Bài học

Đề luyện: Đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN và bài toán tối ưu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN và bài toán tối ưu thực tế bằng đạo hàm, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số đã dạy em: dùng dấu của $f'(x)$ để lập bảng biến thiên và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến; tìm cực trị bằng bảng biến thiên hoặc đạo hàm cấp hai; so sánh giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút để tìm GTLN–GTNN trên một đoạn; và mô hình hoá một đại lượng thực tế thành hàm một biến rồi tối ưu nó. Bài này không dạy thêm kỹ thuật nào — nó ghép bốn mạch kiến thức đó lại thành các câu hỏi đúng phong cách đề thi thật.

Khởi động

Nếu đề chỉ hỏi "tìm cực trị của $f(x)=x^3-3x+1$ " thì em đã quen. Nhưng nếu đề hỏi "tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị", câu hỏi đã đổi từ tính toán trực tiếp sang biện luận theo tham số. Em có nhận ra hai câu hỏi này dùng chung một công cụ không?

Nếu đề chỉ hỏi "tìm cực trị của $f(x)=x^3-3x+1$" thì em đã quen. Nhưng nếu đề hỏi "tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị", câu hỏi đã đổi từ tính toán trực tiếp sang biện luận theo tham số. Em có nhận ra hai câu hỏi này dùng chung một công cụ không?

Từ tính trực tiếp đến biện luận theo tham số

Với $f(x)=x^3-3mx+1$ , ta có $f'(x)=3x^2-3m$ . Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $3x^2=3m$ có hai nghiệm phân biệt khi $m>0$ . Đây chính là công cụ y hệt câu hỏi tính trực tiếp — chỉ khác ở chỗ tham số $m$ bây giờ nằm trong chính điều kiện có nghiệm, biến bài toán từ "tính ra một số" thành "tìm tập hợp giá trị của $m$ ". Đề thi 2025 rất hay khai thác kiểu chuyển đổi này: giữ nguyên công cụ, thay đổi câu hỏi.

Với $f(x)=x^3-3mx+1$, ta có $f'(x)=3x^2-3m$. Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $3x^2=3m$ có hai nghiệm phân biệt khi $m>0$. Đây chính là công cụ y hệt câu hỏi tính trực tiếp — chỉ khác ở chỗ tham số $m$ bây giờ nằm trong chính điều kiện có nghiệm, biến bài toán từ "tính ra một số" thành "tìm tập hợp giá trị của $m$". Đề thi 2025 rất hay khai thác kiểu chuyển đổi này: giữ nguyên công cụ, thay đổi câu hỏi.

Với GTLN–GTNN trên một đoạn $[a;b]$ , quy trình không đổi dù hàm phức tạp đến đâu: tính $f'(x)$ , tìm các điểm tới hạn thuộc $(a;b)$ (nơi $f'(x)=0$ hoặc không xác định), tính giá trị $f$ tại các điểm đó và tại hai đầu mút $a$ , $b$ , rồi so sánh. GTLN là giá trị lớn nhất trong danh sách đó, GTNN là giá trị nhỏ nhất — không cần lập bảng biến thiên đầy đủ nếu chỉ hỏi GTLN–GTNN trên một đoạn cụ thể.

Với GTLN–GTNN trên một đoạn $[a;b]$, quy trình không đổi dù hàm phức tạp đến đâu: tính $f'(x)$, tìm các điểm tới hạn thuộc $(a;b)$ (nơi $f'(x)=0$ hoặc không xác định), tính giá trị $f$ tại các điểm đó và tại hai đầu mút $a$, $b$, rồi so sánh. GTLN là giá trị lớn nhất trong danh sách đó, GTNN là giá trị nhỏ nhất — không cần lập bảng biến thiên đầy đủ nếu chỉ hỏi GTLN–GTNN trên một đoạn cụ thể.

Bài toán tối ưu thực tế là nơi năng lực mô hình hoá thể hiện rõ nhất: một tình huống chi phí, diện tích hay thể tích được mô tả bằng lời, và bước đầu tiên — thường bị bỏ qua khi luyện thi — là đặt đúng biến, viết đúng hàm một biến, rồi mới áp dụng GTLN–GTNN. Sai sót phổ biến nhất không nằm ở đạo hàm, mà ở bước mô hình hoá: quên ràng buộc miền xác định của biến (ví dụ một độ dài phải dương và nhỏ hơn một giá trị nào đó).

Đồ thị minh hoạ cực trị của

y=x^3-3x+1

y'=3x^2-3=0 \iff x=\pm1

.Đồ thị minh hoạ cực trị của $y=x^3-3x+1$: $y'=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$.

Ví dụ

Biện luận tham số để hàm bậc ba có hai cực trị

1
Tìm $m$ để hàm số $f(x) = x^3 - 3mx + 1$ có hai điểm cực trị.
Tìm $m$ để hàm số $f(x) = x^3 - 3mx + 1$ có hai điểm cực trị.
2
Ta có $f'(x) = 3x^2 - 3m$ .
Ta có $f'(x) = 3x^2 - 3m$.
3
Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt. Xét $3x^2 - 3m = 0 \iff x^2 = m$ .
Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt. Xét $3x^2 - 3m = 0 \iff x^2 = m$.
4
Phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>0$ (nếu $m=0$ có nghiệm kép $x=0$ , nếu $m<0$ vô nghiệm).
Phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>0$ (nếu $m=0$ có nghiệm kép $x=0$, nếu $m<0$ vô nghiệm).
5
Vậy $f(x)$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m > 0$ .
Vậy $f(x)$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m > 0$.

Ví dụ

Bài toán tối ưu: thùng hình hộp không nắp thể tích cho trước

1
Người ta làm một thùng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$ (m), thể tích thùng là $4\text{ m}^3$ . Tìm $x$ để diện tích vật liệu làm thùng nhỏ nhất.
Người ta làm một thùng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$ (m), thể tích thùng là $4\text{ m}^3$. Tìm $x$ để diện tích vật liệu làm thùng nhỏ nhất.
2
Gọi $x>0$ là cạnh đáy, $h$ là chiều cao. Ta có thể tích $V = x^2 h = 4 \Rightarrow h = \dfrac{4}{x^2}$ .
Gọi $x>0$ là cạnh đáy, $h$ là chiều cao. Ta có thể tích $V = x^2 h = 4 \Rightarrow h = \dfrac{4}{x^2}$.
3
Diện tích vật liệu gồm một đáy và bốn mặt bên (không nắp): $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{16}{x}$ , với $x>0$ .
Diện tích vật liệu gồm một đáy và bốn mặt bên (không nắp): $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{16}{x}$, với $x>0$.
4
Ta có $S'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2}$ . Xét $S'(x)=0 \iff 2x = \dfrac{16}{x^2} \iff x^3 = 8 \iff x=2$ .
Ta có $S'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2}$. Xét $S'(x)=0 \iff 2x = \dfrac{16}{x^2} \iff x^3 = 8 \iff x=2$.
5
Với $0<x<2$ thì $S'(x)<0$ , với $x>2$ thì $S'(x)>0$ (do $S''(x)=2+\dfrac{32}{x^3}>0$ với mọi $x>0$ ), nên $x=2$ là điểm cực tiểu, cũng là GTNN của $S$ trên $(0;+\infty)$ .
Với $0<x<2$ thì $S'(x)<0$, với $x>2$ thì $S'(x)>0$ (do $S''(x)=2+\dfrac{32}{x^3}>0$ với mọi $x>0$), nên $x=2$ là điểm cực tiểu, cũng là GTNN của $S$ trên $(0;+\infty)$.
6
Với $x=2$ thì $h=\dfrac{4}{4}=1$ và $S_{\min}=4+\dfrac{16}{2}=12\text{ m}^2$ . Vậy cạnh đáy $x=2\text{ m}$ cho diện tích vật liệu nhỏ nhất là $12\text{ m}^2$ .
Với $x=2$ thì $h=\dfrac{4}{4}=1$ và $S_{\min}=4+\dfrac{16}{2}=12\text{ m}^2$. Vậy cạnh đáy $x=2\text{ m}$ cho diện tích vật liệu nhỏ nhất là $12\text{ m}^2$.

Ví dụ

Bài toán tối ưu: hàng rào tựa vào tường

1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có một cạnh là bức tường có sẵn, ba cạnh còn lại dùng $40\text{ m}$ lưới rào. Tìm diện tích lớn nhất có thể rào được.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có một cạnh là bức tường có sẵn, ba cạnh còn lại dùng $40\text{ m}$ lưới rào. Tìm diện tích lớn nhất có thể rào được.
2
Gọi $x$ (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $y$ (m) là cạnh song song với tường (đối diện tường). Ta có $2x + y = 40 \Rightarrow y = 40 - 2x$ , với $0<x<20$ .
Gọi $x$ (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $y$ (m) là cạnh song song với tường (đối diện tường). Ta có $2x + y = 40 \Rightarrow y = 40 - 2x$, với $0<x<20$.
3
$A(x) = xy = x(40-2x) = 40x - 2x^2$ .
$A(x) = xy = x(40-2x) = 40x - 2x^2$.
4
$A'(x) = 40 - 4x$ . Xét $A'(x)=0 \iff x=10$ , và $A''(x)=-4<0$ nên $x=10$ là điểm cực đại.
$A'(x) = 40 - 4x$. Xét $A'(x)=0 \iff x=10$, và $A''(x)=-4<0$ nên $x=10$ là điểm cực đại.
5
Với $x=10$ thì $y=40-20=20$ và $A_{\max}=10\cdot20=200\text{ m}^2$ . Vậy diện tích lớn nhất rào được là $200\text{ m}^2$ .
Với $x=10$ thì $y=40-20=20$ và $A_{\max}=10\cdot20=200\text{ m}^2$. Vậy diện tích lớn nhất rào được là $200\text{ m}^2$.

Ví dụ

GTLN–GTNN của một hàm không phải đa thức

1
Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x+\dfrac4x$ trên đoạn $[1;4]$ .
Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x+\dfrac4x$ trên đoạn $[1;4]$.
2
$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$ .
$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$.
3
$f'(x)=0 \iff x^2=4 \iff x=2$ (nhận, vì $2\in[1;4]$ ; nghiệm $x=-2$ loại vì không thuộc đoạn).
$f'(x)=0 \iff x^2=4 \iff x=2$ (nhận, vì $2\in[1;4]$; nghiệm $x=-2$ loại vì không thuộc đoạn).
4
$f(1)=1+4=5$ , $f(2)=2+2=4$ , $f(4)=4+1=5$ .
$f(1)=1+4=5$, $f(2)=2+2=4$, $f(4)=4+1=5$.
5
GTNN là $4$ , đạt tại $x=2$ ; GTLN là $5$ , đạt tại cả $x=1$ và $x=4$ . Đây là minh chứng quy trình "so sánh tại điểm tới hạn và hai đầu mút" áp dụng được cho mọi dạng hàm, không chỉ đa thức, kể cả khi hàm số chứa phân thức như ở ví dụ này.
GTNN là $4$, đạt tại $x=2$; GTLN là $5$, đạt tại cả $x=1$ và $x=4$. Đây là minh chứng quy trình "so sánh tại điểm tới hạn và hai đầu mút" áp dụng được cho mọi dạng hàm, không chỉ đa thức, kể cả khi hàm số chứa phân thức như ở ví dụ này.

Nhìn lại bốn ví dụ vừa làm, một điểm chung đáng nhớ: dù bài toán là biện luận tham số, tối ưu thực tế, hay GTLN–GTNN của một hàm không phải đa thức, bước quyết định luôn là giải phương trình đạo hàm bằng $0$ rồi phân loại nghiệm bằng dấu đạo hàm cấp hai hoặc bảng biến thiên — không có công thức tối ưu riêng cho từng dạng bài, chỉ có một quy trình duy nhất được áp dụng lại với một hàm khác mỗi lần.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài toán tối ưu không nằm ở đạo hàm mà ở bước mô hình hoá: quên nêu miền xác định của biến. Cạnh $x$ của hộp phải dương ( $x>0$ ), và trong bài hàng rào tựa tường, $x$ phải nhỏ hơn 20 để $y=40-2x$ còn dương — thiếu ràng buộc này, một kết quả cực trị tìm được bằng đạo hàm có thể không có nghĩa thực tế, dù toàn bộ phép tính đạo hàm phía sau đều chính xác.

Sai lầm phổ biến nhất trong bài toán tối ưu không nằm ở đạo hàm mà ở bước mô hình hoá: quên nêu miền xác định của biến. Cạnh $x$ của hộp phải dương ($x>0$), và trong bài hàng rào tựa tường, $x$ phải nhỏ hơn 20 để $y=40-2x$ còn dương — thiếu ràng buộc này, một kết quả cực trị tìm được bằng đạo hàm có thể không có nghĩa thực tế, dù toàn bộ phép tính đạo hàm phía sau đều chính xác.

Tóm tắt

Ba công cụ — bảng biến thiên để xét đơn điệu, so sánh dấu đạo hàm để tìm cực trị, so sánh giá trị tại điểm tới hạn và đầu mút để tìm GTLN–GTNN — cùng phục vụ cả bài toán tính trực tiếp, bài toán biện luận theo tham số, và bài toán tối ưu thực tế. Điểm khác biệt duy nhất là bước mô hình hoá: đặt đúng biến, viết đúng hàm, và không quên ràng buộc miền xác định. Bốn ví dụ của bài học — từ đa thức bậc ba, đến hộp không nắp, hàng rào tựa tường, và hàm phân thức $x+\dfrac4x$ — đều giải được bằng đúng một quy trình duy nhất.

Bài tiếp theo dùng đúng các công cụ này để khảo sát trọn vẹn một hàm số và đọc thông tin ngược lại từ một đồ thị cho sẵn — kỹ năng Phần II rất hay khai thác.