Bài học

Đề luyện: Diện tích, thể tích và bài toán mô hình hoá thực tế

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, và bài toán mô hình hoá một vật chứa thực tế bằng tích phân, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Ứng dụng tích phân đã dạy em: diện tích giữa đồ thị và trục hoành là $S=\int_a^b |f(x)|\,dx$ , tách khoảng lấy tích phân theo dấu của $f$ nếu cần; diện tích giữa hai đường cong là $S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ với $a$ , $b$ là hoành độ giao điểm; và thể tích khi quay miền dưới $y=f(x)$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ . Bài này ghép ba công thức đó cùng với bước mô hình hoá — biến một vật chứa thực tế thành một miền được quay quanh một trục — tương tự cách khoá đạo hàm mô hình hoá một chi phí thành một hàm một biến.

Khoá Ứng dụng tích phân đã dạy em: diện tích giữa đồ thị và trục hoành là $S=\int_a^b |f(x)|\,dx$, tách khoảng lấy tích phân theo dấu của $f$ nếu cần; diện tích giữa hai đường cong là $S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ với $a$, $b$ là hoành độ giao điểm; và thể tích khi quay miền dưới $y=f(x)$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$. Bài này ghép ba công thức đó cùng với bước mô hình hoá — biến một vật chứa thực tế thành một miền được quay quanh một trục — tương tự cách khoá đạo hàm mô hình hoá một chi phí thành một hàm một biến.

Khởi động

Một chiếc xô đựng nước có đáy nhỏ, miệng loe rộng dần lên trên. Làm sao dùng tích phân để tính chiếc xô đó chứa được bao nhiêu lít nước, nếu biết bán kính của nó thay đổi thế nào theo chiều cao?

Từ hình phẳng đến vật thể quay: cùng một công thức, nhiều cách đọc

Diện tích giữa hai đường cong luôn bắt đầu bằng bước tìm hoành độ giao điểm — giải $f(x)=g(x)$ — trước khi tích phân, vì đó chính là hai cận $a$ , $b$ . Với thể tích tròn xoay, công thức $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ áp dụng khi trục quay là $Ox$ và hàm cho bán kính là $f(x)$ theo biến ngang $x$ . Nhưng một vật chứa thực tế (ly, xô, bình) thường được mô tả tự nhiên hơn theo chiều cao — nghĩa là bán kính $r$ là một hàm của độ cao $y$ , và trục quay là trục thẳng đứng $Oy$ : khi đó công thức trở thành $V=\pi\int_c^d [r(y)]^2\,dy$ với $c$ , $d$ là độ cao đáy và miệng vật chứa. Đây chính là năng lực mô hình hoá: nhận ra vật chứa thẳng đứng nên đặt biến theo chiều cao, không phải theo chiều ngang.

Diện tích giữa hai đường cong luôn bắt đầu bằng bước tìm hoành độ giao điểm — giải $f(x)=g(x)$ — trước khi tích phân, vì đó chính là hai cận $a$, $b$. Với thể tích tròn xoay, công thức $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ áp dụng khi trục quay là $Ox$ và hàm cho bán kính là $f(x)$ theo biến ngang $x$. Nhưng một vật chứa thực tế (ly, xô, bình) thường được mô tả tự nhiên hơn theo chiều cao — nghĩa là bán kính $r$ là một hàm của độ cao $y$, và trục quay là trục thẳng đứng $Oy$: khi đó công thức trở thành $V=\pi\int_c^d [r(y)]^2\,dy$ với $c$, $d$ là độ cao đáy và miệng vật chứa. Đây chính là năng lực mô hình hoá: nhận ra vật chứa thẳng đứng nên đặt biến theo chiều cao, không phải theo chiều ngang.

Bước mô hình hoá quan trọng nhất là dịch đúng "hình dạng vật chứa" thành một hàm $r(y)$ : nếu bán kính tăng đều theo chiều cao (loe dần lên), $r(y)$ là một hàm bậc nhất của $y$ ; nếu vật chứa là hình cầu hoặc parabol xoay, $r(y)$ sẽ có dạng bậc hai. Một khi đã có $r(y)$ đúng và đúng cận $c$ , $d$ , phần còn lại chỉ là tính tích phân — công cụ đã luyện ở bài trước.

Bước mô hình hoá quan trọng nhất là dịch đúng "hình dạng vật chứa" thành một hàm $r(y)$: nếu bán kính tăng đều theo chiều cao (loe dần lên), $r(y)$ là một hàm bậc nhất của $y$; nếu vật chứa là hình cầu hoặc parabol xoay, $r(y)$ sẽ có dạng bậc hai. Một khi đã có $r(y)$ đúng và đúng cận $c$, $d$, phần còn lại chỉ là tính tích phân — công cụ đã luyện ở bài trước.

Miền diện tích giữa

y=x^2

và

y=x+2

, giới hạn bởi hai giao điểm

(-1;1)

và

(2;4)

.Miền diện tích giữa $y=x^2$ và $y=x+2$, giới hạn bởi hai giao điểm $(-1;1)$ và $(2;4)$.

Ví dụ

Diện tích khi hàm số đổi dấu trên đoạn lấy tích phân

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3-x$ và trục hoành trên đoạn $[-1;1]$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3-x$ và trục hoành trên đoạn $[-1;1]$.
2
$x^3-x=x(x-1)(x+1)=0 \iff x=0,\pm1$ . Trên $(-1;0)$ , thử $x=-0{,}5$ : $(-0{,}5)^3-(-0{,}5)=0{,}375>0$ . Trên $(0;1)$ , thử $x=0{,}5$ : $(0{,}5)^3-0{,}5=-0{,}375<0$ . Vậy hàm đổi dấu tại $x=0$ , cần tách tích phân thành hai đoạn.
$x^3-x=x(x-1)(x+1)=0 \iff x=0,\pm1$. Trên $(-1;0)$, thử $x=-0{,}5$: $(-0{,}5)^3-(-0{,}5)=0{,}375>0$. Trên $(0;1)$, thử $x=0{,}5$: $(0{,}5)^3-0{,}5=-0{,}375<0$. Vậy hàm đổi dấu tại $x=0$, cần tách tích phân thành hai đoạn.
3
$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^0=0-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=\dfrac14$ . $\displaystyle\int_0^1\left[-(x^3-x)\right]dx=-\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=\dfrac14$ .
$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^0=0-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=\dfrac14$. $\displaystyle\int_0^1\left[-(x^3-x)\right]dx=-\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=\dfrac14$.
4
Diện tích cần tìm là $S=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$ . Nếu quên tách đoạn và tính thẳng $\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx$ , kết quả sẽ ra $0$ (vì hai phần triệt tiêu nhau do tính đối xứng) — hoàn toàn sai so với diện tích thực, một nhắc nhở quan trọng vì sao bước xét dấu không thể bỏ qua. Quy tắc chung: diện tích luôn là một số không âm, nên bất cứ khi nào một phép tính diện tích cho ra kết quả âm hoặc bằng $0$ một cách đáng ngờ, đó gần như chắc chắn là dấu hiệu quên xét dấu trước khi tích phân.
Diện tích cần tìm là $S=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$. Nếu quên tách đoạn và tính thẳng $\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx$, kết quả sẽ ra $0$ (vì hai phần triệt tiêu nhau do tính đối xứng) — hoàn toàn sai so với diện tích thực, một nhắc nhở quan trọng vì sao bước xét dấu không thể bỏ qua. Quy tắc chung: diện tích luôn là một số không âm, nên bất cứ khi nào một phép tính diện tích cho ra kết quả âm hoặc bằng $0$ một cách đáng ngờ, đó gần như chắc chắn là dấu hiệu quên xét dấu trước khi tích phân.

Ví dụ

Diện tích giữa hai đường cong

1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=x+2$ .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=x+2$.
2
Giải $x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0 \iff (x-2)(x+1)=0 \iff x=2$ hoặc $x=-1$ .
Giải $x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0 \iff (x-2)(x+1)=0 \iff x=2$ hoặc $x=-1$.
3
Trên $(-1;2)$ , xét $x=0$ : $x+2=2 > x^2=0$ , nên $y=x+2$ nằm trên $y=x^2$ suốt đoạn này.
Trên $(-1;2)$, xét $x=0$: $x+2=2 > x^2=0$, nên $y=x+2$ nằm trên $y=x^2$ suốt đoạn này.
4
$S=\displaystyle\int_{-1}^2 \left[(x+2)-x^2\right]dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^2$ .
$S=\displaystyle\int_{-1}^2 \left[(x+2)-x^2\right]dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^2$.
5
Tại $x=2$ : $2+4-\dfrac83=\dfrac{10}{3}$ . Tại $x=-1$ : $\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac{7}{6}$ .
Tại $x=2$: $2+4-\dfrac83=\dfrac{10}{3}$. Tại $x=-1$: $\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac{7}{6}$.
6
$S=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$ . Vậy diện tích cần tìm là $\dfrac92$ (đơn vị diện tích).
$S=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$. Vậy diện tích cần tìm là $\dfrac92$ (đơn vị diện tích).

Ví dụ

Thể tích tròn xoay quanh Ox

1
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay miền dưới $y=\sqrt x$ trên $[0;4]$ quanh trục $Ox$ .
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay miền dưới $y=\sqrt x$ trên $[0;4]$ quanh trục $Ox$.
2
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x)^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx$.
3
$\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\pi$ .
$\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\pi$.
4
Vậy thể tích khối tròn xoay là $8\pi$ (đơn vị thể tích).
Vậy thể tích khối tròn xoay là $8\pi$ (đơn vị thể tích).

Ví dụ

Mô hình hoá thực tế: dung tích một chiếc xô nước

1
Một chiếc xô đựng nước có dạng hình tròn xoay quanh trục thẳng đứng, đáy nhỏ ở dưới và loe rộng dần lên miệng. Bán kính mặt cắt ngang ở độ cao $y$ (đơn vị dm, tính từ đáy) là $r(y)=1+\dfrac{y}{4}$ , với $y$ từ $0$ đến $4$ dm. Tính dung tích chiếc xô (đơn vị lít, biết $1\text{ dm}^3=1$ lít).
Một chiếc xô đựng nước có dạng hình tròn xoay quanh trục thẳng đứng, đáy nhỏ ở dưới và loe rộng dần lên miệng. Bán kính mặt cắt ngang ở độ cao $y$ (đơn vị dm, tính từ đáy) là $r(y)=1+\dfrac{y}{4}$, với $y$ từ $0$ đến $4$ dm. Tính dung tích chiếc xô (đơn vị lít, biết $1\text{ dm}^3=1$ lít).
2
Vì xô đứng thẳng và bán kính thay đổi theo chiều cao, ta đặt biến theo $y$ và dùng công thức $V=\pi\displaystyle\int_0^4 [r(y)]^2\,dy$ (quay quanh $Oy$ ).
Vì xô đứng thẳng và bán kính thay đổi theo chiều cao, ta đặt biến theo $y$ và dùng công thức $V=\pi\displaystyle\int_0^4 [r(y)]^2\,dy$ (quay quanh $Oy$).
3
$[r(y)]^2=\left(1+\dfrac{y}{4}\right)^2=1+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{16}$ .
$[r(y)]^2=\left(1+\dfrac{y}{4}\right)^2=1+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{16}$.
4
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 \left(1+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{16}\right)dy=\pi\left[y+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{y^3}{48}\right]_0^4$ .
$V=\pi\displaystyle\int_0^4 \left(1+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{16}\right)dy=\pi\left[y+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{y^3}{48}\right]_0^4$.
5
Tại $y=4$ : $4+4+\dfrac{64}{48}=8+\dfrac43=\dfrac{28}{3}$ .
Tại $y=4$: $4+4+\dfrac{64}{48}=8+\dfrac43=\dfrac{28}{3}$.
6
$V=\dfrac{28\pi}{3}\text{ dm}^3 \approx 29{,}3$ lít. Vậy chiếc xô chứa được khoảng $29{,}3$ lít nước.
$V=\dfrac{28\pi}{3}\text{ dm}^3 \approx 29{,}3$ lít. Vậy chiếc xô chứa được khoảng $29{,}3$ lít nước.
7
Bán kính trung bình của xô xấp xỉ $\dfrac{1+2}{2}=1{,}5$ dm; nếu coi gần đúng xô là một hình trụ đều bán kính $1{,}5$ dm cao $4$ dm thì thể tích ước lượng là $\pi(1{,}5)^2(4)=9\pi\approx28{,}3$ lít — gần với kết quả chính xác $29{,}3$ lít, xác nhận đáp số hợp lý (xô thật hơi loe nên thể tích thật lớn hơn một chút so với hình trụ đều bán kính trung bình, đúng như tính toán cho thấy).
Bán kính trung bình của xô xấp xỉ $\dfrac{1+2}{2}=1{,}5$ dm; nếu coi gần đúng xô là một hình trụ đều bán kính $1{,}5$ dm cao $4$ dm thì thể tích ước lượng là $\pi(1{,}5)^2(4)=9\pi\approx28{,}3$ lít — gần với kết quả chính xác $29{,}3$ lít, xác nhận đáp số hợp lý (xô thật hơi loe nên thể tích thật lớn hơn một chút so với hình trụ đều bán kính trung bình, đúng như tính toán cho thấy).

Nhìn lại bốn ví dụ của bài học này: diện tích và thể tích luôn không âm, nên công thức tổng quát thực chất luôn ẩn chứa một giá trị tuyệt đối — $\int|f(x)|\,dx$ cho diện tích với trục hoành, $\int|f(x)-g(x)|\,dx$ cho diện tích giữa hai đường. Bước "xét dấu trước khi tích phân" ở ví dụ đổi dấu, và bước "xác định hàm nào lớn hơn" ở ví dụ hai đường cong, thực chất là cùng một việc: dỡ bỏ dấu giá trị tuyệt đối một cách đúng đắn trước khi tính, thay vì tích phân trực tiếp biểu thức có dấu trừ sai chỗ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài toán mô hình hoá vật chứa: đặt trục quay theo chiều ngang ( $Ox$ , biến $x$ ) dù vật chứa thực tế đứng thẳng và bán kính biến đổi theo chiều CAO. Khi đề mô tả một vật chứa đứng thẳng (ly, xô, bình, chum), luôn đặt biến theo độ cao $y$ và quay quanh $Oy$ : $V=\pi\int r(y)^2\,dy$ — dùng nhầm công thức $Ox$ cho một hình dạng vốn được mô tả theo chiều cao sẽ ra một con số hoàn toàn sai dù kỹ thuật tích phân không có lỗi nào.

Sai lầm phổ biến nhất trong bài toán mô hình hoá vật chứa: đặt trục quay theo chiều ngang ($Ox$, biến $x$) dù vật chứa thực tế đứng thẳng và bán kính biến đổi theo chiều CAO. Khi đề mô tả một vật chứa đứng thẳng (ly, xô, bình, chum), luôn đặt biến theo độ cao $y$ và quay quanh $Oy$: $V=\pi\int r(y)^2\,dy$ — dùng nhầm công thức $Ox$ cho một hình dạng vốn được mô tả theo chiều cao sẽ ra một con số hoàn toàn sai dù kỹ thuật tích phân không có lỗi nào.

Tóm tắt

Diện tích và thể tích đều quy về tích phân, nhưng đòi hỏi một bước mô hình hoá trước khi tính: xác định đúng cận (từ giao điểm hai đường), đúng biến và trục quay (ngang hay thẳng đứng), và đúng hàm mô tả hình dạng. Với vật chứa thực tế đứng thẳng, luôn đặt biến theo chiều cao — đây là năng lực mô hình hoá mà đề 2025 đánh giá trực tiếp. Một thói quen nên giữ lại: luôn ước lượng nhanh kết quả bằng một hình dạng đơn giản gần đúng (hình trụ, hình hộp) trước khi chốt đáp số cuối, để tự phát hiện một phép tính sai lệch quá xa so với trực giác hình học.

Chương tiếp theo rời mạch giải tích, chuyển sang hình học toạ độ trong không gian Oxyz — mạch kiến thức thường chiếm tỉ trọng lớn nhất trong đề.