Bài học

Phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được phương trình tổng quát của một đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến, viết được phương trình tham số khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương, và chuyển đổi qua lại giữa hai dạng này.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em cách tính tọa độ vectơ từ hai điểm (same-grade bridge). Bài này dùng đúng kỹ năng đó theo chiều ngược lại: từ một vectơ và một điểm, dựng nên toàn bộ đường thẳng chứa điểm đó và vuông góc hoặc song song với vectơ đã cho.

Khởi động

Một trạm phát sóng đặt tại $A(1;2)$ phát tín hiệu dọc theo một con đường thẳng, biết con đường đó vuông góc với vectơ $(3;-1)$ . Làm sao viết một phương trình duy nhất mô tả toàn bộ con đường đó, để bất kỳ máy nhận nào cũng kiểm tra được mình có nằm trên đường hay không?

Một trạm phát sóng đặt tại $A(1;2)$ phát tín hiệu dọc theo một con đường thẳng, biết con đường đó vuông góc với vectơ $(3;-1)$. Làm sao viết một phương trình duy nhất mô tả toàn bộ con đường đó, để bất kỳ máy nhận nào cũng kiểm tra được mình có nằm trên đường hay không?

Kiến thức trọng tâm

Một đường thẳng $\Delta$ hoàn toàn xác định khi biết một điểm $A(x_0;y_0)$ nó đi qua và một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$ — vectơ vuông góc với đường thẳng. Điều kiện để điểm $M(x;y)$ nằm trên $\Delta$ là $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\vec n$ , tức tích vô hướng bằng $0$ : $a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0$ . Khai triển ra, ta được phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ với $c=-ax_0-by_0$ .

Một đường thẳng $\Delta$ hoàn toàn xác định khi biết một điểm $A(x_0;y_0)$ nó đi qua và một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$ — vectơ vuông góc với đường thẳng. Điều kiện để điểm $M(x;y)$ nằm trên $\Delta$ là $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\vec n$, tức tích vô hướng bằng $0$: $a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0$. Khai triển ra, ta được phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ với $c=-ax_0-by_0$.

Vì sao lại chọn vectơ vuông góc thay vì vectơ song song để dựng phương trình? Vì tích vô hướng bằng $0$ là điều kiện gọn nhất để diễn đạt "vuông góc" bằng đại số — không cần biết độ dài hay góc cụ thể, chỉ cần nhân từng cặp tọa độ tương ứng rồi cộng lại. Với hai vectơ khác không, tích vô hướng bằng $0$ khi và chỉ khi chúng vuông góc, nên phương trình $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ đúng là tập hợp tất cả các điểm mà đoạn nối tới $A$ luôn vuông góc với $\vec n$ — chính là đường thẳng $\Delta$ .

Cách thứ hai để xác định cùng một đường thẳng là dùng vectơ chỉ phương $\vec u=(u_1;u_2)$ — vectơ song song với đường thẳng, tức vuông góc với vectơ pháp tuyến (có thể chọn $\vec u=(-b;a)$ ). Khi đó mọi điểm $M(x;y)$ trên $\Delta$ ứng với một giá trị tham số $t$ sao cho $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ , cho ra phương trình tham số: $\begin{cases}x = x_0 + t u_1 \\ y = y_0 + t u_2\end{cases}$ .

Cách thứ hai để xác định cùng một đường thẳng là dùng vectơ chỉ phương $\vec u=(u_1;u_2)$ — vectơ song song với đường thẳng, tức vuông góc với vectơ pháp tuyến (có thể chọn $\vec u=(-b;a)$). Khi đó mọi điểm $M(x;y)$ trên $\Delta$ ứng với một giá trị tham số $t$ sao cho $\overrightarrow{AM}=t\vec u$, cho ra phương trình tham số: $\begin{cases}x = x_0 + t u_1 \\ y = y_0 + t u_2\end{cases}$.

Hai dạng phương trình mô tả cùng một đường thẳng, chỉ khác công cụ xuất phát: pháp tuyến cho dạng tổng quát gọn để kiểm tra một điểm có thuộc đường hay không (chỉ cần thay số), còn chỉ phương cho dạng tham số tiện để liệt kê lần lượt các điểm trên đường khi $t$ thay đổi. Khi đường thẳng đi qua hai điểm $P$ , $Q$ cho trước, vectơ chỉ phương tự nhiên nhất chính là $\overrightarrow{PQ}$ .

Hai dạng phương trình mô tả cùng một đường thẳng, chỉ khác công cụ xuất phát: pháp tuyến cho dạng tổng quát gọn để kiểm tra một điểm có thuộc đường hay không (chỉ cần thay số), còn chỉ phương cho dạng tham số tiện để liệt kê lần lượt các điểm trên đường khi $t$ thay đổi. Khi đường thẳng đi qua hai điểm $P$, $Q$ cho trước, vectơ chỉ phương tự nhiên nhất chính là $\overrightarrow{PQ}$.

Một hệ quả rất hay dùng: hai đường thẳng song song có cùng phương, nên có thể chọn cùng một vectơ pháp tuyến (chỉ khác hằng số $c$ ); hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường này lại đóng vai trò vectơ chỉ phương của đường kia. Nhờ vậy, muốn viết phương trình một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song (hoặc vuông góc) với một đường thẳng đã biết, em không cần tìm vectơ pháp tuyến từ đầu — chỉ cần mượn lại vectơ pháp tuyến sẵn có của đường đã cho (hoặc hoán đổi tọa độ của nó khi cần vuông góc).

Một hệ quả rất hay dùng: hai đường thẳng song song có cùng phương, nên có thể chọn cùng một vectơ pháp tuyến (chỉ khác hằng số $c$); hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường này lại đóng vai trò vectơ chỉ phương của đường kia. Nhờ vậy, muốn viết phương trình một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song (hoặc vuông góc) với một đường thẳng đã biết, em không cần tìm vectơ pháp tuyến từ đầu — chỉ cần mượn lại vectơ pháp tuyến sẵn có của đường đã cho (hoặc hoán đổi tọa độ của nó khi cần vuông góc).

Đoạn ngắn tại A biểu diễn hướng vectơ pháp tuyến (3;-1), vuông góc với đường thẳng 3x-y-1=0.

Ví dụ

Viết phương trình tổng quát từ một điểm và vectơ pháp tuyến

1
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;2)$ và nhận $\vec n=(3;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;2)$ và nhận $\vec n=(3;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.
2
Ta có điểm $M(x;y)$ thuộc $\Delta$ khi $\overrightarrow{AM}\perp \vec n$ , tức $3(x-1) - 1(y-2) = 0$ .
Ta có điểm $M(x;y)$ thuộc $\Delta$ khi $\overrightarrow{AM}\perp \vec n$, tức $3(x-1) - 1(y-2) = 0$.
3
Ta có $3x - 3 - y + 2 = 0$ , suy ra $3x - y - 1 = 0$ .
Ta có $3x - 3 - y + 2 = 0$, suy ra $3x - y - 1 = 0$.
4
Thay $A(1;2)$ vào: $3(1) - 2 - 1 = 0$ (TMĐK). Vậy phương trình tổng quát của $\Delta$ là $3x-y-1=0$ .
Thay $A(1;2)$ vào: $3(1) - 2 - 1 = 0$ (TMĐK). Vậy phương trình tổng quát của $\Delta$ là $3x-y-1=0$.

Ví dụ

Viết phương trình tham số qua hai điểm cho trước

1
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $P(1;1)$ và $Q(4;3)$ .
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $P(1;1)$ và $Q(4;3)$.
2
Ta có vectơ chỉ phương tự nhiên là $\overrightarrow{PQ} = (4-1;3-1) = (3;2)$ .
Ta có vectơ chỉ phương tự nhiên là $\overrightarrow{PQ} = (4-1;3-1) = (3;2)$.
3
Chọn điểm $P(1;1)$ làm điểm gốc, ta có $\begin{cases}x = 1+3t \\ y = 1+2t\end{cases}$ .
Chọn điểm $P(1;1)$ làm điểm gốc, ta có $\begin{cases}x = 1+3t \\ y = 1+2t\end{cases}$.
4
Với $t=0$ được $P(1;1)$ ; với $t=1$ được $(1+3;1+2)=(4;3)=Q$ (TMĐK). Vậy phương trình tham số là $\begin{cases}x=1+3t\\y=1+2t\end{cases}$ .
Với $t=0$ được $P(1;1)$; với $t=1$ được $(1+3;1+2)=(4;3)=Q$ (TMĐK). Vậy phương trình tham số là $\begin{cases}x=1+3t\\y=1+2t\end{cases}$.

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước (dạng thi)

1
Viết phương trình đường thẳng $\Delta'$ đi qua $K(1;0)$ và song song với đường thẳng $d: 2x-y+1=0$ .
Viết phương trình đường thẳng $\Delta'$ đi qua $K(1;0)$ và song song với đường thẳng $d: 2x-y+1=0$.
2
Ta có $2(1)-0+1=3\ne 0$ , nên $K$ không thuộc $d$ — bài toán có nghĩa (nếu $K$ thuộc $d$ thì $\Delta'$ trùng $d$ , không phải một đường thẳng mới).
Ta có $2(1)-0+1=3\ne 0$, nên $K$ không thuộc $d$ — bài toán có nghĩa (nếu $K$ thuộc $d$ thì $\Delta'$ trùng $d$, không phải một đường thẳng mới).
3
Vì $\Delta' \parallel d$ , hai đường có cùng phương nên có thể chọn chung một vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1)$ của $d$ .
Vì $\Delta' \parallel d$, hai đường có cùng phương nên có thể chọn chung một vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1)$ của $d$.
4
Ta có $2(x-1) - 1(y-0) = 0 \Rightarrow 2x-2-y=0 \Rightarrow 2x-y-2=0$ .
Ta có $2(x-1) - 1(y-0) = 0 \Rightarrow 2x-2-y=0 \Rightarrow 2x-y-2=0$.
5
Thay $K(1;0)$ : $2(1)-0-2=0$ (TMĐK). So với $d: 2x-y+1=0$ , hai đường có cùng cặp hệ số $(2;-1)$ nhưng hằng số tự do khác nhau ( $-2\ne 1$ ), nên chúng song song chứ không trùng nhau. Vậy $\Delta': 2x-y-2=0$ .
Thay $K(1;0)$: $2(1)-0-2=0$ (TMĐK). So với $d: 2x-y+1=0$, hai đường có cùng cặp hệ số $(2;-1)$ nhưng hằng số tự do khác nhau ($-2\ne 1$), nên chúng song song chứ không trùng nhau. Vậy $\Delta': 2x-y-2=0$.

Ngược lại, nếu đề bài yêu cầu đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với $d$ , em chỉ cần đổi vai trò: vectơ pháp tuyến của $d$ trở thành vectơ chỉ phương của đường mới, còn vectơ pháp tuyến của đường mới là vectơ chỉ phương của $d$ (hoán đổi tọa độ và đổi dấu một thành phần). Ví dụ với $d:2x-y+1=0$ ở trên, đường thẳng vuông góc với $d$ sẽ nhận $(1;2)$ — chính là vectơ chỉ phương của $d$ — làm vectơ pháp tuyến. Ghi nhớ song song giữ nguyên vectơ pháp tuyến, còn vuông góc thì hoán đổi nó, giúp em viết ngay phương trình mà không cần dựng lại từ đầu.

Ngược lại, nếu đề bài yêu cầu đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với $d$, em chỉ cần đổi vai trò: vectơ pháp tuyến của $d$ trở thành vectơ chỉ phương của đường mới, còn vectơ pháp tuyến của đường mới là vectơ chỉ phương của $d$ (hoán đổi tọa độ và đổi dấu một thành phần). Ví dụ với $d:2x-y+1=0$ ở trên, đường thẳng vuông góc với $d$ sẽ nhận $(1;2)$ — chính là vectơ chỉ phương của $d$ — làm vectơ pháp tuyến. Ghi nhớ song song *giữ nguyên* vectơ pháp tuyến, còn vuông góc thì *hoán đổi* nó, giúp em viết ngay phương trình mà không cần dựng lại từ đầu.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là lấy nhầm vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương (hoặc ngược lại) khi chuyển đổi giữa hai dạng — hai vectơ này luôn vuông góc với nhau, tức nếu $\vec n=(a;b)$ thì $\vec u=(-b;a)$ , không phải $(a;b)$ . Một sai lầm khác là quên rằng phương trình tham số có vô số cách viết khác nhau cho cùng một đường thẳng, tùy chọn điểm gốc và độ dài vectơ chỉ phương — không có một đáp số duy nhất như phương trình tổng quát.

Sai lầm thường gặp nhất là lấy nhầm vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương (hoặc ngược lại) khi chuyển đổi giữa hai dạng — hai vectơ này luôn vuông góc với nhau, tức nếu $\vec n=(a;b)$ thì $\vec u=(-b;a)$, không phải $(a;b)$. Một sai lầm khác là quên rằng phương trình tham số có vô số cách viết khác nhau cho cùng một đường thẳng, tùy chọn điểm gốc và độ dài vectơ chỉ phương — không có một đáp số duy nhất như phương trình tổng quát.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Phương trình tổng quát: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ với $\vec n=(a;b)$ vuông góc đường thẳng. Phương trình tham số: $\begin{cases}x=x_0+u_1t\\y=y_0+u_2t\end{cases}$ với $\vec u=(u_1;u_2)$ song song đường thẳng, và $\vec u \perp \vec n$ .

Bài tiếp theo dùng chính phương trình tổng quát này để xét hai đường thẳng cắt nhau, song song hay trùng nhau, và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.