Bài học

Vị trí tương đối, góc và khoảng cách liên quan đường thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng (cắt nhau, song song, trùng nhau) từ hệ số phương trình, tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, và tính được góc giữa hai đường thẳng.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước cho em công cụ tính tọa độ điểm, vectơ, và cách viết phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ (same-grade bridge). Bài này khai thác chính bộ hệ số $(a;b;c)$ đó để trả lời ba câu hỏi thường gặp trong đề thi: hai đường thẳng quan hệ với nhau ra sao, điểm cách đường bao xa, và hai đường nghiêng với nhau một góc bao nhiêu.

Khởi động

Hai con đường trong một khu quy hoạch được vẽ bởi hai phương trình $x-2y+3=0$ và $2x-4y+1=0$ . Nhìn hệ số, làm sao biết ngay hai con đường này có bao giờ cắt nhau không, mà không cần vẽ hình hay giải hệ phương trình phức tạp?

Hai con đường trong một khu quy hoạch được vẽ bởi hai phương trình $x-2y+3=0$ và $2x-4y+1=0$. Nhìn hệ số, làm sao biết ngay hai con đường này có bao giờ cắt nhau không, mà không cần vẽ hình hay giải hệ phương trình phức tạp?

Kiến thức trọng tâm

Xét hai đường thẳng $d_1: a_1x+b_1y+c_1=0$ và $d_2: a_2x+b_2y+c_2=0$ . So sánh tỉ số các hệ số cho biết ngay quan hệ giữa chúng: nếu $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ thì $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại đúng một điểm (vectơ pháp tuyến không cùng phương); nếu $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$ thì $d_1 \parallel d_2$ (cùng phương nhưng không trùng); nếu cả ba tỉ số bằng nhau thì $d_1 \equiv d_2$ , hai phương trình chỉ là hai cách viết của cùng một đường thẳng.

Xét hai đường thẳng $d_1: a_1x+b_1y+c_1=0$ và $d_2: a_2x+b_2y+c_2=0$. So sánh tỉ số các hệ số cho biết ngay quan hệ giữa chúng: nếu $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ thì $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại đúng một điểm (vectơ pháp tuyến không cùng phương); nếu $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$ thì $d_1 \parallel d_2$ (cùng phương nhưng không trùng); nếu cả ba tỉ số bằng nhau thì $d_1 \equiv d_2$, hai phương trình chỉ là hai cách viết của cùng một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ được tính bằng công thức $d(M,\Delta) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Tử số đo mức độ "lệch" của $M$ khỏi phương trình đường thẳng (nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì tử số bằng $0$ , khớp với việc khoảng cách bằng $0$ ); mẫu số $\sqrt{a^2+b^2}$ là độ dài vectơ pháp tuyến, đóng vai trò chuẩn hóa để công thức không phụ thuộc vào cách viết phương trình (nhân hai vế với một hằng số khác không không làm đổi $d$ ).

Khoảng cách từ một điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ được tính bằng công thức $d(M,\Delta) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Tử số đo mức độ "lệch" của $M$ khỏi phương trình đường thẳng (nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì tử số bằng $0$, khớp với việc khoảng cách bằng $0$); mẫu số $\sqrt{a^2+b^2}$ là độ dài vectơ pháp tuyến, đóng vai trò chuẩn hóa để công thức không phụ thuộc vào cách viết phương trình (nhân hai vế với một hằng số khác không không làm đổi $d$).

Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ , $d_2$ (lấy giá trị từ $0°$ đến $90°$ , vì góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, bất kể chúng tạo thành hai cặp góc bù nhau) được tính qua vectơ pháp tuyến: $\cos\varphi = \dfrac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ . Dấu giá trị tuyệt đối ở tử số đảm bảo $\cos\varphi \ge 0$ , đúng với quy ước góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90°$ .

Góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ (lấy giá trị từ $0°$ đến $90°$, vì góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, bất kể chúng tạo thành hai cặp góc bù nhau) được tính qua vectơ pháp tuyến: $\cos\varphi = \dfrac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Dấu giá trị tuyệt đối ở tử số đảm bảo $\cos\varphi \ge 0$, đúng với quy ước góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90°$.

Một trường hợp đặc biệt đáng nhớ riêng: hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a_1a_2+b_1b_2=0$ , tức tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng $0$ — đúng điều kiện vuông góc của hai vectơ mà em đã học. Khi cần kiểm tra nhanh hai đường có vuông góc hay không, em không cần tính cả $\cos\varphi$ rồi so với $\cos90°=0$ ; chỉ cần thử thẳng $a_1a_2+b_1b_2$ có bằng $0$ hay không.

Một trường hợp đặc biệt đáng nhớ riêng: hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a_1a_2+b_1b_2=0$, tức tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng $0$ — đúng điều kiện vuông góc của hai vectơ mà em đã học. Khi cần kiểm tra nhanh hai đường có vuông góc hay không, em không cần tính cả $\cos\varphi$ rồi so với $\cos90°=0$; chỉ cần thử thẳng $a_1a_2+b_1b_2$ có bằng $0$ hay không.

Cả ba câu hỏi của bài này — vị trí tương đối, khoảng cách, góc — đều quy về đúng một bộ dữ liệu: cặp hệ số $(a;b)$ , chính là tọa độ vectơ pháp tuyến. Vị trí tương đối so sánh hướng của hai vectơ pháp tuyến (cùng phương hay không); góc đo độ nghiêng giữa hai hướng đó; còn khoảng cách đo độ lệch của một điểm khỏi phương trình theo đúng hướng vectơ pháp tuyến. Nhìn theo cách này, ba công thức không phải ba thứ tách biệt cần học thuộc riêng lẻ, mà là ba câu hỏi khác nhau đặt ra cho cùng một cặp số $(a;b)$ .

Cả ba câu hỏi của bài này — vị trí tương đối, khoảng cách, góc — đều quy về đúng một bộ dữ liệu: cặp hệ số $(a;b)$, chính là tọa độ vectơ pháp tuyến. Vị trí tương đối so sánh *hướng* của hai vectơ pháp tuyến (cùng phương hay không); góc đo *độ nghiêng* giữa hai hướng đó; còn khoảng cách đo *độ lệch* của một điểm khỏi phương trình theo đúng hướng vectơ pháp tuyến. Nhìn theo cách này, ba công thức không phải ba thứ tách biệt cần học thuộc riêng lẻ, mà là ba câu hỏi khác nhau đặt ra cho cùng một cặp số $(a;b)$.

Những bài toán này xuất hiện thường xuyên ngoài đời: kỹ sư giao thông kiểm tra hai đoạn đường quy hoạch có cắt nhau hay chạy song song trước khi thi công, kiến trúc sư tính góc giữa hai bức tường để đảm bảo đúng thiết kế, và một trạm ăng-ten đo khoảng cách từ vị trí đặt máy đến tuyến cáp ngầm để đảm bảo an toàn thi công — cả ba tình huống đều quy về đúng ba công thức vừa học, chỉ khác ở việc gán ý nghĩa thực tế cho các con số.

Đoạn MH (nét đứt) chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng, độ dài bằng 0,2.

Ví dụ

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1
Tính khoảng cách từ điểm $M(2;3)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x-4y+5=0$ .
Tính khoảng cách từ điểm $M(2;3)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x-4y+5=0$.
2
Theo công thức, $d(M,\Delta) = \dfrac{|3(2)-4(3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \dfrac{|6-12+5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|-1|}{5}$ .
Theo công thức, $d(M,\Delta) = \dfrac{|3(2)-4(3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \dfrac{|6-12+5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|-1|}{5}$.
3
Ta có $d(M,\Delta) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .
Ta có $d(M,\Delta) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$.
4
Hạ đường vuông góc từ $M$ xuống $\Delta$ (đi qua hai điểm $(1;2)$ và $(5;5)$ trên $\Delta$ ), ta tìm được chân đường vuông góc $H(2{,}12;2{,}84)$ . Khoảng cách $MH=\sqrt{(2-2{,}12)^2+(3-2{,}84)^2}=\sqrt{0{,}0144+0{,}0256}=\sqrt{0{,}04}=0{,}2$ , khớp đúng với kết quả từ công thức. Vậy $d(M,\Delta)=0{,}2$ .
Hạ đường vuông góc từ $M$ xuống $\Delta$ (đi qua hai điểm $(1;2)$ và $(5;5)$ trên $\Delta$), ta tìm được chân đường vuông góc $H(2{,}12;2{,}84)$. Khoảng cách $MH=\sqrt{(2-2{,}12)^2+(3-2{,}84)^2}=\sqrt{0{,}0144+0{,}0256}=\sqrt{0{,}04}=0{,}2$, khớp đúng với kết quả từ công thức. Vậy $d(M,\Delta)=0{,}2$.

Ví dụ

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (dạng thi)

1
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: x-2y+3=0$ và $d_2: 2x-4y+1=0$ .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: x-2y+3=0$ và $d_2: 2x-4y+1=0$.
2
Ta có $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$ . Hai tỉ số này bằng nhau, nên $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau.
Ta có $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$. Hai tỉ số này bằng nhau, nên $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau.
3
Ta có $\dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{3}{1}=3$ , khác $\dfrac{1}{2}$ . Vì tỉ số hệ số tự do không bằng hai tỉ số kia, $d_1$ và $d_2$ không trùng nhau.
Ta có $\dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{3}{1}=3$, khác $\dfrac{1}{2}$. Vì tỉ số hệ số tự do không bằng hai tỉ số kia, $d_1$ và $d_2$ không trùng nhau.
4
Vậy $d_1 \parallel d_2$ (song song, không trùng nhau và không có điểm chung).
Vậy $d_1 \parallel d_2$ (song song, không trùng nhau và không có điểm chung).
5
Lấy hai điểm trên $d_1$ : $(-3;0)$ và $(1;2)$ , độ dốc $=\dfrac{2-0}{1-(-3)}=\dfrac{1}{2}$ . Lấy hai điểm trên $d_2$ : $(-1{,}5;-0{,}5)$ và $(1{,}5;1)$ , độ dốc $=\dfrac{1-(-0{,}5)}{1{,}5-(-1{,}5)}=\dfrac{1{,}5}{3}=\dfrac{1}{2}$ . Hai độ dốc bằng nhau, xác nhận độc lập rằng $d_1 \parallel d_2$ .
Lấy hai điểm trên $d_1$: $(-3;0)$ và $(1;2)$, độ dốc $=\dfrac{2-0}{1-(-3)}=\dfrac{1}{2}$. Lấy hai điểm trên $d_2$: $(-1{,}5;-0{,}5)$ và $(1{,}5;1)$, độ dốc $=\dfrac{1-(-0{,}5)}{1{,}5-(-1{,}5)}=\dfrac{1{,}5}{3}=\dfrac{1}{2}$. Hai độ dốc bằng nhau, xác nhận độc lập rằng $d_1 \parallel d_2$.

d1 và d2 song song vì tỉ số hệ số a, b bằng nhau nhưng tỉ số hệ số c thì khác.

Ví dụ

Tính góc giữa hai đường thẳng

1
Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1: x-2=0$ và $d_2: x+y-3=0$ .
Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1: x-2=0$ và $d_2: x+y-3=0$.
2
Ta có $\vec{n_1}=(1;0)$ (của $d_1$ ) và $\vec{n_2}=(1;1)$ (của $d_2$ ).
Ta có $\vec{n_1}=(1;0)$ (của $d_1$) và $\vec{n_2}=(1;1)$ (của $d_2$).
3
Theo công thức, $\cos\varphi = \dfrac{|1\cdot1+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{1}{1\cdot\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .
Theo công thức, $\cos\varphi = \dfrac{|1\cdot1+0\cdot1|}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{1}{1\cdot\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.
4
Vì $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , suy ra $\varphi=45°$ . Vậy góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $45°$ — phù hợp với hình dung trực quan: $d_1$ là đường thẳng đứng, còn $d_2$ có độ dốc $-1$ , nghiêng đúng $45°$ so với phương thẳng đứng.
Vì $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$, suy ra $\varphi=45°$. Vậy góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $45°$ — phù hợp với hình dung trực quan: $d_1$ là đường thẳng đứng, còn $d_2$ có độ dốc $-1$, nghiêng đúng $45°$ so với phương thẳng đứng.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp là quên kiểm tra tỉ số $c_1/c_2$ sau khi thấy $a_1/a_2=b_1/b_2$ , rồi vội kết luận hai đường trùng nhau — thực ra điều kiện đó mới chỉ cho biết chúng cùng phương (song song hoặc trùng), phải so tiếp hệ số tự do mới phân biệt được. Một sai lầm khác khi tính khoảng cách là quên trị tuyệt đối ở tử số, khiến khoảng cách ra số âm — vô lý vì khoảng cách luôn không âm.

Sai lầm thường gặp là quên kiểm tra tỉ số $c_1/c_2$ sau khi thấy $a_1/a_2=b_1/b_2$, rồi vội kết luận hai đường trùng nhau — thực ra điều kiện đó mới chỉ cho biết chúng *cùng phương* (song song hoặc trùng), phải so tiếp hệ số tự do mới phân biệt được. Một sai lầm khác khi tính khoảng cách là quên trị tuyệt đối ở tử số, khiến khoảng cách ra số âm — vô lý vì khoảng cách luôn không âm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

So sánh $\dfrac{a_1}{a_2}$ , $\dfrac{b_1}{b_2}$ , $\dfrac{c_1}{c_2}$ để biết hai đường cắt nhau, song song hay trùng nhau. Khoảng cách điểm-đường: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Góc giữa hai đường: $\cos\varphi=\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ .

So sánh $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$, $\dfrac{c_1}{c_2}$ để biết hai đường cắt nhau, song song hay trùng nhau. Khoảng cách điểm-đường: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Góc giữa hai đường: $\cos\varphi=\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.

Một lưu ý cuối: công thức khoảng cách và công thức góc đều dùng nguyên hệ số $(a;b;c)$ của phương trình tổng quát, nên trước khi áp dụng, em cần đưa phương trình đường thẳng về đúng dạng $ax+by+c=0$ — nếu đề cho phương trình tham số, hãy khử tham số $t$ để chuyển về dạng tổng quát trước (kỹ năng đã học ở bài trước), tránh nhầm lẫn giữa hai đại lượng $(u_1;u_2)$ của vectơ chỉ phương với $(a;b)$ của vectơ pháp tuyến khi thay vào công thức.

Chương tiếp theo chuyển từ đường thẳng sang đường tròn — một hình không còn "thẳng" nhưng vẫn được mô tả trọn vẹn bằng một phương trình duy nhất, dùng đúng công cụ khoảng cách vừa học.