Bài học

Đề luyện: Khảo sát hàm số, đọc đồ thị và tương giao

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề luyện tổng hợp về khảo sát hàm số, đọc thông tin từ một đồ thị cho sẵn, và tìm giao điểm của hai đồ thị, dưới cả ba định dạng câu hỏi của đề 2025.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã dạy em quy trình khảo sát năm bước — tập xác định, đạo hàm và dấu của nó, khoảng đơn điệu và cực trị, giới hạn và tiệm cận (nếu có), rồi phác hoạ đồ thị — áp dụng cho hàm bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất. Khoá đó cũng dạy em đọc ngược lại: từ một đồ thị đã vẽ sẵn, suy ra dấu hệ số, số điểm cực trị, hay vị trí tiệm cận — và tìm giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm. Bài này ghép ba kỹ năng đó vào một đề luyện.

Khởi động

Đề cho một đồ thị hàm bậc ba đã vẽ sẵn, không cho công thức. Em có thể trả lời được bao nhiêu câu hỏi về hàm số đó — dấu hệ số, số cực trị, khoảng đồng biến — chỉ bằng cách NHÌN đồ thị, không cần một phép tính đại số nào?

Đọc đồ thị: từ hình vẽ suy ra tính chất đại số

Đây chính là năng lực Phần II khai thác nhiều nhất trong mạch hàm số: cho một đồ thị, hỏi bốn mệnh đề về tính chất của nó. Ba dấu hiệu cần nhận ra ngay trên hình: nhánh cuối của đồ thị (đi lên hay đi xuống khi $x\to+\infty$ ) cho biết dấu hệ số bậc cao nhất; số lần đồ thị "lượn" đổi chiều cho biết số điểm cực trị; và số lần đồ thị cắt trục hoành cho biết số nghiệm thực của phương trình $f(x)=0$ . Với hàm phân thức, đường mà đồ thị tiến sát nhưng không chạm chính là tiệm cận — đứng nếu đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn gần một giá trị $x$ cố định, ngang nếu đồ thị tiến về một giá trị $y$ cố định khi $x\to\pm\infty$ .

Đây chính là năng lực Phần II khai thác nhiều nhất trong mạch hàm số: cho một đồ thị, hỏi bốn mệnh đề về tính chất của nó. Ba dấu hiệu cần nhận ra ngay trên hình: nhánh cuối của đồ thị (đi lên hay đi xuống khi $x\to+\infty$) cho biết dấu hệ số bậc cao nhất; số lần đồ thị "lượn" đổi chiều cho biết số điểm cực trị; và số lần đồ thị cắt trục hoành cho biết số nghiệm thực của phương trình $f(x)=0$. Với hàm phân thức, đường mà đồ thị tiến sát nhưng không chạm chính là tiệm cận — đứng nếu đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn gần một giá trị $x$ cố định, ngang nếu đồ thị tiến về một giá trị $y$ cố định khi $x\to\pm\infty$.

Sự tương giao của hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ được xử lý bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$ : mỗi nghiệm thực cho một hoành độ giao điểm, thay ngược lại một trong hai hàm để có tung độ tương ứng. Khi đề hỏi ngược — tìm tham số $m$ để số giao điểm bằng một số cho trước — cách làm là đưa về xét số nghiệm của một phương trình theo $m$ , thường bằng cách xét dấu giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm bậc ba.

Sự tương giao của hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ được xử lý bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)$: mỗi nghiệm thực cho một hoành độ giao điểm, thay ngược lại một trong hai hàm để có tung độ tương ứng. Khi đề hỏi ngược — tìm tham số $m$ để số giao điểm bằng một số cho trước — cách làm là đưa về xét số nghiệm của một phương trình theo $m$, thường bằng cách xét dấu giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm bậc ba.

Ba giao điểm của

y=x^3-3x

và

y=x

, nghiệm của

x^3-4x=0

.Ba giao điểm của $y=x^3-3x$ và $y=x$, nghiệm của $x^3-4x=0$.

Ví dụ

Đọc đồ thị: xác định dấu hệ số và số nghiệm

1
Đồ thị một hàm bậc ba $y=f(x)$ đi từ phía dưới bên trái, lên một điểm cực đại, xuống một điểm cực tiểu, rồi lại đi lên vô hạn về phía phải; đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Nêu dấu hệ số bậc ba và số nghiệm thực của $f(x)=0$ .
Đồ thị một hàm bậc ba $y=f(x)$ đi từ phía dưới bên trái, lên một điểm cực đại, xuống một điểm cực tiểu, rồi lại đi lên vô hạn về phía phải; đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Nêu dấu hệ số bậc ba và số nghiệm thực của $f(x)=0$.
2
Ta có khi $x\to+\infty$ , đồ thị đi lên vô hạn, suy ra hệ số của $x^3$ dương.
Ta có khi $x\to+\infty$, đồ thị đi lên vô hạn, suy ra hệ số của $x^3$ dương.
3
Đồ thị có đúng một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, tức có hai điểm cực trị.
4
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, nên phương trình $f(x)=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, nên phương trình $f(x)=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
5
Vậy hệ số bậc ba dương, hàm số có hai điểm cực trị, và $f(x)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt — toàn bộ suy luận này không cần biết công thức cụ thể của $f(x)$ .
Vậy hệ số bậc ba dương, hàm số có hai điểm cực trị, và $f(x)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt — toàn bộ suy luận này không cần biết công thức cụ thể của $f(x)$.

Ví dụ

Tìm giao điểm của hai đồ thị

1
Tìm toạ độ giao điểm của $y=x^3-3x$ và $y=x$ .
Tìm toạ độ giao điểm của $y=x^3-3x$ và $y=x$.
2
Ta có $x^3-3x=x \iff x^3-4x=0 \iff x(x^2-4)=0$ .
Ta có $x^3-3x=x \iff x^3-4x=0 \iff x(x^2-4)=0$.
3
$x(x-2)(x+2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-2$ .
$x(x-2)(x+2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-2$.
4
Thay vào $y=x$ : tại $x=0$ được $y=0$ ; tại $x=2$ được $y=2$ ; tại $x=-2$ được $y=-2$ .
Thay vào $y=x$: tại $x=0$ được $y=0$; tại $x=2$ được $y=2$; tại $x=-2$ được $y=-2$.
5
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $(-2;-2)$ , $(0;0)$ và $(2;2)$ .
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $(-2;-2)$, $(0;0)$ và $(2;2)$.

Ví dụ

Biện luận số giao điểm với trục hoành theo tham số

1
Tìm $m$ để đồ thị $y=x^3-3x+m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Tìm $m$ để đồ thị $y=x^3-3x+m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm.
2
Ta có $y'=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$ . Giá trị cực đại là $y(-1)=-1+3+m=m+2$ , giá trị cực tiểu là $y(1)=1-3+m=m-2$ .
Ta có $y'=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$. Giá trị cực đại là $y(-1)=-1+3+m=m+2$, giá trị cực tiểu là $y(1)=1-3+m=m-2$.
3
Đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành đúng một điểm khi và chỉ khi giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu (đồ thị không "lượn qua" trục hoành ở đoạn giữa hai cực trị), tức $(m+2)(m-2)>0$ .
Đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành đúng một điểm khi và chỉ khi giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu (đồ thị không "lượn qua" trục hoành ở đoạn giữa hai cực trị), tức $(m+2)(m-2)>0$.
4
$(m+2)(m-2)>0 \iff m^2-4>0 \iff m>2$ hoặc $m<-2$ .
$(m+2)(m-2)>0 \iff m^2-4>0 \iff m>2$ hoặc $m<-2$.
5
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm khi $m>2$ hoặc $m<-2$ .
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm khi $m>2$ hoặc $m<-2$.

Ví dụ

Xác định tiệm cận của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

1
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ .
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
2
Hàm không xác định khi mẫu bằng $0$ , tức $x=1$ . Vì tử số tại $x=1$ là $2(1)+1=3\ne0$ , đồ thị thực sự tiến ra vô cực gần $x=1$ , nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
Hàm không xác định khi mẫu bằng $0$, tức $x=1$. Vì tử số tại $x=1$ là $2(1)+1=3\ne0$, đồ thị thực sự tiến ra vô cực gần $x=1$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
3
Khi $x\to\pm\infty$ , chia cả tử và mẫu cho $x$ : $y=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac1x}\to\dfrac{2}{1}=2$ . Vậy $y=2$ là tiệm cận ngang — cũng chính là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
Khi $x\to\pm\infty$, chia cả tử và mẫu cho $x$: $y=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac1x}\to\dfrac{2}{1}=2$. Vậy $y=2$ là tiệm cận ngang — cũng chính là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
4
Đồ thị $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ — không cần khảo sát đầy đủ năm bước nếu đề chỉ hỏi riêng tiệm cận, một cách tiết kiệm thời gian đáng kể trong phòng thi.
Đồ thị $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ — không cần khảo sát đầy đủ năm bước nếu đề chỉ hỏi riêng tiệm cận, một cách tiết kiệm thời gian đáng kể trong phòng thi.

Kỹ năng đọc đồ thị và kỹ năng tìm tiệm cận thực chất là hai chiều của cùng một hiểu biết: nếu em biết cách TÍNH tiệm cận từ công thức như ở ví dụ trên, em cũng biết cách NHẬN RA tiệm cận khi chỉ được cho hình vẽ — cả hai đều dựa trên cùng một ý nghĩa: hàm số không xác định ở đâu (tiệm cận đứng) và hàm số tiến về đâu khi $x$ ra vô cực (tiệm cận ngang).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một nhầm lẫn thường gặp: nghĩ rằng "đồ thị có hai điểm cực trị" đồng nghĩa với "cắt trục hoành ba lần". Hai điều này KHÔNG tương đương — một hàm bậc ba có hai cực trị vẫn có thể chỉ cắt trục hoành một lần, nếu giá trị cực đại và cực tiểu cùng dấu (cả hai đều dương hoặc đều âm). Số điểm cực trị và số nghiệm của $f(x)=0$ là hai câu hỏi khác nhau, cần hai lập luận khác nhau.

Tóm tắt

Đọc một đồ thị cho sẵn nghĩa là dịch ngược ba dấu hiệu hình học — nhánh cuối, số lần đổi chiều, số lần cắt trục hoành — thành ba tính chất đại số: dấu hệ số, số cực trị, số nghiệm. Tương giao của hai đồ thị luôn quy về giải phương trình hoành độ giao điểm, và khi có tham số, quy về so sánh dấu giá trị cực đại — cực tiểu của một hàm bậc ba.

Chương tiếp theo chuyển sang mạch nguyên hàm và tích phân — công cụ ngược với đạo hàm, cũng được đề 2025 khai thác dưới cả ba định dạng, và cũng dùng lại đúng kỹ năng đọc đồ thị vừa luyện ở bài này khi tính diện tích.