Bài học

Đề luyện: Độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đã dạy em: khoảng biến thiên là hiệu giữa đầu mút lớn nhất và đầu mút nhỏ nhất của toàn mẫu; khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ đo độ phân tán của phần giữa mẫu, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn khoảng biến thiên; và phương sai — độ lệch chuẩn đo độ phân tán trung bình quanh số trung bình, dùng trung điểm mỗi nhóm làm đại diện. Bài này ghép các công thức đó vào một bảng số liệu cụ thể, dưới ba định dạng câu hỏi.

Khởi động

Hai lớp có cùng điểm trung bình kiểm tra, nhưng lớp A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn lớp B. Điều đó cho em biết gì về sự khác biệt giữa học lực các bạn trong hai lớp, dù điểm trung bình như nhau?

Từ bảng ghép nhóm đến các số đo độ phân tán

Với một bảng ghép nhóm gồm các khoảng $[u_i;u_{i+1})$ và tần số $n_i$ , số trung bình dùng trung điểm $c_i=\dfrac{u_i+u_{i+1}}{2}$ của mỗi nhóm: $\bar x=\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i$ . Tứ phân vị $Q_1$ , $Q_3$ được xác định bằng cách tìm nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{4}$ (cho $Q_1$ ) hoặc $\dfrac{3n}{4}$ (cho $Q_3$ ) trong dãy tần số tích luỹ, rồi nội suy tuyến tính trong nhóm đó bằng công thức $Q=u_i+\left(\dfrac{\text{vị trí}-cf}{n_i}\right)h$ , với $cf$ là tần số tích luỹ trước nhóm đó và $h$ là độ rộng nhóm.

Với một bảng ghép nhóm gồm các khoảng $[u_i;u_{i+1})$ và tần số $n_i$, số trung bình dùng trung điểm $c_i=\dfrac{u_i+u_{i+1}}{2}$ của mỗi nhóm: $\bar x=\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i$. Tứ phân vị $Q_1$, $Q_3$ được xác định bằng cách tìm nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{4}$ (cho $Q_1$) hoặc $\dfrac{3n}{4}$ (cho $Q_3$) trong dãy tần số tích luỹ, rồi nội suy tuyến tính trong nhóm đó bằng công thức $Q=u_i+\left(\dfrac{\text{vị trí}-cf}{n_i}\right)h$, với $cf$ là tần số tích luỹ trước nhóm đó và $h$ là độ rộng nhóm.

Phương sai ghép nhóm là trung bình của bình phương độ lệch mỗi trung điểm so với số trung bình, có trọng số là tần số: $s^2=\dfrac{1}{n}\sum n_i(c_i-\bar x)^2$ , và độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ . Ý nghĩa thực tế: độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là phần lớn số liệu tập trung gần số trung bình — hai mẫu có cùng trung bình nhưng độ lệch chuẩn khác nhau kể một câu chuyện rất khác nhau về sự đồng đều của dữ liệu, dù con số trung bình giống hệt nhau.

Phương sai ghép nhóm là trung bình của bình phương độ lệch mỗi trung điểm so với số trung bình, có trọng số là tần số: $s^2=\dfrac{1}{n}\sum n_i(c_i-\bar x)^2$, và độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$. Ý nghĩa thực tế: độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là phần lớn số liệu tập trung gần số trung bình — hai mẫu có cùng trung bình nhưng độ lệch chuẩn khác nhau kể một câu chuyện rất khác nhau về sự đồng đều của dữ liệu, dù con số trung bình giống hệt nhau.

Bảng tần số ghép nhóm dùng cho các ví dụ của bài học.

Ví dụ

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1
Bảng điểm kiểm tra 40 học sinh ghép nhóm: $[0;2)$ : 2 học sinh, $[2;4)$ : 5, $[4;6)$ : 10, $[6;8)$ : 15, $[8;10]$ : 8. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
Bảng điểm kiểm tra 40 học sinh ghép nhóm: $[0;2)$: 2 học sinh, $[2;4)$: 5, $[4;6)$: 10, $[6;8)$: 15, $[8;10]$: 8. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
2
Khoảng biến thiên $=$ đầu mút lớn nhất trừ đầu mút nhỏ nhất $=10-0=10$ .
Khoảng biến thiên $=$ đầu mút lớn nhất trừ đầu mút nhỏ nhất $=10-0=10$.
3
Tần số tích luỹ: $2,7,17,32,40$ . Vị trí $\dfrac{n}{4}=10$ rơi vào nhóm $[4;6)$ (vì tần số tích luỹ trước đó là 7, đạt 17 ở nhóm này).
Tần số tích luỹ: $2,7,17,32,40$. Vị trí $\dfrac{n}{4}=10$ rơi vào nhóm $[4;6)$ (vì tần số tích luỹ trước đó là 7, đạt 17 ở nhóm này).
4
$Q_1=4+\dfrac{10-7}{10}\times2=4+0{,}6=4{,}6$ .
$Q_1=4+\dfrac{10-7}{10}\times2=4+0{,}6=4{,}6$.
5
Vị trí $\dfrac{3n}{4}=30$ rơi vào nhóm $[6;8)$ (tần số tích luỹ trước đó là 17, đạt 32 ở nhóm này): $Q_3=6+\dfrac{30-17}{15}\times2=6+\dfrac{26}{15}\approx7{,}73$ .
Vị trí $\dfrac{3n}{4}=30$ rơi vào nhóm $[6;8)$ (tần số tích luỹ trước đó là 17, đạt 32 ở nhóm này): $Q_3=6+\dfrac{30-17}{15}\times2=6+\dfrac{26}{15}\approx7{,}73$.
6
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1\approx7{,}73-4{,}6=3{,}13$ .
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1\approx7{,}73-4{,}6=3{,}13$.
7
Khoảng tứ phân vị xấp xỉ $3{,}13$ điểm nghĩa là $50\%$ học sinh nằm giữa mẫu (từ $Q_1$ đến $Q_3$ ) có điểm trải trong một khoảng chỉ khoảng $3$ điểm — hẹp hơn nhiều so với khoảng biến thiên $10$ điểm của toàn mẫu, cho thấy phần lớn học sinh tập trung khá gần nhau quanh mức điểm trung bình, còn khoảng biến thiên $10$ chủ yếu bị kéo rộng bởi một số ít học sinh ở hai cực.
Khoảng tứ phân vị xấp xỉ $3{,}13$ điểm nghĩa là $50\%$ học sinh nằm giữa mẫu (từ $Q_1$ đến $Q_3$) có điểm trải trong một khoảng chỉ khoảng $3$ điểm — hẹp hơn nhiều so với khoảng biến thiên $10$ điểm của toàn mẫu, cho thấy phần lớn học sinh tập trung khá gần nhau quanh mức điểm trung bình, còn khoảng biến thiên $10$ chủ yếu bị kéo rộng bởi một số ít học sinh ở hai cực.

Ví dụ

Phương sai và độ lệch chuẩn

1
Dùng đúng bảng số liệu trên, tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
2
Trung điểm các nhóm: $1,3,5,7,9$ . $\bar x=\dfrac{2(1)+5(3)+10(5)+15(7)+8(9)}{40}=\dfrac{2+15+50+105+72}{40}=\dfrac{244}{40}=6{,}1$ .
Trung điểm các nhóm: $1,3,5,7,9$. $\bar x=\dfrac{2(1)+5(3)+10(5)+15(7)+8(9)}{40}=\dfrac{2+15+50+105+72}{40}=\dfrac{244}{40}=6{,}1$.
3
$2(1-6{,}1)^2=52{,}02$ ; $\;5(3-6{,}1)^2=48{,}05$ ; $\;10(5-6{,}1)^2=12{,}1$ ; $\;15(7-6{,}1)^2=12{,}15$ ; $\;8(9-6{,}1)^2=67{,}28$ .
$2(1-6{,}1)^2=52{,}02$; $\;5(3-6{,}1)^2=48{,}05$; $\;10(5-6{,}1)^2=12{,}1$; $\;15(7-6{,}1)^2=12{,}15$; $\;8(9-6{,}1)^2=67{,}28$.
4
Tổng $=52{,}02+48{,}05+12{,}1+12{,}15+67{,}28=191{,}6$ . Phương sai $s^2=\dfrac{191{,}6}{40}=4{,}79$ .
Tổng $=52{,}02+48{,}05+12{,}1+12{,}15+67{,}28=191{,}6$. Phương sai $s^2=\dfrac{191{,}6}{40}=4{,}79$.
5
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{4{,}79}\approx2{,}19$ .
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{4{,}79}\approx2{,}19$.
6
Cách tính khác: $s^2=\dfrac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2$ . Tính $\sum n_ic_i^2=2(1)+5(9)+10(25)+15(49)+8(81)=2+45+250+735+648=1680$ , chia cho $40$ được $42$ . Vậy $s^2=42-6{,}1^2=42-37{,}21=4{,}79$ — khớp đúng với kết quả tính theo định nghĩa ở trên.
Cách tính khác: $s^2=\dfrac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2$. Tính $\sum n_ic_i^2=2(1)+5(9)+10(25)+15(49)+8(81)=2+45+250+735+648=1680$, chia cho $40$ được $42$. Vậy $s^2=42-6{,}1^2=42-37{,}21=4{,}79$ — khớp đúng với kết quả tính theo định nghĩa ở trên.

Ý nghĩa thực tế của độ lệch chuẩn rõ nhất khi so sánh hai mẫu. Giả sử một lớp khác cũng làm bài kiểm tra này, có số trung bình xấp xỉ $6$ điểm — gần bằng lớp trên — nhưng độ lệch chuẩn của lớp đó xấp xỉ $3{,}4$ , lớn hơn hẳn $2{,}19$ của lớp đã tính. Dù điểm trung bình gần như nhau, độ lệch chuẩn lớn hơn cho thấy học lực giữa các bạn trong lớp đó chênh lệch nhiều hơn — có nhiều bạn điểm rất cao lẫn rất thấp, không tập trung quanh mức trung bình như ở lớp đầu, nơi phần lớn học sinh có điểm gần với $6{,}1$ .

Ý nghĩa thực tế của độ lệch chuẩn rõ nhất khi so sánh hai mẫu. Giả sử một lớp khác cũng làm bài kiểm tra này, có số trung bình xấp xỉ $6$ điểm — gần bằng lớp trên — nhưng độ lệch chuẩn của lớp đó xấp xỉ $3{,}4$, lớn hơn hẳn $2{,}19$ của lớp đã tính. Dù điểm trung bình gần như nhau, độ lệch chuẩn lớn hơn cho thấy học lực giữa các bạn trong lớp đó chênh lệch nhiều hơn — có nhiều bạn điểm rất cao lẫn rất thấp, không tập trung quanh mức trung bình như ở lớp đầu, nơi phần lớn học sinh có điểm gần với $6{,}1$.

Ví dụ

Khoảng tứ phân vị cho một bảng số liệu khác

1
Một mẫu ghép nhóm khác gồm 20 giá trị: $[0;10)$ có 4 giá trị, $[10;20)$ có 10, $[20;30)$ có 6. Tính khoảng tứ phân vị.
Một mẫu ghép nhóm khác gồm 20 giá trị: $[0;10)$ có 4 giá trị, $[10;20)$ có 10, $[20;30)$ có 6. Tính khoảng tứ phân vị.
2
Tần số tích luỹ: $4,14,20$ .
Tần số tích luỹ: $4,14,20$.
3
Vị trí $\dfrac{n}{4}=5$ rơi vào nhóm $[10;20)$ (tần số tích luỹ trước đó là 4, đạt 14 ở nhóm này): $Q_1=10+\dfrac{5-4}{10}\times10=10+1=11$ .
Vị trí $\dfrac{n}{4}=5$ rơi vào nhóm $[10;20)$ (tần số tích luỹ trước đó là 4, đạt 14 ở nhóm này): $Q_1=10+\dfrac{5-4}{10}\times10=10+1=11$.
4
Vị trí $\dfrac{3n}{4}=15$ rơi vào nhóm $[20;30)$ (tần số tích luỹ trước đó là 14, đạt 20 ở nhóm này): $Q_3=20+\dfrac{15-14}{6}\times10=20+\dfrac{10}{6}\approx21{,}67$ .
Vị trí $\dfrac{3n}{4}=15$ rơi vào nhóm $[20;30)$ (tần số tích luỹ trước đó là 14, đạt 20 ở nhóm này): $Q_3=20+\dfrac{15-14}{6}\times10=20+\dfrac{10}{6}\approx21{,}67$.
5
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1\approx21{,}67-11=10{,}67$ .
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1\approx21{,}67-11=10{,}67$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến: nhầm phương sai với độ lệch chuẩn khi đề hỏi "độ phân tán bằng bao nhiêu". Phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ là hai đại lượng khác nhau về đơn vị — độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu gốc (ví dụ điểm), còn phương sai có đơn vị bình phương. Luôn đọc kỹ đề hỏi đại lượng nào trước khi chốt đáp số. Một lỗi khác cũng thường gặp: dùng nhầm đầu mút của nhóm (ví dụ $2$ hoặc $4$ của nhóm $[2;4)$ ) thay vì trung điểm ( $3$ ) khi tính số trung bình hay phương sai — vì dữ liệu ghép nhóm không cho biết giá trị chính xác của từng cá thể trong nhóm, trung điểm là đại diện hợp lý nhất, không phải một trong hai đầu mút.

Sai lầm phổ biến: nhầm phương sai với độ lệch chuẩn khi đề hỏi "độ phân tán bằng bao nhiêu". Phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ là hai đại lượng khác nhau về đơn vị — độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu gốc (ví dụ điểm), còn phương sai có đơn vị bình phương. Luôn đọc kỹ đề hỏi đại lượng nào trước khi chốt đáp số. Một lỗi khác cũng thường gặp: dùng nhầm đầu mút của nhóm (ví dụ $2$ hoặc $4$ của nhóm $[2;4)$) thay vì trung điểm ($3$) khi tính số trung bình hay phương sai — vì dữ liệu ghép nhóm không cho biết giá trị chính xác của từng cá thể trong nhóm, trung điểm là đại diện hợp lý nhất, không phải một trong hai đầu mút.

Tóm tắt

Bốn số đo — khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn — đều bắt đầu từ cùng một bảng tần số ghép nhóm và cùng dùng trung điểm mỗi nhóm làm đại diện, nhưng trả lời những câu hỏi khác nhau: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đo độ trải rộng, còn phương sai và độ lệch chuẩn đo độ tập trung quanh số trung bình. Khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều ổn định hơn khoảng biến thiên khi mẫu có giá trị bất thường. Hai cách kiểm tra vừa luyện — công thức rút gọn $s^2=\dfrac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2$ cho phương sai, và so sánh độ lệch chuẩn giữa hai lớp có cùng điểm trung bình — đều là kỹ năng nên mang sang bất kỳ bài toán thống kê nào khác, không chỉ riêng bảng số liệu của bài học này. Ghi nhớ cả bốn công thức cùng với ý nghĩa thực tế của chúng sẽ giúp em trả lời nhanh cả câu hỏi tính toán lẫn câu hỏi diễn giải kết quả bằng lời trong đề thi thật.

Bài cuối cùng của chương chuyển sang xác suất có điều kiện và công thức Bayes — công cụ để suy luận từ một kết quả quan sát được ngược về nguyên nhân gây ra nó.