Bài học

Elip — nhận dạng và phương trình chính tắc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa hình học của elip qua hai tiêu điểm, viết được phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và tiêu cự, và xác định được tiêu điểm, đỉnh, độ dài hai trục từ phương trình chính tắc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này mở đầu "ba đường conic" — ba đường cong được định nghĩa bằng một tính chất khoảng cách đặc biệt, dùng lại đúng công thức khoảng cách hai điểm đã học ở Bài 1 (same-grade bridge). Elip là đường conic đầu tiên và cũng là đường quen thuộc nhất: quỹ đạo các hành tinh quanh Mặt Trời, hình dạng một số mái vòm kiến trúc, và cả đường viền một số chiếc gương phản xạ âm thanh đều là elip.

Khởi động

Một người làm vườn cắm hai chiếc cọc xuống đất, buộc hai đầu một sợi dây vào hai cọc, rồi căng dây bằng một cây bút và di chuyển bút vòng quanh sao cho dây luôn căng. Đường bút vẽ ra là một elip. Vì sao cách vẽ đơn giản này lại luôn cho ra elip, dù độ dài dây hay khoảng cách hai cọc thay đổi thế nào?

Kiến thức trọng tâm

Elip là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định $F_1$ , $F_2$ (gọi là hai tiêu điểm) luôn bằng một hằng số không đổi $2a$ (với $2a > F_1F_2$ ): $MF_1+MF_2=2a$ . Cách vẽ bằng dây và hai cọc ở phần khởi động chính là minh họa trực tiếp định nghĩa này — độ dài sợi dây cố định đóng vai trò $2a$ , còn hai cọc là hai tiêu điểm.

Elip là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ (gọi là hai tiêu điểm) luôn bằng một hằng số không đổi $2a$ (với $2a > F_1F_2$): $MF_1+MF_2=2a$. Cách vẽ bằng dây và hai cọc ở phần khởi động chính là minh họa trực tiếp định nghĩa này — độ dài sợi dây cố định đóng vai trò $2a$, còn hai cọc là hai tiêu điểm.

Khi đặt hai tiêu điểm đối xứng qua gốc tọa độ trên trục hoành, $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$ , phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$ và $b^2=a^2-c^2$ . Trong đó $a$ là độ dài nửa trục lớn (trục lớn dài $2a$ , nằm trên trục hoành), $b$ là độ dài nửa trục nhỏ (trục nhỏ dài $2b$ , nằm trên trục tung), và $c$ là nửa tiêu cự (tiêu cự — khoảng cách hai tiêu điểm — bằng $2c$ ).

Khi đặt hai tiêu điểm đối xứng qua gốc tọa độ trên trục hoành, $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$, phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$ và $b^2=a^2-c^2$. Trong đó $a$ là độ dài nửa trục lớn (trục lớn dài $2a$, nằm trên trục hoành), $b$ là độ dài nửa trục nhỏ (trục nhỏ dài $2b$, nằm trên trục tung), và $c$ là nửa tiêu cự (tiêu cự — khoảng cách hai tiêu điểm — bằng $2c$).

Tâm sai (kí hiệu $e$ ) của elip là tỉ số $e=\dfrac{c}{a}$ , luôn thỏa $0<e<1$ vì $c<a$ . Tâm sai đo mức độ "dẹt" của elip: khi $e$ gần $0$ (tức $c$ rất nhỏ so với $a$ , hai tiêu điểm gần trùng nhau), elip gần giống hình tròn; khi $e$ gần $1$ (hai tiêu điểm cách xa nhau, gần bằng độ dài trục lớn), elip trông rất dẹt, gần thành một đoạn thẳng. Quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời có tâm sai rất nhỏ (khoảng $0{,}017$ ), gần như tròn, còn quỹ đạo một số sao chổi có tâm sai gần $1$ , rất dẹt.

Tâm sai (kí hiệu $e$) của elip là tỉ số $e=\dfrac{c}{a}$, luôn thỏa $0<e<1$ vì $c<a$. Tâm sai đo mức độ "dẹt" của elip: khi $e$ gần $0$ (tức $c$ rất nhỏ so với $a$, hai tiêu điểm gần trùng nhau), elip gần giống hình tròn; khi $e$ gần $1$ (hai tiêu điểm cách xa nhau, gần bằng độ dài trục lớn), elip trông rất dẹt, gần thành một đoạn thẳng. Quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời có tâm sai rất nhỏ (khoảng $0{,}017$), gần như tròn, còn quỹ đạo một số sao chổi có tâm sai gần $1$, rất dẹt.

Bốn đỉnh của elip là giao điểm của elip với hai trục tọa độ: $A_1(-a;0)$ , $A_2(a;0)$ trên trục lớn, và $B_1(0;-b)$ , $B_2(0;b)$ trên trục nhỏ. Vì $a>b$ , trục lớn luôn dài hơn trục nhỏ — đây là lý do elip trông "dẹt" theo hướng trục nhỏ chứ không phải hình tròn. Khi $a=b$ (dù trường hợp này không còn thỏa $a>b$ nghiêm ngặt), elip suy biến thành đường tròn — đường tròn chính là một elip đặc biệt có hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm.

Bốn đỉnh của elip là giao điểm của elip với hai trục tọa độ: $A_1(-a;0)$, $A_2(a;0)$ trên trục lớn, và $B_1(0;-b)$, $B_2(0;b)$ trên trục nhỏ. Vì $a>b$, trục lớn luôn dài hơn trục nhỏ — đây là lý do elip trông "dẹt" theo hướng trục nhỏ chứ không phải hình tròn. Khi $a=b$ (dù trường hợp này không còn thỏa $a>b$ nghiêm ngặt), elip suy biến thành đường tròn — đường tròn chính là một elip đặc biệt có hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm.

Trục lớn A1A2 dài 10, trục nhỏ B1B2 dài 8, tiêu cự F1F2 dài 6.

Ví dụ

Viết phương trình chính tắc của elip từ trục lớn và tiêu cự

1
Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6$ .
Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6$.
2
Ta có $2a=10 \Rightarrow a=5$ , và $2c=6 \Rightarrow c=3$ .
Ta có $2a=10 \Rightarrow a=5$, và $2c=6 \Rightarrow c=3$.
3
Theo hệ thức $b^2=a^2-c^2$ , ta có $b^2=5^2-3^2=25-9=16$ , suy ra $b=4$ .
Theo hệ thức $b^2=a^2-c^2$, ta có $b^2=5^2-3^2=25-9=16$, suy ra $b=4$.
4
Vậy phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ .
Vậy phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$.
5
Đỉnh trên trục lớn $A_2(5;0)$ : thay vào $\dfrac{5^2}{25}+\dfrac{0^2}{16}=1$ (TMĐK). Xét định nghĩa elip tại chính điểm $A_2$ : khoảng cách từ $A_2$ đến $F_1(-3;0)$ là $8$ , đến $F_2(3;0)$ là $2$ , tổng bằng $10=2a$ — đúng với định nghĩa $MF_1+MF_2=2a$ . Vậy phương trình đúng.
Đỉnh trên trục lớn $A_2(5;0)$: thay vào $\dfrac{5^2}{25}+\dfrac{0^2}{16}=1$ (TMĐK). Xét định nghĩa elip tại chính điểm $A_2$: khoảng cách từ $A_2$ đến $F_1(-3;0)$ là $8$, đến $F_2(3;0)$ là $2$, tổng bằng $10=2a$ — đúng với định nghĩa $MF_1+MF_2=2a$. Vậy phương trình đúng.

Ví dụ

Xác định các yếu tố của elip từ phương trình chính tắc (dạng thi)

1
Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ . Xác định tọa độ các đỉnh và hai tiêu điểm của $(E)$ .
Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$. Xác định tọa độ các đỉnh và hai tiêu điểm của $(E)$.
2
Ta có $a^2=25 \Rightarrow a=5$ và $b^2=16 \Rightarrow b=4$ .
Ta có $a^2=25 \Rightarrow a=5$ và $b^2=16 \Rightarrow b=4$.
3
Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ , suy ra $c^2=a^2-b^2=25-16=9$ , nên $c=3$ .
Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$, suy ra $c^2=a^2-b^2=25-16=9$, nên $c=3$.
4
Bốn đỉnh là $A_1(-5;0)$ , $A_2(5;0)$ , $B_1(0;-4)$ , $B_2(0;4)$ . Hai tiêu điểm là $F_1(-3;0)$ và $F_2(3;0)$ .
Bốn đỉnh là $A_1(-5;0)$, $A_2(5;0)$, $B_1(0;-4)$, $B_2(0;4)$. Hai tiêu điểm là $F_1(-3;0)$ và $F_2(3;0)$.

Ví dụ

Viết phương trình elip khi biết một đỉnh trên trục nhỏ và một tiêu điểm (dạng thi)

1
Viết phương trình chính tắc của elip biết elip có một đỉnh $B(0;4)$ trên trục nhỏ và một tiêu điểm $F(3;0)$ .
Viết phương trình chính tắc của elip biết elip có một đỉnh $B(0;4)$ trên trục nhỏ và một tiêu điểm $F(3;0)$.
2
Đỉnh trên trục nhỏ cho $b=4$ (vì $B_2(0;b)$ với $b>0$ ); tiêu điểm cho $c=3$ .
Đỉnh trên trục nhỏ cho $b=4$ (vì $B_2(0;b)$ với $b>0$); tiêu điểm cho $c=3$.
3
Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ , suy ra $a^2=b^2+c^2=16+9=25$ , nên $a=5$ .
Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$, suy ra $a^2=b^2+c^2=16+9=25$, nên $a=5$.
4
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ — đúng elip đã xét ở ví dụ đầu bài, xác nhận rằng ba cách cho dữ kiện khác nhau (trục lớn và tiêu cự; hoặc trục nhỏ và tiêu điểm) đều xác định cùng một elip khi dữ kiện nhất quán.
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ — đúng elip đã xét ở ví dụ đầu bài, xác nhận rằng ba cách cho dữ kiện khác nhau (trục lớn và tiêu cự; hoặc trục nhỏ và tiêu điểm) đều xác định cùng một elip khi dữ kiện nhất quán.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là nhầm lẫn công thức $b^2=a^2-c^2$ với công thức tương tự của hypebol ở bài sau ( $b^2=c^2-a^2$ , dấu ngược lại) — hai công thức na ná nhau nhưng elip luôn có $a$ là số lớn nhất ( $a>b$ và $a>c$ ), còn hypebol thì $c$ mới là số lớn nhất. Một sai lầm khác là đọc nhầm mẫu số lớn hơn nằm dưới $y^2$ thay vì $x^2$ , dẫn đến xác định sai trục lớn nằm ngang hay thẳng đứng — luôn kiểm tra mẫu số nào lớn hơn để biết $a^2$ nằm ở đâu.

Sai lầm phổ biến nhất là nhầm lẫn công thức $b^2=a^2-c^2$ với công thức tương tự của hypebol ở bài sau ($b^2=c^2-a^2$, dấu ngược lại) — hai công thức na ná nhau nhưng elip luôn có $a$ là số lớn nhất ($a>b$ và $a>c$), còn hypebol thì $c$ mới là số lớn nhất. Một sai lầm khác là đọc nhầm mẫu số lớn hơn nằm dưới $y^2$ thay vì $x^2$, dẫn đến xác định sai trục lớn nằm ngang hay thẳng đứng — luôn kiểm tra mẫu số nào lớn hơn để biết $a^2$ nằm ở đâu.

Elip còn xuất hiện trong kiến trúc và kỹ thuật âm thanh: một số hội trường được thiết kế với trần hình elip sao cho âm thanh phát ra từ một tiêu điểm, sau khi phản xạ trên trần, hội tụ đúng tại tiêu điểm còn lại — hiệu ứng "thì thầm elip" nổi tiếng nhờ đúng tính chất phản xạ đặc biệt của đường conic này. Kiến trúc sư khi thiết kế những công trình như vậy phải tính chính xác $a$ , $b$ , $c$ giống hệt cách em vừa làm ở hai ví dụ trên, chỉ khác đơn vị đo là mét thay vì đơn vị trừu tượng trên trục tọa độ.

Elip còn xuất hiện trong kiến trúc và kỹ thuật âm thanh: một số hội trường được thiết kế với trần hình elip sao cho âm thanh phát ra từ một tiêu điểm, sau khi phản xạ trên trần, hội tụ đúng tại tiêu điểm còn lại — hiệu ứng "thì thầm elip" nổi tiếng nhờ đúng tính chất phản xạ đặc biệt của đường conic này. Kiến trúc sư khi thiết kế những công trình như vậy phải tính chính xác $a$, $b$, $c$ giống hệt cách em vừa làm ở hai ví dụ trên, chỉ khác đơn vị đo là mét thay vì đơn vị trừu tượng trên trục tọa độ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Elip $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ( $a>b>0$ ): $MF_1+MF_2=2a$ , $b^2=a^2-c^2$ , đỉnh $(\pm a;0)$ , $(0;\pm b)$ , tiêu điểm $(\pm c;0)$ .

Elip $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$): $MF_1+MF_2=2a$, $b^2=a^2-c^2$, đỉnh $(\pm a;0)$, $(0;\pm b)$, tiêu điểm $(\pm c;0)$.

Trước khi chuyển bài, để ý rằng cách vẽ bằng dây và hai cọc ở phần khởi động cho em một cách kiểm tra nhanh: nếu tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến hai tiêu điểm không đổi khi điểm đó di chuyển, quỹ đạo chắc chắn là một elip, dù em chưa có phương trình cụ thể. Nguyên tắc "định nghĩa bằng khoảng cách không đổi" này sẽ lặp lại — với một biến thể quan trọng — ở bài hypebol ngay sau đây.

Bài tiếp theo giới thiệu hypebol — người anh em có công thức phương trình rất giống elip nhưng mang dấu trừ, và một định nghĩa dùng hiệu khoảng cách thay vì tổng.