Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Phương trình đường tròn
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em viết được phương trình đường tròn ở dạng chuẩn khi biết tâm và bán kính, nhận ra và chuyển được phương trình dạng khai triển về dạng chuẩn để tìm tâm và bán kính, và viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài này dùng lại công thức khoảng cách hai điểm đã học (same-grade bridge): một đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ chính là tập hợp mọi điểm cách $I$ đúng một khoảng $R$ — không hơn, không kém. Em cũng cần công thức đường thẳng vuông góc với một vectơ cho trước để viết tiếp tuyến.
Khởi động
Một trạm phát wifi đặt tại vị trí $I(1;-2)$ phủ sóng trong bán kính $3$ km. Làm sao viết một phương trình duy nhất mô tả chính xác đường biên của vùng phủ sóng, để biết một địa điểm bất kỳ có nằm đúng trên biên hay không?
Khác với đường thẳng — nơi mọi điểm thỏa mãn cùng một phương trình bậc nhất — đường tròn là hình đầu tiên trong chương này có phương trình bậc hai, vì khoảng cách liên quan đến bình phương tọa độ. Điều này không làm phương trình khó viết hơn: em vẫn xuất phát từ đúng ý tưởng "khoảng cách đến tâm không đổi", chỉ khác ở chỗ khi khai triển ra, các số hạng bậc hai $x^2$, $y^2$ xuất hiện chứ không triệt tiêu như ở đường thẳng.
Kiến thức trọng tâm
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa $IM=R$. Bình phương hai vế của công thức khoảng cách, ta được phương trình chuẩn: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Đây là dạng dễ đọc nhất — nhìn vào là biết ngay tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$.
Khai triển phương trình chuẩn, ta được dạng khai triển $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$. Ngược lại, khi đề cho sẵn một phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, em nhận ra tâm ngay là $I(a;b)$ (nửa hệ số của $x$ và $y$, đổi dấu), còn bán kính suy từ $R^2=a^2+b^2-c$. Điều kiện để phương trình này thực sự là một đường tròn (không phải một điểm hay vô nghiệm) là $a^2+b^2-c>0$, vì bán kính phải là một số dương.
Vì sao dạng khai triển lại xuất hiện dấu trừ trước $2a$ và $2b$? Khai triển trực tiếp $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, ta được $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=R^2$, rồi chuyển $R^2$ sang vế trái và gộp các hằng số $a^2+b^2-R^2$ thành $c$. Nhớ đúng bước khai triển này giúp em không nhầm dấu khi đọc ngược từ dạng khai triển ra tâm — đây là lỗi phổ biến nhất ở bài này.
Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn là đường thẳng đi qua $M_0$ và vuông góc với bán kính $IM_0$ tại đúng điểm đó — đây là tính chất hình học cơ bản của tiếp tuyến (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm). Vì vectơ $\overrightarrow{IM_0}=(x_0-a;y_0-b)$ đóng vai trò vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến là $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.
Mọi điểm trên đường tròn cách tâm I đúng 3 đơn vị.
Ví dụ
Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính
1
Viết phương trình đường tròn có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=3$.
2
Theo công thức, $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ với $a=1$, $b=-2$, $R=3$.
3
Ta có $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.
4
Điểm $(1;1)$ nằm trên trục thẳng đứng qua $I$, cách $I$ đúng $3$ đơn vị theo phương thẳng đứng; thay vào: $(1-1)^2+(1+2)^2=0+9=9$ (TMĐK), khớp bán kính $R=3$. Vậy phương trình đường tròn là $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.
Ví dụ
Tìm tâm và bán kính từ phương trình dạng khai triển
1
Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình $x^2+y^2-4x+6y-3=0$.
2
So sánh với dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, ta có $-2a=-4 \Rightarrow a=2$; $-2b=6 \Rightarrow b=-3$; và $c=-3$.
3
Áp dụng $R^2=a^2+b^2-c = 2^2+(-3)^2-(-3) = 4+9+3=16$, nên $R=\sqrt{16}=4$.
4
Ta có $R^2=16>0$ (TMĐK), nên phương trình thực sự biểu diễn một đường tròn, không phải trường hợp suy biến.
5
Vậy đường tròn có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=4$.
Tâm và bán kính được tính lại từ hệ số của phương trình khai triển.
Ví dụ
Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn
1
Cho đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=5$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_0(4;6)$.
2
Ta có $(4-1)^2+(6-2)^2=9+16=25=R^2$ (TMĐK), nên $M_0$ thực sự nằm trên đường tròn.
3
Vectơ $\overrightarrow{IM_0}=(4-1;6-2)=(3;4)$ đóng vai trò vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến, vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
4
Theo công thức, $3(x-4)+4(y-6)=0 \Rightarrow 3x-12+4y-24=0 \Rightarrow 3x+4y-36=0$.
5
Thay $M_0(4;6)$: $3(4)+4(6)-36=12+24-36=0$ (TMĐK). Vectơ chỉ phương của tiếp tuyến là $(4;-3)$ (vuông góc với pháp tuyến $(3;4)$); tích vô hướng với bán kính $\overrightarrow{IM_0}=(3;4)$ là $4\cdot3+(-3)\cdot4=0$, xác nhận độc lập rằng tiếp tuyến vuông góc với bán kính. Vậy tiếp tuyến là $3x+4y-36=0$.
Tiếp tuyến (nét đứt) vuông góc với bán kính IM0 tại đúng tiếp điểm M0.
Sai lầm thường gặp
Sai lầm phổ biến nhất khi chuyển từ dạng khai triển sang dạng chuẩn là quên đổi dấu: hệ số của $x$ trong dạng khai triển là $-2a$ chứ không phải $a$, nên tâm phải lấy *nửa hệ số rồi đổi dấu*, không phải nửa hệ số giữ nguyên dấu. Một sai lầm khác là quên kiểm tra $a^2+b^2-c>0$ trước khi kết luận có đường tròn — nếu biểu thức này âm hoặc bằng $0$, phương trình vô nghiệm hoặc chỉ biểu diễn đúng một điểm, không phải một đường tròn thực sự.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Dạng chuẩn: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, tâm $I(a;b)$. Dạng khai triển: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, cần $a^2+b^2-c>0$. Tiếp tuyến tại $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.
Tính chất "tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm" không phải điều hiển nhiên cần chấp nhận suông: nếu một đường thẳng qua $M_0$ không vuông góc với $IM_0$ thì nó sẽ cắt đường tròn tại một điểm thứ hai (có thể chứng minh bằng cách xét khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng đó luôn nhỏ hơn $R$ khi đường thẳng nghiêng), tức không còn là tiếp tuyến — chỉ đường thẳng vuông góc với bán kính mới "chạm" đường tròn đúng một điểm duy nhất. Vì vậy, việc lấy $\overrightarrow{IM_0}$ làm vectơ pháp tuyến không phải một mẹo ghi nhớ, mà bám sát đúng định nghĩa hình học của tiếp tuyến.
Ứng dụng thực tế của tiếp tuyến đường tròn xuất hiện ở nhiều nơi: bánh răng ăn khớp tiếp xúc nhau đúng tại điểm mà đường nối hai tâm bánh răng vuông góc với đường tiếp tuyến chung; một vệ tinh bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo gần tròn, tại mọi thời điểm vectơ vận tốc của nó luôn tiếp tuyến với quỹ đạo, tức vuông góc với bán kính nối tâm Trái Đất — đúng nguyên lý vừa học, chỉ khác là áp dụng trong không gian ba chiều thay vì mặt phẳng.
Đường tròn là một trong ba đường conic; hai bài tiếp theo giới thiệu hai "người anh em" còn lại — elip và hypebol — cùng người bạn thứ ba là parabol, đều được mô tả bởi những phương trình có cấu trúc rất gần với những gì em vừa học.
Bài này dùng lại công thức khoảng cách hai điểm đã học (same-grade bridge): một đường tròn tâm I bán kính R chính là tập hợp mọi điểm cách I đúng một khoảng R — không hơn, không kém. Em cũng cần công thức đường thẳng vuông góc với một vectơ cho trước để viết tiếp tuyến.
Một trạm phát wifi đặt tại vị trí I(1;−2) phủ sóng trong bán kính 3 km. Làm sao viết một phương trình duy nhất mô tả chính xác đường biên của vùng phủ sóng, để biết một địa điểm bất kỳ có nằm đúng trên biên hay không?
Khác với đường thẳng — nơi mọi điểm thỏa mãn cùng một phương trình bậc nhất — đường tròn là hình đầu tiên trong chương này có phương trình bậc hai, vì khoảng cách liên quan đến bình phương tọa độ. Điều này không làm phương trình khó viết hơn: em vẫn xuất phát từ đúng ý tưởng "khoảng cách đến tâm không đổi", chỉ khác ở chỗ khi khai triển ra, các số hạng bậc hai x2, y2 xuất hiện chứ không triệt tiêu như ở đường thẳng.
Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là tập hợp các điểm M(x;y) thỏa IM=R. Bình phương hai vế của công thức khoảng cách, ta được phương trình chuẩn: (x−a)2+(y−b)2=R2. Đây là dạng dễ đọc nhất — nhìn vào là biết ngay tâm I(a;b) và bán kính R.
Khai triển phương trình chuẩn, ta được dạng khai triển x2+y2−2ax−2by+c=0 với c=a2+b2−R2. Ngược lại, khi đề cho sẵn một phương trình dạng x2+y2−2ax−2by+c=0, em nhận ra tâm ngay là I(a;b) (nửa hệ số của x và y, đổi dấu), còn bán kính suy từ R2=a2+b2−c. Điều kiện để phương trình này thực sự là một đường tròn (không phải một điểm hay vô nghiệm) là a2+b2−c>0, vì bán kính phải là một số dương.
Vì sao dạng khai triển lại xuất hiện dấu trừ trước 2a và 2b? Khai triển trực tiếp (x−a)2+(y−b)2=R2, ta được x2−2ax+a2+y2−2by+b2=R2, rồi chuyển R2 sang vế trái và gộp các hằng số a2+b2−R2 thành c. Nhớ đúng bước khai triển này giúp em không nhầm dấu khi đọc ngược từ dạng khai triển ra tâm — đây là lỗi phổ biến nhất ở bài này.
Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M0(x0;y0) thuộc đường tròn là đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với bán kính IM0 tại đúng điểm đó — đây là tính chất hình học cơ bản của tiếp tuyến (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm). Vì vectơ IM0=(x0−a;y0−b) đóng vai trò vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến là (x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0.
Viết phương trình đường tròn có tâm I(1;−2), bán kính R=3.
Theo công thức, (x−a)2+(y−b)2=R2 với a=1, b=−2, R=3.
Ta có (x−1)2+(y+2)2=9.
Điểm (1;1) nằm trên trục thẳng đứng qua I, cách I đúng 3 đơn vị theo phương thẳng đứng; thay vào: (1−1)2+(1+2)2=0+9=9 (TMĐK), khớp bán kính R=3. Vậy phương trình đường tròn là (x−1)2+(y+2)2=9.
Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình x2+y2−4x+6y−3=0.
So sánh với dạng x2+y2−2ax−2by+c=0, ta có −2a=−4⇒a=2; −2b=6⇒b=−3; và c=−3.
Áp dụng R2=a2+b2−c=22+(−3)2−(−3)=4+9+3=16, nên R=16=4.
Ta có R2=16>0 (TMĐK), nên phương trình thực sự biểu diễn một đường tròn, không phải trường hợp suy biến.
Vậy đường tròn có tâm I(2;−3) và bán kính R=4.
Cho đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M0(4;6).
Ta có (4−1)2+(6−2)2=9+16=25=R2 (TMĐK), nên M0 thực sự nằm trên đường tròn.
Vectơ IM0=(4−1;6−2)=(3;4) đóng vai trò vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến, vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Theo công thức, 3(x−4)+4(y−6)=0⇒3x−12+4y−24=0⇒3x+4y−36=0.
Thay M0(4;6): 3(4)+4(6)−36=12+24−36=0 (TMĐK). Vectơ chỉ phương của tiếp tuyến là (4;−3) (vuông góc với pháp tuyến (3;4)); tích vô hướng với bán kính IM0=(3;4) là 4⋅3+(−3)⋅4=0, xác nhận độc lập rằng tiếp tuyến vuông góc với bán kính. Vậy tiếp tuyến là 3x+4y−36=0.
Sai lầm phổ biến nhất khi chuyển từ dạng khai triển sang dạng chuẩn là quên đổi dấu: hệ số của x trong dạng khai triển là −2a chứ không phải a, nên tâm phải lấy nửa hệ số rồi đổi dấu, không phải nửa hệ số giữ nguyên dấu. Một sai lầm khác là quên kiểm tra a2+b2−c>0 trước khi kết luận có đường tròn — nếu biểu thức này âm hoặc bằng 0, phương trình vô nghiệm hoặc chỉ biểu diễn đúng một điểm, không phải một đường tròn thực sự.
Dạng chuẩn: (x−a)2+(y−b)2=R2, tâm I(a;b). Dạng khai triển: x2+y2−2ax−2by+c=0, cần a2+b2−c>0. Tiếp tuyến tại M0(x0;y0) thuộc đường tròn: (x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0.
Tính chất "tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm" không phải điều hiển nhiên cần chấp nhận suông: nếu một đường thẳng qua M0 không vuông góc với IM0 thì nó sẽ cắt đường tròn tại một điểm thứ hai (có thể chứng minh bằng cách xét khoảng cách từ I đến đường thẳng đó luôn nhỏ hơn R khi đường thẳng nghiêng), tức không còn là tiếp tuyến — chỉ đường thẳng vuông góc với bán kính mới "chạm" đường tròn đúng một điểm duy nhất. Vì vậy, việc lấy IM0 làm vectơ pháp tuyến không phải một mẹo ghi nhớ, mà bám sát đúng định nghĩa hình học của tiếp tuyến.
Ứng dụng thực tế của tiếp tuyến đường tròn xuất hiện ở nhiều nơi: bánh răng ăn khớp tiếp xúc nhau đúng tại điểm mà đường nối hai tâm bánh răng vuông góc với đường tiếp tuyến chung; một vệ tinh bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo gần tròn, tại mọi thời điểm vectơ vận tốc của nó luôn tiếp tuyến với quỹ đạo, tức vuông góc với bán kính nối tâm Trái Đất — đúng nguyên lý vừa học, chỉ khác là áp dụng trong không gian ba chiều thay vì mặt phẳng.