x$–$t$ ở trên: $v = 0$ khi $x = \pm 4$ cm (biên), và $|v| = v_{max} \approx 25{,}1$ cm/s khi $x = 0$ — đúng như dự đoán vận tốc sớm pha $\pi/2$ so với li độ.

Ví dụ

Viết phương trình vận tốc và tính tốc độ cực đại

1
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 4\cos(2\pi t)$ cm. Viết phương trình vận tốc $v(t)$ và tính tốc độ cực đại của vật.
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 4\cos(2\pi t)$ cm. Viết phương trình vận tốc $v(t)$ và tính tốc độ cực đại của vật.
2
Áp dụng $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ với $A = 4$ cm, $\omega = 2\pi$ rad/s, $\varphi = 0$ : $v(t) = -4 \times 2\pi \sin(2\pi t) = -8\pi\sin(2\pi t)$ cm/s.
Áp dụng $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ với $A = 4$ cm, $\omega = 2\pi$ rad/s, $\varphi = 0$: $v(t) = -4 \times 2\pi \sin(2\pi t) = -8\pi\sin(2\pi t)$ cm/s.
3
$v_{max} = A\omega = 4 \times 2\pi = 8\pi \approx 25{,}1$ cm/s, đạt được mỗi khi vật đi qua vị trí cân bằng.
$v_{max} = A\omega = 4 \times 2\pi = 8\pi \approx 25{,}1$ cm/s, đạt được mỗi khi vật đi qua vị trí cân bằng.

Ví dụ

So sánh tốc độ cực đại của hai vật và vận tốc tại t = T/4 (dạng đề thi)

1
Hai vật cùng xuất phát từ biên dương lúc $t=0$ (tức $\varphi = 0$ ). Vật 1: $A_1 = 5$ cm, $\omega_1 = 4$ rad/s. Vật 2: $A_2 = 10$ cm, $\omega_2 = 3$ rad/s. Tính tốc độ cực đại của mỗi vật, và vận tốc của mỗi vật tại thời điểm $t = T/4$ kể từ lúc xuất phát.
Hai vật cùng xuất phát từ biên dương lúc $t=0$ (tức $\varphi = 0$). Vật 1: $A_1 = 5$ cm, $\omega_1 = 4$ rad/s. Vật 2: $A_2 = 10$ cm, $\omega_2 = 3$ rad/s. Tính tốc độ cực đại của mỗi vật, và vận tốc của mỗi vật tại thời điểm $t = T/4$ kể từ lúc xuất phát.
2
Vật 1: $v_{1,max} = A_1\omega_1 = 5 \times 4 = 20$ cm/s. Vật 2: $v_{2,max} = A_2\omega_2 = 10 \times 3 = 30$ cm/s.
Vật 1: $v_{1,max} = A_1\omega_1 = 5 \times 4 = 20$ cm/s. Vật 2: $v_{2,max} = A_2\omega_2 = 10 \times 3 = 30$ cm/s.
3
Với $\varphi = 0$ , tại $t = T/4 = (2\pi/\omega)/4$ , pha dao động là $\omega t = \omega \times \dfrac{2\pi}{4\omega} = \pi/2$ — kết quả này KHÔNG phụ thuộc $\omega$ . Khi đó $v = -A\omega\sin(\pi/2) = -A\omega$ . Vậy vật 1 có $v = -20$ cm/s, vật 2 có $v = -30$ cm/s tại $t = T/4$ : cả hai đều đạt đúng tốc độ cực đại, nhưng vận tốc mang dấu âm.
Với $\varphi = 0$, tại $t = T/4 = (2\pi/\omega)/4$, pha dao động là $\omega t = \omega \times \dfrac{2\pi}{4\omega} = \pi/2$ — kết quả này KHÔNG phụ thuộc $\omega$. Khi đó $v = -A\omega\sin(\pi/2) = -A\omega$. Vậy vật 1 có $v = -20$ cm/s, vật 2 có $v = -30$ cm/s tại $t = T/4$: cả hai đều đạt đúng tốc độ cực đại, nhưng vận tốc mang dấu âm.
4
Dấu âm hợp lí: cả hai vật xuất phát tại biên dương ( $x=A$ ) rồi đi về vị trí cân bằng, tức li độ đang giảm — vận tốc âm đúng nghĩa "đang chuyển động theo chiều âm", còn tốc độ (độ lớn $|v|$ ) vẫn đạt cực đại như đã tính.
Dấu âm hợp lí: cả hai vật xuất phát tại biên dương ($x=A$) rồi đi về vị trí cân bằng, tức li độ đang giảm — vận tốc âm đúng nghĩa "đang chuyển động theo chiều âm", còn tốc độ (độ lớn $|v|$) vẫn đạt cực đại như đã tính.

Ví dụ

Tính tốc độ tại một li độ cho trước bằng hệ thức độc lập thời gian

1
Một vật dao động điều hòa có $A = 10$ cm, $\omega = 5$ rad/s. Tính tốc độ của vật khi nó ở li độ $x = 6$ cm (không cho biết thời điểm nào).
Một vật dao động điều hòa có $A = 10$ cm, $\omega = 5$ rad/s. Tính tốc độ của vật khi nó ở li độ $x = 6$ cm (không cho biết thời điểm nào).
2
$|v| = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 5\sqrt{10^2 - 6^2} = 5\sqrt{100-36} = 5\sqrt{64} = 5 \times 8 = 40$ cm/s.
$|v| = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 5\sqrt{10^2 - 6^2} = 5\sqrt{100-36} = 5\sqrt{64} = 5 \times 8 = 40$ cm/s.
3
So sánh với tốc độ cực đại $v_{max} = A\omega = 10 \times 5 = 50$ cm/s: kết quả $40$ cm/s nhỏ hơn $50$ cm/s, hợp lí vì $x = 6$ cm khác 0 (chưa ở đúng vị trí cân bằng) nên tốc độ chưa thể đạt cực đại; đồng thời $40 < 50$ cũng khớp với việc $x=6$ cm đã khá gần biên ( $A=10$ cm) nên tốc độ chỉ còn 80% giá trị cực đại.
So sánh với tốc độ cực đại $v_{max} = A\omega = 10 \times 5 = 50$ cm/s: kết quả $40$ cm/s nhỏ hơn $50$ cm/s, hợp lí vì $x = 6$ cm khác 0 (chưa ở đúng vị trí cân bằng) nên tốc độ chưa thể đạt cực đại; đồng thời $40 < 50$ cũng khớp với việc $x=6$ cm đã khá gần biên ($A=10$ cm) nên tốc độ chỉ còn 80% giá trị cực đại.
4
Hệ thức $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$ cũng dùng được theo chiều ngược lại: nếu đề cho tốc độ và hỏi li độ, biến đổi thành $x = \pm\sqrt{A^2 - v^2/\omega^2}$ . Ví dụ, với cùng vật này, nếu biết tốc độ là $30$ cm/s thì $x^2 = 10^2 - (30/5)^2 = 100-36=64$ , nên $|x|=8$ cm. Luôn nhớ hai chiều của một hệ thức, thay vì chỉ thuộc một chiều duy nhất.
Hệ thức $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$ cũng dùng được theo chiều ngược lại: nếu đề cho tốc độ và hỏi li độ, biến đổi thành $x = \pm\sqrt{A^2 - v^2/\omega^2}$. Ví dụ, với cùng vật này, nếu biết tốc độ là $30$ cm/s thì $x^2 = 10^2 - (30/5)^2 = 100-36=64$, nên $|x|=8$ cm. Luôn nhớ hai chiều của một hệ thức, thay vì chỉ thuộc một chiều duy nhất.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là nghĩ tốc độ lớn nhất xảy ra tại biên (nơi "vật đi xa nhất") — thực tế ngược lại: tại biên $v = 0$ , còn tốc độ cực đại xảy ra tại vị trí cân bằng. Sai lầm thứ hai là nhầm "vận tốc" (đại lượng có dấu, có thể âm) với "tốc độ" (luôn không âm, bằng $|v|$ ) — khi đề hỏi "tốc độ", đáp số luôn phải dương.

Sai lầm phổ biến nhất là nghĩ tốc độ lớn nhất xảy ra tại biên (nơi "vật đi xa nhất") — thực tế ngược lại: tại biên $v = 0$, còn tốc độ cực đại xảy ra tại vị trí cân bằng. Sai lầm thứ hai là nhầm "vận tốc" (đại lượng có dấu, có thể âm) với "tốc độ" (luôn không âm, bằng $|v|$) — khi đề hỏi "tốc độ", đáp số luôn phải dương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ : vận tốc sớm pha $\pi/2$ so với li độ. $v = 0$ tại biên; $|v| = v_{max} = A\omega$ tại vị trí cân bằng. "Vận tốc" có thể âm (chỉ chiều chuyển động); "tốc độ" $= |v|$ luôn không âm.

$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$: vận tốc sớm pha $\pi/2$ so với li độ. $v = 0$ tại biên; $|v| = v_{max} = A\omega$ tại vị trí cân bằng. "Vận tốc" có thể âm (chỉ chiều chuyển động); "tốc độ" $= |v|$ luôn không âm.

Vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian — nghĩa là vật đang có gia tốc, kể cả những lúc tốc độ đang lớn nhất. Bài tiếp theo lấy đạo hàm thêm một lần nữa, từ $v(t)$ ra $a(t)$ , để hoàn tất bộ ba đại lượng mô tả chuyển động của một dao động điều hòa, và trả lời câu hỏi: gia tốc lớn nhất khi nào, tại vị trí nào trên quỹ đạo.

Vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian — nghĩa là vật đang có gia tốc, kể cả những lúc tốc độ đang lớn nhất. Bài tiếp theo lấy đạo hàm thêm một lần nữa, từ $v(t)$ ra $a(t)$, để hoàn tất bộ ba đại lượng mô tả chuyển động của một dao động điều hòa, và trả lời câu hỏi: gia tốc lớn nhất khi nào, tại vị trí nào trên quỹ đạo.