Bài học

Đề luyện tập 1 — Hàm số, tích phân và bài toán thực tiễn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự làm được một đề luyện thu nhỏ (đúng ba định dạng, có tính giờ) gộp cả mạch hàm số — đồ thị và mạch nguyên hàm — tích phân — bài toán thực tiễn, rồi tự chấm theo đúng thang điểm thật.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai chương trước đã luyện riêng từng mạch: đơn điệu — cực trị — GTLN–GTNN — tối ưu thực tế bằng đạo hàm, và khảo sát — đọc đồ thị — tương giao ở chương 2; nguyên hàm — tích phân — diện tích — thể tích — mô hình hoá vật chứa ở chương 3. Bài này không tách riêng từng kỹ thuật nữa, mà trộn chúng lại thành một đề nhỏ đúng cấu trúc thật — sáu câu trải đều ba phần — để em tập chuyển đổi tư duy giữa các chủ đề trong cùng một lượt làm bài, giống hệt cảm giác của phòng thi.

Khởi động

Hãy tự bấm giờ 20 phút trước khi đọc lời giải mẫu bên dưới, làm sáu câu hỏi trải đều ba phần, rồi so đáp số của mình với lời giải. Việc tự làm trước khi xem lời giải là bước quan trọng nhất của một buổi luyện đề — đọc lời giải trước khi tự thử không rèn được phản xạ làm bài thật.

Thang điểm tối đa của đề luyện thu nhỏ này (mô phỏng theo tỉ lệ điểm thật của ba phần).

Đề luyện: Phần I — trắc nghiệm

Hai câu Phần I dưới đây quay lại đúng công cụ đã luyện ở Chương 2 và Chương 3: so sánh giá trị hàm số tại điểm tới hạn và đầu mút để tìm GTLN–GTNN, và áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm — Newton–Leibniz.

Ví dụ

Phần I — Câu 1 và Câu 2

1
Tìm GTLN và GTNN của $f(x)=x^3-3x^2$ trên đoạn $[0;3]$ .
Tìm GTLN và GTNN của $f(x)=x^3-3x^2$ trên đoạn $[0;3]$.
2
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ , các điểm tới hạn trong $(0;3)$ là $x=2$ . So sánh $f(0)=0$ , $f(2)=8-12=-4$ , $f(3)=27-27=0$ . Vậy GTLN $=0$ (tại $x=0$ và $x=3$ ), GTNN $=-4$ (tại $x=2$ ).
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, các điểm tới hạn trong $(0;3)$ là $x=2$. So sánh $f(0)=0$, $f(2)=8-12=-4$, $f(3)=27-27=0$. Vậy GTLN $=0$ (tại $x=0$ và $x=3$), GTNN $=-4$ (tại $x=2$).
3
Tư duy và lập luận toán học: áp dụng đúng quy trình so sánh giá trị tại điểm tới hạn và đầu mút.
4
Tính $\displaystyle\int_1^2 (3x^2-2x)\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_1^2 (3x^2-2x)\,dx$.
5
$\displaystyle\int_1^2(3x^2-2x)\,dx=\left[x^3-x^2\right]_1^2=(8-4)-(1-1)=4$ .
$\displaystyle\int_1^2(3x^2-2x)\,dx=\left[x^3-x^2\right]_1^2=(8-4)-(1-1)=4$.
6
Tư duy và lập luận toán học: áp dụng trực tiếp công thức Newton–Leibniz.

Đề luyện: Phần II — đúng/sai

Hai câu Phần II dưới đây đòi hỏi đọc một tình huống rồi đánh giá bốn ý độc lập — đúng chiến thuật đã luyện ở Chương 1: xét từng ý bằng một lập luận riêng, không kết luận cả câu bằng cảm giác chung.

Ví dụ

Phần II — Câu 3 và Câu 4

1
Đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ có hệ số $x^3$ dương, đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=4$ , đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=0$ . Xét: (i) $f'(0)=0$ ; (ii) $f'(2)=0$ ; (iii) phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt; (iv) hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
Đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ có hệ số $x^3$ dương, đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=4$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=0$. Xét: (i) $f'(0)=0$; (ii) $f'(2)=0$; (iii) phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt; (iv) hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
2
(i), (ii) đúng vì tại điểm cực trị đạo hàm luôn bằng 0. Vì $f(2)=0$ là giá trị cực tiểu, đồ thị TIẾP XÚC trục hoành tại $x=2$ (nghiệm kép) và còn cắt trục hoành thêm một lần nữa ở nhánh trái (nơi đồ thị đi từ $-\infty$ lên cực đại $4>0$ ) — tổng cộng 2 giá trị $x$ phân biệt thoả $f(x)=0$ , nên (iii) đúng. Giữa cực đại tại $0$ và cực tiểu tại $2$ , hàm số đang giảm chứ không tăng, nên (iv) sai.
(i), (ii) đúng vì tại điểm cực trị đạo hàm luôn bằng 0. Vì $f(2)=0$ là giá trị cực tiểu, đồ thị TIẾP XÚC trục hoành tại $x=2$ (nghiệm kép) và còn cắt trục hoành thêm một lần nữa ở nhánh trái (nơi đồ thị đi từ $-\infty$ lên cực đại $4>0$) — tổng cộng 2 giá trị $x$ phân biệt thoả $f(x)=0$, nên (iii) đúng. Giữa cực đại tại $0$ và cực tiểu tại $2$, hàm số đang giảm chứ không tăng, nên (iv) sai.
3
Ba ý đúng (i, ii, iii), một ý sai (iv) — câu này được 0,5 điểm trên tối đa 1 điểm. Năng lực: đọc đồ thị để suy ra tính chất đại số, không cần biết công thức cụ thể của $f$ .
Ba ý đúng (i, ii, iii), một ý sai (iv) — câu này được 0,5 điểm trên tối đa 1 điểm. Năng lực: đọc đồ thị để suy ra tính chất đại số, không cần biết công thức cụ thể của $f$.
4
Cho $y=f(x)=4-x^2$ và $y=g(x)=x+2$ . Xét: (i) hoành độ giao điểm là nghiệm của $4-x^2=x+2$ ; (ii) hai giao điểm có hoành độ $x=-2$ và $x=1$ ; (iii) diện tích hình phẳng giữa hai đường bằng $\dfrac92$ ; (iv) trên đoạn nối hai giao điểm, $f(x)$ luôn nhỏ hơn $g(x)$ .
Cho $y=f(x)=4-x^2$ và $y=g(x)=x+2$. Xét: (i) hoành độ giao điểm là nghiệm của $4-x^2=x+2$; (ii) hai giao điểm có hoành độ $x=-2$ và $x=1$; (iii) diện tích hình phẳng giữa hai đường bằng $\dfrac92$; (iv) trên đoạn nối hai giao điểm, $f(x)$ luôn nhỏ hơn $g(x)$.
5
(i) đúng theo định nghĩa giao điểm. Giải $4-x^2=x+2\iff x^2+x-2=0\iff(x+2)(x-1)=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$ , nên (ii) đúng. Diện tích $S=\int_{-2}^1\left[(4-x^2)-(x+2)\right]dx=\int_{-2}^1(-x^2-x+2)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^1=\frac76-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{9}{2}$ , nên (iii) đúng. Tại $x=0$ (giữa hai giao điểm): $f(0)=4>g(0)=2$ , tức $f(x)$ LỚN hơn $g(x)$ trên đoạn đó, nên (iv) sai.
(i) đúng theo định nghĩa giao điểm. Giải $4-x^2=x+2\iff x^2+x-2=0\iff(x+2)(x-1)=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$, nên (ii) đúng. Diện tích $S=\int_{-2}^1\left[(4-x^2)-(x+2)\right]dx=\int_{-2}^1(-x^2-x+2)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^1=\frac76-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{9}{2}$, nên (iii) đúng. Tại $x=0$ (giữa hai giao điểm): $f(0)=4>g(0)=2$, tức $f(x)$ LỚN hơn $g(x)$ trên đoạn đó, nên (iv) sai.
6
Ba ý đúng (i, ii, iii), một ý sai (iv) — câu này được 0,5 điểm. Năng lực: giải quyết vấn đề toán học, phối hợp giải phương trình và tính tích phân trong cùng một câu.

Đề luyện: Phần III — trả lời ngắn

Hai câu Phần III dưới đây quay lại bài toán tối ưu bằng đạo hàm và ứng dụng tích phân — đúng mạch "bài toán thực tiễn và mô hình hoá" mà đề 2025 khai thác trực tiếp. Nhắc lại: chỉ đáp số cuối cùng được chấm, nên kiểm soát sai số và đơn vị đến bước cuối.

Ví dụ

Phần III — Câu 5 và Câu 6

1
Một thùng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy vuông cạnh $x$ (m), thể tích $32\text{ m}^3$ . Tính diện tích vật liệu nhỏ nhất (m²).
Một thùng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy vuông cạnh $x$ (m), thể tích $32\text{ m}^3$. Tính diện tích vật liệu nhỏ nhất (m²).
2
Gọi $h$ là chiều cao, $h=\dfrac{32}{x^2}$ . Diện tích $S(x)=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}$ . $S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}=0\iff x^3=64\iff x=4$ . Vì $S''(x)=2+\dfrac{256}{x^3}>0$ , đây là điểm cực tiểu. Với $x=4$ : $h=\dfrac{32}{16}=2$ , $S_{\min}=16+\dfrac{128}{4}=16+32=48$ .
Gọi $h$ là chiều cao, $h=\dfrac{32}{x^2}$. Diện tích $S(x)=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}$. $S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}=0\iff x^3=64\iff x=4$. Vì $S''(x)=2+\dfrac{256}{x^3}>0$, đây là điểm cực tiểu. Với $x=4$: $h=\dfrac{32}{16}=2$, $S_{\min}=16+\dfrac{128}{4}=16+32=48$.
3
Vậy diện tích vật liệu nhỏ nhất là $48\text{ m}^2$ . Năng lực: mô hình hoá toán học — dịch một vật thể thực tế thành hàm một biến rồi tối ưu.
Vậy diện tích vật liệu nhỏ nhất là $48\text{ m}^2$. Năng lực: mô hình hoá toán học — dịch một vật thể thực tế thành hàm một biến rồi tối ưu.
4
Tính $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx$.
5
$\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=\left[x^3\right]_0^2=8-0=8$ .
$\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=\left[x^3\right]_0^2=8-0=8$.
6
Vậy đáp số cần điền là $8$ . Năng lực: tư duy và lập luận toán học, áp dụng trực tiếp Newton–Leibniz.
Vậy đáp số cần điền là $8$. Năng lực: tư duy và lập luận toán học, áp dụng trực tiếp Newton–Leibniz.

Tự chấm và luyện tập thêm

Tự chấm đề trên theo đúng thang điểm thật: Câu 1, 2 mỗi câu đúng/sai trọn vẹn (không có điểm từng phần); Câu 3, 4 chấm theo số ý đúng (0,1/0,25/0,5/1 điểm); Câu 5, 6 đúng tuyệt đối theo giá trị số. Bốn câu hỏi tự luyện dưới đây kiểm tra lại đúng những kỹ năng vừa dùng, với số liệu khác để tránh học thuộc đáp số thay vì hiểu cách làm.

Sau khi tự chấm, bước quan trọng không kém là xem lại CHÍNH những câu sai — không chỉ để biết đáp án đúng, mà để xác định câu đó sai vì thiếu kiến thức hay vì một lỗi kỹ thuật đã lặp lại (quên chia đôi diện tích tam giác, quên đổi cận, quên xét dấu trước khi tích phân...). Một lỗi lặp lại nhiều lần trong các đề luyện khác nhau đáng được ghi riêng ra và ôn lại có chủ đích, thay vì chỉ đọc qua lời giải mẫu một lần rồi chuyển sang đề khác.

Tóm tắt

Một đề luyện trộn nhiều chủ đề không đòi hỏi kỹ thuật mới — nó đòi hỏi nhận diện nhanh chủ đề của từng câu rồi gọi đúng công cụ đã luyện. Sáu câu vừa làm dùng lại trọn vẹn bốn công cụ của hai chương trước: so sánh giá trị tại điểm tới hạn, Newton–Leibniz, đọc đồ thị, và mô hình hoá bài toán tối ưu — không một câu nào đòi hỏi kiến thức ngoài những gì đã học trong khoá này.

Bài cuối cùng của khoá luyện một đề tương tự cho ba mạch còn lại: toạ độ Oxyz, thống kê và xác suất — hoàn tất vòng ôn tập toàn bộ chương trình Toán 12 theo đúng cấu trúc ba phần vừa luyện ở đây.