Bài học

Hypebol — nhận dạng và phương trình chính tắc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa hình học của hypebol qua hai tiêu điểm, viết được phương trình chính tắc của hypebol khi biết độ dài trục thực và tiêu cự, và xác định được tiêu điểm, đỉnh, và phương trình hai đường tiệm cận từ phương trình chính tắc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em elip — định nghĩa bằng tổng khoảng cách không đổi đến hai tiêu điểm (same-grade bridge). Hypebol dùng lại đúng cặp tiêu điểm đó, nhưng thay tổng bằng hiệu — một thay đổi nhỏ trong định nghĩa tạo ra một đường cong có hình dạng hoàn toàn khác: hai nhánh tách rời nhau thay vì một đường khép kín.

Khởi động

Một hệ thống định vị âm thanh xác định vị trí một vụ nổ bằng cách đo độ trễ thời gian âm thanh đến hai trạm thu đặt cách nhau một khoảng cố định. Độ trễ thời gian không đổi tương ứng với hiệu khoảng cách không đổi từ vụ nổ đến hai trạm. Quỹ tích các điểm có hiệu khoảng cách không đổi đến hai điểm cố định là đường gì?

Kiến thức trọng tâm

Hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm cố định $F_1$ , $F_2$ luôn bằng một hằng số không đổi $2a$ (với $2a<F_1F_2$ ): $|MF_1-MF_2|=2a$ . Vì lấy trị tuyệt đối, mỗi điểm $M$ hoặc gần $F_1$ hơn (thuộc nhánh bên trái) hoặc gần $F_2$ hơn (thuộc nhánh bên phải), tạo ra hai nhánh cong tách biệt — đây là khác biệt hình dạng lớn nhất so với elip.

Hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm cố định $F_1$, $F_2$ luôn bằng một hằng số không đổi $2a$ (với $2a<F_1F_2$): $|MF_1-MF_2|=2a$. Vì lấy trị tuyệt đối, mỗi điểm $M$ hoặc gần $F_1$ hơn (thuộc nhánh bên trái) hoặc gần $F_2$ hơn (thuộc nhánh bên phải), tạo ra hai nhánh cong tách biệt — đây là khác biệt hình dạng lớn nhất so với elip.

Khi hai tiêu điểm đặt tại $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$ , phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , với hệ thức $b^2=c^2-a^2$ (chú ý: dấu ngược với elip, vì ở đây $c$ là số lớn nhất, không phải $a$ ). Hai đỉnh của hypebol là $A_1(-a;0)$ và $A_2(a;0)$ — giao điểm duy nhất của hypebol với trục hoành; hypebol không cắt trục tung.

Khi hai tiêu điểm đặt tại $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$, phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, với hệ thức $b^2=c^2-a^2$ (chú ý: dấu ngược với elip, vì ở đây $c$ là số lớn nhất, không phải $a$). Hai đỉnh của hypebol là $A_1(-a;0)$ và $A_2(a;0)$ — giao điểm duy nhất của hypebol với trục hoành; hypebol không cắt trục tung.

Một đặc điểm chỉ hypebol mới có là hai đường tiệm cận $y=\dfrac{b}{a}x$ và $y=-\dfrac{b}{a}x$ — hai đường thẳng mà khi $x$ càng lớn, hai nhánh hypebol càng áp sát vào nhưng không bao giờ chạm tới. Về mặt hình học, hai tiệm cận là đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có tâm tại gốc tọa độ, các cạnh song song với hai trục và đi qua bốn điểm $(\pm a;0)$ , $(0;\pm b)$ — dựng hình chữ nhật này trước rồi kẻ hai đường chéo là cách nhanh nhất để phác họa gần đúng hypebol khi chưa cần độ chính xác từng điểm.

Một đặc điểm chỉ hypebol mới có là hai đường tiệm cận $y=\dfrac{b}{a}x$ và $y=-\dfrac{b}{a}x$ — hai đường thẳng mà khi $x$ càng lớn, hai nhánh hypebol càng áp sát vào nhưng không bao giờ chạm tới. Về mặt hình học, hai tiệm cận là đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có tâm tại gốc tọa độ, các cạnh song song với hai trục và đi qua bốn điểm $(\pm a;0)$, $(0;\pm b)$ — dựng hình chữ nhật này trước rồi kẻ hai đường chéo là cách nhanh nhất để phác họa gần đúng hypebol khi chưa cần độ chính xác từng điểm.

Tâm sai của hypebol cũng định nghĩa là $e=\dfrac{c}{a}$ giống elip, nhưng ở đây luôn thỏa $e>1$ (vì $c>a$ ), ngược hẳn với elip có $0<e<1$ . Tâm sai càng lớn (khi $c$ vượt xa $a$ ), góc mở giữa hai nhánh hypebol càng rộng, hai đường tiệm cận càng dốc; tâm sai gần $1$ (khi $c$ chỉ nhỉnh hơn $a$ một chút) cho hai nhánh hẹp, khép sát vào trục hoành.

Tâm sai của hypebol cũng định nghĩa là $e=\dfrac{c}{a}$ giống elip, nhưng ở đây luôn thỏa $e>1$ (vì $c>a$), ngược hẳn với elip có $0<e<1$. Tâm sai càng lớn (khi $c$ vượt xa $a$), góc mở giữa hai nhánh hypebol càng rộng, hai đường tiệm cận càng dốc; tâm sai gần $1$ (khi $c$ chỉ nhỉnh hơn $a$ một chút) cho hai nhánh hẹp, khép sát vào trục hoành.

Hai nhánh áp sát dần vào hai đường tiệm cận y = ±(4/3)x nhưng không bao giờ chạm tới.

Ví dụ

Viết phương trình chính tắc của hypebol từ trục thực và tiêu cự

1
Viết phương trình chính tắc của hypebol có độ dài trục thực bằng $6$ và tiêu cự bằng $10$ .
Viết phương trình chính tắc của hypebol có độ dài trục thực bằng $6$ và tiêu cự bằng $10$.
2
Ta có $2a=6 \Rightarrow a=3$ , và $2c=10 \Rightarrow c=5$ .
Ta có $2a=6 \Rightarrow a=3$, và $2c=10 \Rightarrow c=5$.
3
Theo hệ thức $b^2=c^2-a^2$ , ta có $b^2=5^2-3^2=25-9=16$ , suy ra $b=4$ .
Theo hệ thức $b^2=c^2-a^2$, ta có $b^2=5^2-3^2=25-9=16$, suy ra $b=4$.
4
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ .
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.
5
Đỉnh $A_2(3;0)$ : thay vào $\dfrac{3^2}{9}-\dfrac{0^2}{16}=1$ (TMĐK). Hiệu khoảng cách từ $A_2$ đến hai tiêu điểm: $A_2F_1=|3-(-5)|=8$ , $A_2F_2=|3-5|=2$ , hiệu $=8-2=6=2a$ (TMĐK, đúng định nghĩa hypebol). Vậy phương trình đúng.
Đỉnh $A_2(3;0)$: thay vào $\dfrac{3^2}{9}-\dfrac{0^2}{16}=1$ (TMĐK). Hiệu khoảng cách từ $A_2$ đến hai tiêu điểm: $A_2F_1=|3-(-5)|=8$, $A_2F_2=|3-5|=2$, hiệu $=8-2=6=2a$ (TMĐK, đúng định nghĩa hypebol). Vậy phương trình đúng.

Ví dụ

Xác định tiệm cận và tiêu điểm từ phương trình chính tắc (dạng thi)

1
Cho hypebol $(H): \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ . Viết phương trình hai đường tiệm cận và tìm tọa độ hai tiêu điểm.
Cho hypebol $(H): \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$. Viết phương trình hai đường tiệm cận và tìm tọa độ hai tiêu điểm.
2
Ta có $a^2=9 \Rightarrow a=3$ và $b^2=16 \Rightarrow b=4$ .
Ta có $a^2=9 \Rightarrow a=3$ và $b^2=16 \Rightarrow b=4$.
3
Hai tiệm cận là $y=\dfrac{b}{a}x=\dfrac{4}{3}x$ và $y=-\dfrac{4}{3}x$ .
Hai tiệm cận là $y=\dfrac{b}{a}x=\dfrac{4}{3}x$ và $y=-\dfrac{4}{3}x$.
4
Từ $b^2=c^2-a^2$ , suy ra $c^2=a^2+b^2=9+16=25$ , nên $c=5$ .
Từ $b^2=c^2-a^2$, suy ra $c^2=a^2+b^2=9+16=25$, nên $c=5$.
5
Hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$ . Kiểm tra tiệm cận: tại $x=6$ , tiệm cận cho $y=\dfrac{4}{3}\cdot6=8$ (TMĐK với điểm đã đánh dấu trên hình vẽ).
Hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$. Kiểm tra tiệm cận: tại $x=6$, tiệm cận cho $y=\dfrac{4}{3}\cdot6=8$ (TMĐK với điểm đã đánh dấu trên hình vẽ).

Ví dụ

Viết phương trình hypebol từ tiêu điểm và tâm sai (dạng thi)

1
Viết phương trình chính tắc của hypebol biết một tiêu điểm $F(5;0)$ và tâm sai $e=\dfrac{5}{3}$ .
Viết phương trình chính tắc của hypebol biết một tiêu điểm $F(5;0)$ và tâm sai $e=\dfrac{5}{3}$.
2
Tiêu điểm $F(5;0)$ cho $c=5$ .
Tiêu điểm $F(5;0)$ cho $c=5$.
3
Từ $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}$ và $c=5$ , suy ra $a=\dfrac{c}{e}=\dfrac{5}{5/3}=3$ .
Từ $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}$ và $c=5$, suy ra $a=\dfrac{c}{e}=\dfrac{5}{5/3}=3$.
4
Theo hệ thức $b^2=c^2-a^2=25-9=16$ , suy ra $b=4$ .
Theo hệ thức $b^2=c^2-a^2=25-9=16$, suy ra $b=4$.
5
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ — trùng với hypebol đã xét ở ví dụ đầu, cho thấy tiêu điểm cùng tâm sai cũng xác định trọn vẹn một hypebol, không cần biết trực tiếp $a$ hay $b$ .
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ — trùng với hypebol đã xét ở ví dụ đầu, cho thấy tiêu điểm cùng tâm sai cũng xác định trọn vẹn một hypebol, không cần biết trực tiếp $a$ hay $b$.

Hypebol không chỉ là một hình trừu tượng: hệ thống định vị bằng sai lệch thời gian âm thanh hoặc sóng vô tuyến (như kỹ thuật LORAN từng dùng trong hàng hải) xác định vị trí bằng giao điểm của các nhánh hypebol ứng với các cặp trạm thu khác nhau — mỗi cặp trạm cho một hiệu khoảng cách không đổi, tức một nhánh hypebol duy nhất, và vị trí cần tìm là giao điểm của ít nhất hai nhánh như vậy. Gương của một số kính thiên văn phản xạ cũng dùng mặt hypebol để hội tụ ánh sáng, tận dụng đúng tính chất phản xạ đặc trưng của đường conic này.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng nhầm công thức $b^2=a^2-c^2$ của elip cho hypebol — ở hypebol phải là $b^2=c^2-a^2$ (dấu ngược lại), vì $c>a$ chứ không phải $a>c$ như elip. Một sai lầm khác là quên rằng hypebol không có đỉnh trên trục tung như elip (không có điểm $(0;\pm b)$ nào thuộc hypebol) — số $b$ chỉ dùng để tính tiệm cận, không phải tọa độ một đỉnh.

Một câu hỏi tự nhiên: điểm nào trên hypebol gần tiêu điểm nhất? Với nhánh phải ( $x\ge a$ ), đỉnh $A_2(a;0)$ là điểm gần $F_2(c;0)$ nhất, với khoảng cách $A_2F_2=c-a$ — càng xa đỉnh dọc theo nhánh, khoảng cách đến $F_2$ càng tăng. Quan sát này giải thích vì sao trong các ứng dụng định vị, trạm thu gần nhau tương ứng với tiêu điểm gần, còn vùng "mơ hồ" nhất về vị trí luôn nằm gần đỉnh của nhánh hypebol.

Một câu hỏi tự nhiên: điểm nào trên hypebol gần tiêu điểm nhất? Với nhánh phải ($x\ge a$), đỉnh $A_2(a;0)$ là điểm gần $F_2(c;0)$ nhất, với khoảng cách $A_2F_2=c-a$ — càng xa đỉnh dọc theo nhánh, khoảng cách đến $F_2$ càng tăng. Quan sát này giải thích vì sao trong các ứng dụng định vị, trạm thu gần nhau tương ứng với tiêu điểm gần, còn vùng "mơ hồ" nhất về vị trí luôn nằm gần đỉnh của nhánh hypebol.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hypebol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ : $|MF_1-MF_2|=2a$ , $b^2=c^2-a^2$ (dấu ngược elip), đỉnh $(\pm a;0)$ , tiêu điểm $(\pm c;0)$ , tiệm cận $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ .

Hypebol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$: $|MF_1-MF_2|=2a$, $b^2=c^2-a^2$ (dấu ngược elip), đỉnh $(\pm a;0)$, tiêu điểm $(\pm c;0)$, tiệm cận $y=\pm\dfrac{b}{a}x$.

So elip và hypebol cạnh nhau, em thấy rõ một quy luật: cùng một cặp tiêu điểm và cùng công thức chứa $a$ , $b$ , $c$ , nhưng phép tổng khoảng cách sinh ra một đường khép kín, còn phép hiệu sinh ra hai nhánh mở — dấu cộng hay trừ trong định nghĩa quyết định toàn bộ hình dạng. Đây là lý do khi gặp một phương trình dạng $\dfrac{x^2}{m}\pm\dfrac{y^2}{n}=1$ ( $m,n>0$ ), em chỉ cần nhìn dấu trước phân số thứ hai để biết ngay đó là elip hay hypebol, trước khi tính bất kỳ con số nào.

So elip và hypebol cạnh nhau, em thấy rõ một quy luật: cùng một cặp tiêu điểm và cùng công thức chứa $a$, $b$, $c$, nhưng phép tổng khoảng cách sinh ra một đường khép kín, còn phép hiệu sinh ra hai nhánh mở — dấu cộng hay trừ trong định nghĩa quyết định toàn bộ hình dạng. Đây là lý do khi gặp một phương trình dạng $\dfrac{x^2}{m}\pm\dfrac{y^2}{n}=1$ ($m,n>0$), em chỉ cần nhìn dấu trước phân số thứ hai để biết ngay đó là elip hay hypebol, trước khi tính bất kỳ con số nào.

Bài cuối của chương ba đường conic giới thiệu parabol — đường conic đơn giản nhất về công thức, nhưng lại là đường quen thuộc nhất trong đời sống kỹ thuật, từ quỹ đạo một vật ném xiên đến hình dạng gương thu sóng vệ tinh.