Bài học

Biến cố độc lập

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em kiểm tra được hai biến cố có độc lập hay không bằng cách so sánh $P(A\cap B)$ với $P(A)\cdot P(B)$ , và giải thích được ý nghĩa của tính độc lập trong một tình huống thực tế.

Sau bài này, em kiểm tra được hai biến cố có độc lập hay không bằng cách so sánh $P(A\cap B)$ với $P(A)\cdot P(B)$, và giải thích được ý nghĩa của tính độc lập trong một tình huống thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã học cách xác định $A\cap B$ và tính $P(A\cap B)$ bằng đếm trực tiếp (same-grade bridge — kỹ năng đó dùng lại nguyên vẹn ở đây). Bài này giới thiệu một quan hệ mới giữa hai biến cố, khác hẳn xung khắc: tính độc lập. Đây là khái niệm hoàn toàn mới của chương này, chưa xuất hiện ở lớp 10, nên cần đọc kỹ phần định nghĩa trước khi làm bài tập.

Khởi động

Tung một đồng xu rồi gieo một con xúc xắc — hai phép thử tách biệt hoàn toàn. Trong khi đó, khi rút liên tiếp hai lá bài từ CÙNG một bộ bài, việc rút lá thứ nhất làm giảm số lá bài còn lại cho lần rút thứ hai. Trực giác cho thấy hai tình huống này khác nhau về bản chất — nhưng làm sao kiểm tra điều đó bằng một phép tính cụ thể, không chỉ dựa vào cảm tính?

Câu hỏi trên gợi ý rằng "độc lập" cần một định nghĩa toán học chặt chẽ, chứ không thể chỉ dựa vào việc hai phép thử "nghe có vẻ" tách biệt hay không.

Kiến thức trọng tâm

Hai biến cố $A$ , $B$ gọi là độc lập nếu việc $A$ xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng gì đến khả năng xảy ra của $B$ , và ngược lại. Về mặt tính toán, có một công cụ kiểm tra bằng số, không cần suy luận cảm tính: $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi

Hai biến cố $A$, $B$ gọi là độc lập nếu việc $A$ xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng gì đến khả năng xảy ra của $B$, và ngược lại. Về mặt tính toán, có một công cụ kiểm tra bằng số, không cần suy luận cảm tính: $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$

$$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$$

Nếu đẳng thức này đúng, hai biến cố độc lập; nếu sai, chúng KHÔNG độc lập (ta gọi là phụ thuộc). Đây là một phép kiểm tra khách quan: chỉ cần tính ba xác suất rồi so sánh, không cần đoán xem hai biến cố "có liên quan gì với nhau" hay không.

Chú ý bài này KHÔNG dùng đến khái niệm xác suất có điều kiện — công cụ đó thuộc chương trình lớp 12. Ở đây, mọi phép kiểm tra độc lập chỉ cần ba con số $P(A)$ , $P(B)$ , $P(A\cap B)$ , trong đó $P(A\cap B)$ luôn tính được bằng cách đếm trực tiếp số kết quả thuộc cả hai biến cố trên cùng một không gian mẫu, đúng như hai bài trước đã luyện.

Chú ý bài này KHÔNG dùng đến khái niệm xác suất có điều kiện — công cụ đó thuộc chương trình lớp 12. Ở đây, mọi phép kiểm tra độc lập chỉ cần ba con số $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$, trong đó $P(A\cap B)$ luôn tính được bằng cách đếm trực tiếp số kết quả thuộc cả hai biến cố trên cùng một không gian mẫu, đúng như hai bài trước đã luyện.

Việc kiểm tra độc lập quan trọng hơn nhiều so với chỉ là một thủ tục hình thức: nó quyết định công thức nào được phép dùng ở bài tiếp theo. Nếu hai biến cố thật sự độc lập, ta có thể tính $P(A\cap B)$ chỉ bằng cách nhân $P(A)$ với $P(B)$ , không cần đếm trực tiếp — một phím tắt rất hữu ích khi không gian mẫu quá lớn để liệt kê hết. Nhưng phím tắt này CHỈ dùng được sau khi đã xác nhận (hoặc đề bài đã cho biết) tính độc lập, không được áp dụng tùy tiện.

Việc kiểm tra độc lập quan trọng hơn nhiều so với chỉ là một thủ tục hình thức: nó quyết định công thức nào được phép dùng ở bài tiếp theo. Nếu hai biến cố thật sự độc lập, ta có thể tính $P(A\cap B)$ chỉ bằng cách nhân $P(A)$ với $P(B)$, không cần đếm trực tiếp — một phím tắt rất hữu ích khi không gian mẫu quá lớn để liệt kê hết. Nhưng phím tắt này CHỈ dùng được sau khi đã xác nhận (hoặc đề bài đã cho biết) tính độc lập, không được áp dụng tùy tiện.

Ví dụ

Kiểm tra tính độc lập khi gieo hai xúc xắc riêng biệt

1
Gieo đồng thời hai xúc xắc. $A$ : "xúc xắc thứ nhất hiện mặt chẵn", $B$ : "xúc xắc thứ hai hiện mặt chẵn". Kiểm tra $A$ , $B$ có độc lập không.
Gieo đồng thời hai xúc xắc. $A$: "xúc xắc thứ nhất hiện mặt chẵn", $B$: "xúc xắc thứ hai hiện mặt chẵn". Kiểm tra $A$, $B$ có độc lập không.
2
Mỗi xúc xắc có 3 mặt chẵn trên 6 mặt: $P(A)=1/2,\ P(B)=1/2$ .
Mỗi xúc xắc có 3 mặt chẵn trên 6 mặt: $P(A)=1/2,\ P(B)=1/2$.
3
Không gian mẫu của cặp xúc xắc có 36 kết quả. Số cặp có cả hai mặt đều chẵn: $3\times3=9$ cặp, nên $P(A\cap B)=9/36=1/4$ .
Không gian mẫu của cặp xúc xắc có 36 kết quả. Số cặp có cả hai mặt đều chẵn: $3\times3=9$ cặp, nên $P(A\cap B)=9/36=1/4$.
4
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ , đúng bằng $P(A\cap B)=1/4$ .
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$, đúng bằng $P(A\cap B)=1/4$.
5
Vậy $A$ và $B$ độc lập — kết quả này khớp với trực giác, vì hai xúc xắc là hai vật thể tách biệt, kết quả của xúc xắc này không ảnh hưởng gì đến xúc xắc kia. Nhưng như hai ví dụ tiếp theo cho thấy, trực giác không phải lúc nào cũng đủ tin cậy.
Vậy $A$ và $B$ độc lập — kết quả này khớp với trực giác, vì hai xúc xắc là hai vật thể tách biệt, kết quả của xúc xắc này không ảnh hưởng gì đến xúc xắc kia. Nhưng như hai ví dụ tiếp theo cho thấy, trực giác không phải lúc nào cũng đủ tin cậy.

Ví dụ

Một cặp biến cố KHÔNG độc lập trên cùng một lần rút bài (dạng thi)

1
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$ : "lá bài màu đỏ", $B$ : "lá bài chất Cơ". Kiểm tra $A$ , $B$ có độc lập không.
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$: "lá bài màu đỏ", $B$: "lá bài chất Cơ". Kiểm tra $A$, $B$ có độc lập không.
2
$P(A)=26/52=1/2$ (lá đỏ); $P(B)=13/52=1/4$ (lá Cơ).
$P(A)=26/52=1/2$ (lá đỏ); $P(B)=13/52=1/4$ (lá Cơ).
3
Vì mọi lá Cơ đều là lá đỏ (đã thấy ở chương trước), $A\cap B=B$ , nên $P(A\cap B)=P(B)=1/4$ .
Vì mọi lá Cơ đều là lá đỏ (đã thấy ở chương trước), $A\cap B=B$, nên $P(A\cap B)=P(B)=1/4$.
4
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$ , trong khi $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$ . Hai giá trị này KHÁC nhau.
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$, trong khi $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$. Hai giá trị này KHÁC nhau.
5
Vậy $A$ và $B$ KHÔNG độc lập. Điều này hợp lý: biết chắc lá bài là Cơ thì chắc chắn nó cũng là lá đỏ, tức biến cố $B$ xảy ra làm thay đổi hẳn khả năng của $A$ — hai biến cố này phụ thuộc chặt vào nhau, hoàn toàn khác trường hợp hai xúc xắc ở ví dụ trước.
Vậy $A$ và $B$ KHÔNG độc lập. Điều này hợp lý: biết chắc lá bài là Cơ thì chắc chắn nó cũng là lá đỏ, tức biến cố $B$ xảy ra làm thay đổi hẳn khả năng của $A$ — hai biến cố này phụ thuộc chặt vào nhau, hoàn toàn khác trường hợp hai xúc xắc ở ví dụ trước.

Ví dụ

Hai biến cố ĐỘC LẬP dù cùng đến từ một lần rút bài (dạng thi)

1
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$ : "lá bài màu đen", $B$ : "lá bài mang số chẵn từ 2 đến 10 (không tính J, Q, K, Át)". Kiểm tra $A$ , $B$ có độc lập không.
Rút một lá bài từ bộ 52 lá. $A$: "lá bài màu đen", $B$: "lá bài mang số chẵn từ 2 đến 10 (không tính J, Q, K, Át)". Kiểm tra $A$, $B$ có độc lập không.
2
$P(A)=26/52=1/2$ (hai chất đen: Bích, Chuồn). Mỗi chất có 5 số chẵn ( $2,4,6,8,10$ ), bốn chất có $20$ lá, nên $P(B)=20/52=5/13$ .
$P(A)=26/52=1/2$ (hai chất đen: Bích, Chuồn). Mỗi chất có 5 số chẵn ($2,4,6,8,10$), bốn chất có $20$ lá, nên $P(B)=20/52=5/13$.
3
Lá vừa đen vừa số chẵn: hai chất đen, mỗi chất 5 số chẵn, tổng $10$ lá, nên $P(A\cap B)=10/52=5/26$ .
Lá vừa đen vừa số chẵn: hai chất đen, mỗi chất 5 số chẵn, tổng $10$ lá, nên $P(A\cap B)=10/52=5/26$.
4
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{5}{26}$ , đúng bằng $P(A\cap B)=5/26$ .
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{13}=\dfrac{5}{26}$, đúng bằng $P(A\cap B)=5/26$.
5
Vậy $A$ và $B$ độc lập — dù cả hai đến từ cùng MỘT lần rút duy nhất. Ví dụ này cho thấy "cùng một phép thử" không tự động có nghĩa là phụ thuộc: màu của lá bài và việc số trên lá có chẵn hay không thực chất không liên quan đến nhau về mặt cấu trúc bộ bài, khác hẳn với ví dụ lá đỏ và lá Cơ ở trên.
Vậy $A$ và $B$ độc lập — dù cả hai đến từ cùng MỘT lần rút duy nhất. Ví dụ này cho thấy "cùng một phép thử" không tự động có nghĩa là phụ thuộc: màu của lá bài và việc số trên lá có chẵn hay không thực chất không liên quan đến nhau về mặt cấu trúc bộ bài, khác hẳn với ví dụ lá đỏ và lá Cơ ở trên.

Vậy hai ví dụ trên cùng dùng một lần rút bài, nhưng cho hai kết luận trái ngược: một cặp phụ thuộc (đỏ và Cơ), một cặp độc lập (đen và số chẵn). Điều này khẳng định lại điều quan trọng nhất của bài học: không được đoán tính độc lập từ việc "cùng phép thử hay khác phép thử" — phải luôn kiểm tra bằng công thức $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ .

Một điều dễ gây nhầm lẫn: xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác hẳn nhau, dù cả hai đều nói về "quan hệ" giữa hai biến cố. Nếu $A$ và $B$ xung khắc và cả hai đều có xác suất dương, thì $P(A\cap B)=0$ nhưng $P(A)\cdot P(B)>0$ (tích của hai số dương luôn dương) — hai giá trị này không thể bằng nhau, nên $A$ và $B$ xung khắc và có xác suất dương thì KHÔNG BAO GIỜ độc lập. Nói cách khác, biết $A$ xảy ra thì chắc chắn $B$ không xảy ra (vì xung khắc) — đó chính là một dạng ảnh hưởng mạnh, trái ngược hẳn với định nghĩa độc lập.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là cho rằng hai biến cố đến từ hai phép thử "nghe có vẻ tách biệt" luôn độc lập mà không kiểm tra bằng công thức — với phép thử phức tạp, trực giác có thể sai. Sai lầm ngược lại cũng phổ biến: nghĩ rằng xung khắc nghĩa là độc lập, trong khi thực ra hai biến cố xung khắc (có xác suất dương) luôn luôn KHÔNG độc lập, như vừa chứng minh ở trên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$A$ , $B$ độc lập $\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . Xung khắc (với xác suất dương) và độc lập là hai khái niệm loại trừ nhau — không bao giờ cùng đúng.

$A$, $B$ độc lập $\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Xung khắc (với xác suất dương) và độc lập là hai khái niệm loại trừ nhau — không bao giờ cùng đúng.

Bài tiếp theo dùng đúng định nghĩa độc lập vừa học để tính xác suất của biến cố giao khi đề bài đã cho biết (hoặc hiển nhiên từ ngữ cảnh) rằng các biến cố độc lập — công thức nhân xác suất cho phép thử liên tiếp, áp dụng trực tiếp không cần kiểm tra lại bằng cách đếm mỗi lần.