Bài học

Đề luyện: Vectơ, toạ độ và phương trình mặt phẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về các phép toán vectơ trong không gian, tích có hướng, khoảng cách — trung điểm — trọng tâm, và phương trình mặt phẳng, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Vectơ và tọa độ trong không gian Oxyz đã dạy em: các phép toán vectơ trong không gian (cộng, nhân vô hướng, tích vô hướng, điều kiện vuông góc và song song); tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng tìm vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho, tính diện tích tam giác; công thức khoảng cách, trung điểm, trọng tâm; và cách viết phương trình mặt phẳng từ một điểm và một vectơ pháp tuyến. Bài này ghép các công cụ đó vào một đề luyện đúng ba định dạng, không thêm kỹ thuật mới.

Khởi động

Cho ba điểm $A$ , $B$ , $C$ trong không gian, làm sao tính diện tích tam giác $ABC$ mà không cần dựng đường cao hay dùng công thức Heron — chỉ bằng các phép toán trên toạ độ?

Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ trong không gian, làm sao tính diện tích tam giác $ABC$ mà không cần dựng đường cao hay dùng công thức Heron — chỉ bằng các phép toán trên toạ độ?

Tích có hướng: một công cụ, nhiều ứng dụng

Với hai vectơ $\vec u=(u_1;u_2;u_3)$ và $\vec v=(v_1;v_2;v_3)$ , tích có hướng $[\vec u,\vec v]=(u_2v_3-u_3v_2;\,u_3v_1-u_1v_3;\,u_1v_2-u_2v_1)$ cho một vectơ vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$ . Độ dài của vectơ này bằng $|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\sin\theta$ , đúng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ — nên diện tích tam giác $ABC$ chính là một nửa độ dài tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ . Đây cũng chính là công cụ để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng: vectơ pháp tuyến đó vuông góc với cả hai vectơ nằm trong mặt phẳng, tức đúng bằng tích có hướng của chúng.

Với hai vectơ $\vec u=(u_1;u_2;u_3)$ và $\vec v=(v_1;v_2;v_3)$, tích có hướng $[\vec u,\vec v]=(u_2v_3-u_3v_2;\,u_3v_1-u_1v_3;\,u_1v_2-u_2v_1)$ cho một vectơ vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$. Độ dài của vectơ này bằng $|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\sin\theta$, đúng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ — nên diện tích tam giác $ABC$ chính là một nửa độ dài tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$. Đây cũng chính là công cụ để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng: vectơ pháp tuyến đó vuông góc với cả hai vectơ nằm trong mặt phẳng, tức đúng bằng tích có hướng của chúng.

Trước khi cần đến tích có hướng, hai phép kiểm tra đơn giản hơn đã đủ trả lời nhiều câu hỏi: hai vectơ $\vec u$ , $\vec v$ vuông góc khi và chỉ khi $\vec u\cdot\vec v=0$ ; hai vectơ cùng phương (song song) khi và chỉ khi toạ độ tương ứng của chúng tỉ lệ, tức tồn tại $k$ sao cho $\vec u=k\vec v$ . Hai phép kiểm tra này dùng lại đúng phép toán cộng, nhân vô hướng và tích vô hướng đã học — không cần tích có hướng nếu câu hỏi chỉ dừng ở vuông góc hay song song giữa hai vectơ.

Trước khi cần đến tích có hướng, hai phép kiểm tra đơn giản hơn đã đủ trả lời nhiều câu hỏi: hai vectơ $\vec u$, $\vec v$ vuông góc khi và chỉ khi $\vec u\cdot\vec v=0$; hai vectơ cùng phương (song song) khi và chỉ khi toạ độ tương ứng của chúng tỉ lệ, tức tồn tại $k$ sao cho $\vec u=k\vec v$. Hai phép kiểm tra này dùng lại đúng phép toán cộng, nhân vô hướng và tích vô hướng đã học — không cần tích có hướng nếu câu hỏi chỉ dừng ở vuông góc hay song song giữa hai vectơ.

Một khi có một điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ , phương trình mặt phẳng được viết ngay: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ , khai triển thành dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ . Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng này và góc giữa hai mặt phẳng (qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến) đều dùng lại đúng vectơ pháp tuyến vừa tìm — một khi đã có $\vec n$ đúng, phần còn lại là thay số vào công thức có sẵn.

Một khi có một điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$, phương trình mặt phẳng được viết ngay: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$, khai triển thành dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng này và góc giữa hai mặt phẳng (qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến) đều dùng lại đúng vectơ pháp tuyến vừa tìm — một khi đã có $\vec n$ đúng, phần còn lại là thay số vào công thức có sẵn.

Đọc ngược một phương trình mặt phẳng cho sẵn cũng dùng đúng ý nghĩa đó: nhìn vào $Ax+By+Cz+D=0$ , ba hệ số $A$ , $B$ , $C$ chính là toạ độ của một vectơ pháp tuyến, đọc trực tiếp không cần tính toán gì thêm. Đây là lý do một câu hỏi Phần II thường cho sẵn một phương trình mặt phẳng rồi hỏi "vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến" — câu hỏi đó chỉ kiểm tra em có nhận ra ngay mối liên hệ giữa hệ số và vectơ pháp tuyến hay không, không đòi hỏi phép tính nào cả.

Đọc ngược một phương trình mặt phẳng cho sẵn cũng dùng đúng ý nghĩa đó: nhìn vào $Ax+By+Cz+D=0$, ba hệ số $A$, $B$, $C$ chính là toạ độ của một vectơ pháp tuyến, đọc trực tiếp không cần tính toán gì thêm. Đây là lý do một câu hỏi Phần II thường cho sẵn một phương trình mặt phẳng rồi hỏi "vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến" — câu hỏi đó chỉ kiểm tra em có nhận ra ngay mối liên hệ giữa hệ số và vectơ pháp tuyến hay không, không đòi hỏi phép tính nào cả.

Tam giác ABC (minh hoạ, không theo tỉ lệ) với độ dài ba cạnh tính từ

A(1;0;2)

B(3;-1;0)

C(0;2;1)

.Tam giác ABC (minh hoạ, không theo tỉ lệ) với độ dài ba cạnh tính từ $A(1;0;2)$, $B(3;-1;0)$, $C(0;2;1)$.

Ví dụ

Các phép toán vectơ cơ bản trong không gian

1
Cho $\vec u=(1;2;-1)$ và $\vec v=(2;-1;4)$ . Tính $\vec u+\vec v$ và $\vec u\cdot\vec v$ , rồi cho biết hai vectơ có vuông góc không. Cho thêm $\vec p=(1;2;-1)$ và $\vec q=(2;4;-2)$ , xét xem $\vec p$ và $\vec q$ có cùng phương không.
Cho $\vec u=(1;2;-1)$ và $\vec v=(2;-1;4)$. Tính $\vec u+\vec v$ và $\vec u\cdot\vec v$, rồi cho biết hai vectơ có vuông góc không. Cho thêm $\vec p=(1;2;-1)$ và $\vec q=(2;4;-2)$, xét xem $\vec p$ và $\vec q$ có cùng phương không.
2
$\vec u+\vec v=(3;1;3)$ . $\vec u\cdot\vec v=1(2)+2(-1)+(-1)(4)=2-2-4=-4$ .
$\vec u+\vec v=(3;1;3)$. $\vec u\cdot\vec v=1(2)+2(-1)+(-1)(4)=2-2-4=-4$.
3
Vì $\vec u\cdot\vec v=-4\ne0$ , hai vectơ KHÔNG vuông góc.
Vì $\vec u\cdot\vec v=-4\ne0$, hai vectơ KHÔNG vuông góc.
4
So sánh toạ độ tương ứng: $\dfrac{2}{1}=\dfrac{4}{2}=\dfrac{-2}{-1}=2$ , tỉ lệ bằng nhau ở cả ba toạ độ, nên $\vec q=2\vec p$ .
So sánh toạ độ tương ứng: $\dfrac{2}{1}=\dfrac{4}{2}=\dfrac{-2}{-1}=2$, tỉ lệ bằng nhau ở cả ba toạ độ, nên $\vec q=2\vec p$.
5
$\vec p$ và $\vec q$ cùng phương (vì $\vec q=2\vec p$ ), còn $\vec u$ và $\vec v$ không vuông góc vì tích vô hướng khác $0$ .
$\vec p$ và $\vec q$ cùng phương (vì $\vec q=2\vec p$), còn $\vec u$ và $\vec v$ không vuông góc vì tích vô hướng khác $0$.

Ví dụ

Tích có hướng và diện tích tam giác

1
Cho $A(1;0;2)$ , $B(3;-1;0)$ , $C(0;2;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
Cho $A(1;0;2)$, $B(3;-1;0)$, $C(0;2;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
2
$\vec{AB}=(2;-1;-2)$ , $\vec{AC}=(-1;2;-1)$ .
$\vec{AB}=(2;-1;-2)$, $\vec{AC}=(-1;2;-1)$.
3
$[\vec{AB},\vec{AC}]=\big((-1)(-1)-(-2)(2);\,(-2)(-1)-(2)(-1);\,(2)(2)-(-1)(-1)\big)=(5;4;3)$ .
$[\vec{AB},\vec{AC}]=\big((-1)(-1)-(-2)(2);\,(-2)(-1)-(2)(-1);\,(2)(2)-(-1)(-1)\big)=(5;4;3)$.
4
$\left|[\vec{AB},\vec{AC}]\right|=\sqrt{5^2+4^2+3^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ .
$\left|[\vec{AB},\vec{AC}]\right|=\sqrt{5^2+4^2+3^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$.
5
Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\dfrac12\left|[\vec{AB},\vec{AC}]\right|=\dfrac{5\sqrt2}{2}$ .
Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\dfrac12\left|[\vec{AB},\vec{AC}]\right|=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.

Ví dụ

Khoảng cách hai điểm, trung điểm và trọng tâm

1
Cho $A(1;2;3)$ , $B(3;-2;1)$ , $C(2;4;-1)$ . Tính khoảng cách $AB$ , toạ độ trung điểm $AB$ , và toạ độ trọng tâm tam giác $ABC$ .
Cho $A(1;2;3)$, $B(3;-2;1)$, $C(2;4;-1)$. Tính khoảng cách $AB$, toạ độ trung điểm $AB$, và toạ độ trọng tâm tam giác $ABC$.
2
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6$ .
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6$.
3
$M=\left(\dfrac{1+3}{2};\dfrac{2+(-2)}{2};\dfrac{3+1}{2}\right)=(2;0;2)$ .
$M=\left(\dfrac{1+3}{2};\dfrac{2+(-2)}{2};\dfrac{3+1}{2}\right)=(2;0;2)$.
4
$G=\left(\dfrac{1+3+2}{3};\dfrac{2-2+4}{3};\dfrac{3+1-1}{3}\right)=(2;\dfrac43;1)$ .
$G=\left(\dfrac{1+3+2}{3};\dfrac{2-2+4}{3};\dfrac{3+1-1}{3}\right)=(2;\dfrac43;1)$.
5
$AB=2\sqrt6$ , trung điểm $AB$ là $(2;0;2)$ , trọng tâm tam giác $ABC$ là $\left(2;\dfrac43;1\right)$ — ba công thức toạ độ áp dụng y hệt công thức đã quen thuộc trong mặt phẳng, chỉ thêm một toạ độ $z$ .
$AB=2\sqrt6$, trung điểm $AB$ là $(2;0;2)$, trọng tâm tam giác $ABC$ là $\left(2;\dfrac43;1\right)$ — ba công thức toạ độ áp dụng y hệt công thức đã quen thuộc trong mặt phẳng, chỉ thêm một toạ độ $z$.

Ví dụ

Viết phương trình mặt phẳng từ điểm và vectơ pháp tuyến

1
Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(1;2;-1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1;3)$ .
Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(1;2;-1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2;-1;3)$.
2
$2(x-1)-1(y-2)+3(z-(-1))=0$ .
$2(x-1)-1(y-2)+3(z-(-1))=0$.
3
$2x-2-y+2+3z+3=0 \iff 2x-y+3z+3=0$ .
$2x-2-y+2+3z+3=0 \iff 2x-y+3z+3=0$.
4
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình $2x-y+3z+3=0$ .
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình $2x-y+3z+3=0$.
5
Thay $M(1;2;-1)$ vào phương trình vừa viết: $2(1)-2+3(-1)+3=2-2-3+3=0$ (TMĐK) — xác nhận $M$ thực sự nằm trên mặt phẳng vừa lập, đúng như đề bài yêu cầu.
Thay $M(1;2;-1)$ vào phương trình vừa viết: $2(1)-2+3(-1)+3=2-2-3+3=0$ (TMĐK) — xác nhận $M$ thực sự nằm trên mặt phẳng vừa lập, đúng như đề bài yêu cầu.

Ví dụ

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng

1
Cho mặt phẳng $(P): 2x-y+3z+3=0$ và điểm $O(0;0;0)$ . Tính khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ . Cho thêm hai mặt phẳng $(P'): x+y+z-2=0$ và $(Q'): x-y+1=0$ , tính góc giữa $(P')$ và $(Q')$ .
Cho mặt phẳng $(P): 2x-y+3z+3=0$ và điểm $O(0;0;0)$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Cho thêm hai mặt phẳng $(P'): x+y+z-2=0$ và $(Q'): x-y+1=0$, tính góc giữa $(P')$ và $(Q')$.
2
$d(O,(P))=\dfrac{|2(0)-0+3(0)+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$ .
$d(O,(P))=\dfrac{|2(0)-0+3(0)+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$.
3
$(P')$ có $\vec{n_1}=(1;1;1)$ , $(Q')$ có $\vec{n_2}=(1;-1;0)$ .
$(P')$ có $\vec{n_1}=(1;1;1)$, $(Q')$ có $\vec{n_2}=(1;-1;0)$.
4
$\cos\theta=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\dfrac{|1-1+0|}{\sqrt3\cdot\sqrt2}=0$ .
$\cos\theta=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\dfrac{|1-1+0|}{\sqrt3\cdot\sqrt2}=0$.
5
$\cos\theta=0 \Rightarrow \theta=90°$ : hai mặt phẳng $(P')$ và $(Q')$ vuông góc với nhau. Còn $d(O,(P))=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$ .
$\cos\theta=0 \Rightarrow \theta=90°$: hai mặt phẳng $(P')$ và $(Q')$ vuông góc với nhau. Còn $d(O,(P))=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một nhầm lẫn thường gặp: quên chia đôi khi tính diện tích tam giác từ tích có hướng. Tích có hướng $[\vec{AB},\vec{AC}]$ cho diện tích của HÌNH BÌNH HÀNH tạo bởi hai vectơ đó, không phải diện tích tam giác — diện tích tam giác $ABC$ luôn bằng một nửa độ dài của tích có hướng, đừng bỏ quên hệ số $\dfrac12$ ở bước cuối. Một nhầm lẫn khác ít gặp hơn nhưng vẫn xảy ra: đổi thứ tự hai vectơ trong tích có hướng, tức tính $[\vec{AC},\vec{AB}]$ thay vì $[\vec{AB},\vec{AC}]$ — kết quả sẽ đổi dấu ở cả ba toạ độ (vì tích có hướng không giao hoán), nhưng độ dài (và do đó diện tích) vẫn không đổi, nên phép tính diện tích vẫn đúng dù thứ tự có bị đảo — chỉ cần cẩn thận khi câu hỏi quan tâm đến chiều của vectơ pháp tuyến, không chỉ diện tích.

Tóm tắt

Tích có hướng của hai vectơ là công cụ trung tâm của cả chương: nó cho một vectơ vuông góc với hai vectơ ban đầu, độ dài của nó cho diện tích tam giác (sau khi chia đôi), và chính vectơ đó thường là vectơ pháp tuyến để viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm. Khoảng cách điểm—mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng chỉ là hai công thức áp dụng trực tiếp một khi đã có đúng vectơ pháp tuyến. Trước khi cần đến tích có hướng, luôn thử hai phép kiểm tra đơn giản hơn trước — tích vô hướng bằng $0$ cho vuông góc, toạ độ tỉ lệ cho song song — vì nhiều câu hỏi Phần I và Phần II chỉ dừng lại ở đó, không cần đến phép tính phức tạp hơn.

Bài tiếp theo mở rộng sang phương trình đường thẳng và mặt cầu, rồi kết hợp cả ba đối tượng — mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu — vào một bài toán tổng hợp, dùng lại đúng mặt phẳng $(P)$ vừa lập ở bài này.