Bài học

Ôn tập tổng hợp: đường thẳng, đường tròn và ba đường conic

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp các công thức tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn và ba đường conic đã học trong cả chương để giải các bài toán tổng hợp — bao gồm tìm giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn, và nhận dạng nhanh một phương trình bậc hai thuộc loại đường conic nào.

Kiến thức nền cần nhớ

Bảy bài trước lần lượt trang bị cho em: tọa độ điểm và vectơ, phương trình đường thẳng (hai dạng), vị trí tương đối và khoảng cách, phương trình đường tròn, và ba đường conic elip – hypebol – parabol (same-grade bridge, gộp lại toàn bộ chương). Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới, mà ghép các công cụ đó lại để giải những bài toán đòi hỏi phối hợp nhiều bước — đúng dạng bài tổng hợp cuối chương mà đề kiểm tra học kì thường ra.

Khởi động

Một con đường thẳng cắt qua vùng phủ sóng hình tròn của một trạm phát. Làm sao xác định chính xác đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng, biết phương trình con đường và phương trình đường tròn phủ sóng?

Kiến thức trọng tâm

Khi một đường thẳng $\Delta$ và một đường tròn $(C)$ cùng xuất hiện trong một bài toán, cách làm chuẩn là dùng phương trình tham số (hoặc rút $x$ hay $y$ từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ) để thay vào phương trình đường tròn, đưa bài toán về giải một phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của phương trình bậc hai đó cho biết vị trí tương đối: hai nghiệm phân biệt nghĩa là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm, nghiệm kép nghĩa là đường thẳng tiếp xúc đường tròn (đúng bằng bài tiếp tuyến đã học), và vô nghiệm nghĩa là đường thẳng không cắt đường tròn.

Khi một đường thẳng $\Delta$ và một đường tròn $(C)$ cùng xuất hiện trong một bài toán, cách làm chuẩn là dùng phương trình tham số (hoặc rút $x$ hay $y$ từ phương trình tổng quát của $\Delta$) để thay vào phương trình đường tròn, đưa bài toán về giải một phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của phương trình bậc hai đó cho biết vị trí tương đối: hai nghiệm phân biệt nghĩa là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm, nghiệm kép nghĩa là đường thẳng tiếp xúc đường tròn (đúng bằng bài tiếp tuyến đã học), và vô nghiệm nghĩa là đường thẳng không cắt đường tròn.

Một cách khác, nhanh hơn khi chỉ cần biết vị trí tương đối (không cần tọa độ giao điểm cụ thể): so sánh khoảng cách từ tâm $I$ đến $\Delta$ với bán kính $R$ . Nếu $d(I,\Delta)<R$ , đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm; nếu $d(I,\Delta)=R$ , đường thẳng tiếp xúc; nếu $d(I,\Delta)>R$ , đường thẳng không giao đường tròn. Cách này dùng đúng công thức khoảng cách điểm-đường đã học ở Bài 3, tránh phải giải phương trình bậc hai khi đề chỉ hỏi có giao điểm hay không.

Một cách khác, nhanh hơn khi chỉ cần biết vị trí tương đối (không cần tọa độ giao điểm cụ thể): so sánh khoảng cách từ tâm $I$ đến $\Delta$ với bán kính $R$. Nếu $d(I,\Delta)<R$, đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm; nếu $d(I,\Delta)=R$, đường thẳng tiếp xúc; nếu $d(I,\Delta)>R$, đường thẳng không giao đường tròn. Cách này dùng đúng công thức khoảng cách điểm-đường đã học ở Bài 3, tránh phải giải phương trình bậc hai khi đề chỉ hỏi có giao điểm hay không.

Khi một phương trình bậc hai hai ẩn xuất hiện mà chưa rõ là đường conic nào, hãy nhận dạng theo mẹo đã nêu ở bài trước: hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và cùng dấu (dạng $x^2+y^2+\ldots$ ) là đường tròn; khác nhau nhưng cùng dấu là elip; trái dấu là hypebol; chỉ một biến bậc hai là parabol. Nhận dạng đúng loại trước khi tính toán giúp em chọn đúng công thức, tránh áp nhầm công thức elip cho một phương trình hypebol hay ngược lại.

Khi một phương trình bậc hai hai ẩn xuất hiện mà chưa rõ là đường conic nào, hãy nhận dạng theo mẹo đã nêu ở bài trước: hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau và cùng dấu (dạng $x^2+y^2+\ldots$) là đường tròn; khác nhau nhưng cùng dấu là elip; trái dấu là hypebol; chỉ một biến bậc hai là parabol. Nhận dạng đúng loại trước khi tính toán giúp em chọn đúng công thức, tránh áp nhầm công thức elip cho một phương trình hypebol hay ngược lại.

A và B là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và đường tròn, đều thỏa mãn cả hai phương trình.

Ví dụ

Tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường tròn (bài tổng hợp)

1
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d: x-2y+5=0$ và đường tròn $(C): (x-2)^2+(y-1)^2=25$ .
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d: x-2y+5=0$ và đường tròn $(C): (x-2)^2+(y-1)^2=25$.
2
Từ $d$ , ta có $x=2y-5$ .
Từ $d$, ta có $x=2y-5$.
3
Ta có $(2y-5-2)^2+(y-1)^2=25 \Rightarrow (2y-7)^2+(y-1)^2=25$ .
Ta có $(2y-5-2)^2+(y-1)^2=25 \Rightarrow (2y-7)^2+(y-1)^2=25$.
4
Ta có $4y^2-28y+49+y^2-2y+1=25 \Rightarrow 5y^2-30y+25=0 \Rightarrow y^2-6y+5=0$ .
Ta có $4y^2-28y+49+y^2-2y+1=25 \Rightarrow 5y^2-30y+25=0 \Rightarrow y^2-6y+5=0$.
5
Ta có $(y-1)(y-5)=0$ , suy ra $y=1$ hoặc $y=5$ .
Ta có $(y-1)(y-5)=0$, suy ra $y=1$ hoặc $y=5$.
6
Với $y=1$ : $x=2(1)-5=-3$ , được điểm $A(-3;1)$ . Với $y=5$ : $x=2(5)-5=5$ , được điểm $B(5;5)$ . Kiểm tra $A$ : $(-3-2)^2+(1-1)^2=25$ (TMĐK); kiểm tra $B$ : $(5-2)^2+(5-1)^2=9+16=25$ (TMĐK). Vậy $d$ và $(C)$ cắt nhau tại $A(-3;1)$ và $B(5;5)$ .
Với $y=1$: $x=2(1)-5=-3$, được điểm $A(-3;1)$. Với $y=5$: $x=2(5)-5=5$, được điểm $B(5;5)$. Kiểm tra $A$: $(-3-2)^2+(1-1)^2=25$ (TMĐK); kiểm tra $B$: $(5-2)^2+(5-1)^2=9+16=25$ (TMĐK). Vậy $d$ và $(C)$ cắt nhau tại $A(-3;1)$ và $B(5;5)$.

Ví dụ

Nhận dạng đường conic và xác định các yếu tố (bài tổng hợp)

1
Cho ba phương trình: (1) $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ ; (2) $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ ; (3) $y^2=10x$ . Nhận dạng mỗi phương trình là loại đường conic nào, và tìm tiêu điểm của (1).
Cho ba phương trình: (1) $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$; (2) $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$; (3) $y^2=10x$. Nhận dạng mỗi phương trình là loại đường conic nào, và tìm tiêu điểm của (1).
2
Phương trình (1) có hai biến bậc hai, hệ số dương và khác nhau ( $16\ne9$ ) — đây là elip. Phương trình (2) có hai biến bậc hai trái dấu — đây là hypebol. Phương trình (3) chỉ có một biến bậc hai ( $y^2$ ) — đây là parabol.
Phương trình (1) có hai biến bậc hai, hệ số dương và khác nhau ($16\ne9$) — đây là elip. Phương trình (2) có hai biến bậc hai trái dấu — đây là hypebol. Phương trình (3) chỉ có một biến bậc hai ($y^2$) — đây là parabol.
3
Với elip (1), $a^2=16,b^2=9 \Rightarrow a=4,b=3$ ; $c^2=a^2-b^2=16-9=7 \Rightarrow c=\sqrt7$ .
Với elip (1), $a^2=16,b^2=9 \Rightarrow a=4,b=3$; $c^2=a^2-b^2=16-9=7 \Rightarrow c=\sqrt7$.
4
Tiêu điểm của (1) là $F_1(-\sqrt7;0)$ và $F_2(\sqrt7;0)$ . Ba phương trình đã cho lần lượt là elip, hypebol, và parabol — đúng ba loại conic vừa học trong chương, phân biệt chỉ bằng cách quan sát dấu và số biến bậc hai.
Tiêu điểm của (1) là $F_1(-\sqrt7;0)$ và $F_2(\sqrt7;0)$. Ba phương trình đã cho lần lượt là elip, hypebol, và parabol — đúng ba loại conic vừa học trong chương, phân biệt chỉ bằng cách quan sát dấu và số biến bậc hai.

Ví dụ

Viết phương trình đường tròn nhận một đoạn thẳng làm đường kính (ôn lại Bài 1)

1
Cho hai điểm $A(1;2)$ và $B(5;-4)$ (chính là hai điểm ở Bài 1). Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.
Cho hai điểm $A(1;2)$ và $B(5;-4)$ (chính là hai điểm ở Bài 1). Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.
2
Tâm của đường tròn đường kính $AB$ chính là trung điểm $M$ của $AB$ . Theo công thức trung điểm đã học ở Bài 1, $M\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2-4}{2}\right)=M(3;-1)$ .
Tâm của đường tròn đường kính $AB$ chính là trung điểm $M$ của $AB$. Theo công thức trung điểm đã học ở Bài 1, $M\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2-4}{2}\right)=M(3;-1)$.
3
Bán kính bằng nửa độ dài đường kính: $R=\dfrac{AB}{2}$ . Theo Bài 1, $AB=2\sqrt{13}$ , nên $R=\sqrt{13}$ .
Bán kính bằng nửa độ dài đường kính: $R=\dfrac{AB}{2}$. Theo Bài 1, $AB=2\sqrt{13}$, nên $R=\sqrt{13}$.
4
Vậy phương trình đường tròn là $(x-3)^2+(y+1)^2=13$ .
Vậy phương trình đường tròn là $(x-3)^2+(y+1)^2=13$.
5
Thay $A(1;2)$ : $(1-3)^2+(2+1)^2=4+9=13$ (TMĐK). Thay $B(5;-4)$ : $(5-3)^2+(-4+1)^2=4+9=13$ (TMĐK). Cả hai điểm đầu mút đều thuộc đường tròn, đúng như tính chất đường kính. Vậy phương trình đúng, và bài toán này cho thấy công cụ của Bài 1 (trung điểm, khoảng cách) và Bài 4 (phương trình đường tròn) phối hợp trực tiếp với nhau.
Thay $A(1;2)$: $(1-3)^2+(2+1)^2=4+9=13$ (TMĐK). Thay $B(5;-4)$: $(5-3)^2+(-4+1)^2=4+9=13$ (TMĐK). Cả hai điểm đầu mút đều thuộc đường tròn, đúng như tính chất đường kính. Vậy phương trình đúng, và bài toán này cho thấy công cụ của Bài 1 (trung điểm, khoảng cách) và Bài 4 (phương trình đường tròn) phối hợp trực tiếp với nhau.

Ví dụ trên minh họa đúng tinh thần của bài ôn tập: không có kỹ thuật nào mới, chỉ là nhận ra công thức nào của bài nào cần dùng, theo đúng thứ tự nào. Khi gặp một bài tổng hợp trong đề kiểm tra, chiến lược hiệu quả là đọc kỹ đề để xác định đối tượng hình học nào xuất hiện (điểm, đường thẳng, đường tròn, hay conic), rồi liệt kê công thức liên quan trước khi bắt tay vào tính toán — tránh tình trạng nhớ nhầm công thức của đối tượng này sang đối tượng khác, lỗi phổ biến nhất trong bài tổng hợp cuối chương.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài toán giao điểm đường thẳng – đường tròn là quên kiểm tra lại cả hai điểm tìm được vào cả hai phương trình gốc — chỉ giải xong phương trình bậc hai mà không thế lại rất dễ bỏ sót một lỗi tính toán ở bước rút gọn. Một sai lầm khác khi nhận dạng conic là chỉ nhìn số hạng $x^2$ và $y^2$ mà quên kiểm tra dấu của cả hai hệ số — dấu (không phải chỉ độ lớn hệ số) mới là yếu tố quyết định elip hay hypebol.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giao điểm đường thẳng – đường tròn: thế phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn, giải bậc hai, rồi kiểm tra lại cả hai điểm. Nhận dạng conic nhanh: cùng dấu bậc hai → tròn/elip; trái dấu → hypebol; một biến bậc hai → parabol.

Đến đây, em đã có trọn bộ công cụ của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: từ một điểm, một vectơ, đến đường thẳng, đường tròn, và ba đường conic — mọi hình phẳng cơ bản giờ đều có thể mô tả bằng một phương trình và giải quyết bằng đại số thuần túy. Chương tiếp theo của chương trình chuyển sang một chủ đề hoàn toàn khác: quy tắc đếm và tổ hợp.