Bài học

Công thức nhân xác suất cho các phép thử độc lập

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng công thức nhân $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ cho hai (hoặc nhiều) biến cố độc lập trong các phép thử liên tiếp, kể cả tính xác suất "có ít nhất một" bằng biến cố đối.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học cách KIỂM TRA hai biến cố có độc lập hay không (same-grade bridge). Bài này xử lý tình huống ngược lại: khi đề bài đã cho biết (hoặc hiển nhiên từ ngữ cảnh vật lý) rằng các biến cố độc lập, ta áp dụng thẳng công thức nhân mà không cần kiểm tra lại bằng đếm trực tiếp. Bài cũng dùng lại công thức biến cố đối $P(\overline{A})=1-P(A)$ đã học ở lớp 10 (ôn lại kiến thức lớp 10). Ghép hai kiến thức cũ này lại — độc lập từ bài trước, biến cố đối từ lớp 10 — là tất cả những gì cần để giải quyết trọn vẹn bài học hôm nay.

Khởi động

Một nhà máy có hai máy hoạt động độc lập với nhau. Nếu biết xác suất mỗi máy hoạt động tốt trong một ca, làm sao tính xác suất cả hai máy cùng hoạt động tốt? Và xác suất ít nhất một máy hoạt động tốt — để dây chuyền không bị gián đoạn hoàn toàn — thì tính thế nào?

Cả hai câu hỏi trên đều dùng đúng một công thức duy nhất, chỉ khác cách áp dụng — bài học hôm nay sẽ chỉ rõ cách chọn đúng cách áp dụng cho từng câu hỏi.

Kiến thức trọng tâm

Khi hai biến cố $A$ , $B$ độc lập (đã biết hoặc đã kiểm tra), công thức nhân cho phép tính trực tiếp xác suất cả hai cùng xảy ra:

Khi hai biến cố $A$, $B$ độc lập (đã biết hoặc đã kiểm tra), công thức nhân cho phép tính trực tiếp xác suất cả hai cùng xảy ra:

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$

$$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$$

Công thức này mở rộng tự nhiên cho nhiều biến cố độc lập cùng lúc: nếu $A_1, A_2, ..., A_n$ đôi một độc lập, $P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n)$ — xác suất tất cả cùng xảy ra bằng tích các xác suất riêng lẻ. Về bản chất, đây chính xác là công thức nhân cho hai biến cố, áp dụng lặp lại nhiều lần: gộp $A_1$ và $A_2$ thành một biến cố, rồi gộp tiếp với $A_3$ , cứ thế cho đến hết.

Một dạng câu hỏi rất thường gặp là "xác suất có ÍT NHẤT MỘT biến cố xảy ra" trong số nhiều biến cố độc lập. Thay vì liệt kê mọi trường hợp có thể (một xảy ra, hai xảy ra, ba xảy ra, ...), cách gọn nhất là dùng biến cố đối: "có ít nhất một xảy ra" là biến cố đối của "không biến cố nào xảy ra". Vì các $A_i$ độc lập, các biến cố đối $\overline{A_i}$ cũng độc lập với nhau, nên:

$P(\text{ít nhất một xảy ra}) = 1 - P(\overline{A_1})\cdot P(\overline{A_2})\cdots P(\overline{A_n})$

$$P(\text{ít nhất một xảy ra}) = 1 - P(\overline{A_1})\cdot P(\overline{A_2})\cdots P(\overline{A_n})$$

Kỹ thuật "chuyển sang biến cố đối" này không phải riêng của xác suất — em đã gặp ý tưởng tương tự khi đếm: đôi khi đếm phần bù dễ hơn đếm trực tiếp. Ở đây, liệt kê hết mọi cách để "đúng một biến cố xảy ra", "đúng hai biến cố xảy ra", ..., "tất cả cùng xảy ra" rồi cộng lại sẽ rất cồng kềnh khi $n$ lớn, trong khi tính phần bù "không biến cố nào xảy ra" luôn chỉ là MỘT phép nhân duy nhất.

Xác suất ít nhất một máy hoạt động tốt luôn cao hơn xác suất từng máy riêng lẻ.

Ví dụ

Hai máy hoạt động độc lập trong một dây chuyền

1
Một dây chuyền có hai máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất máy 1 hoạt động tốt trong một ca là $0{,}92$ , xác suất máy 2 hoạt động tốt là $0{,}9$ . Tính xác suất cả hai máy cùng hoạt động tốt, và xác suất ít nhất một máy hoạt động tốt.
Một dây chuyền có hai máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất máy 1 hoạt động tốt trong một ca là $0{,}92$, xác suất máy 2 hoạt động tốt là $0{,}9$. Tính xác suất cả hai máy cùng hoạt động tốt, và xác suất ít nhất một máy hoạt động tốt.
2
Vì hai máy độc lập: $P(\text{cả hai tốt})=0{,}92\times0{,}9=0{,}828$ .
Vì hai máy độc lập: $P(\text{cả hai tốt})=0{,}92\times0{,}9=0{,}828$.
3
$P(\text{máy 1 hỏng})=1-0{,}92=0{,}08$ ; $P(\text{máy 2 hỏng})=1-0{,}9=0{,}1$ .
$P(\text{máy 1 hỏng})=1-0{,}92=0{,}08$; $P(\text{máy 2 hỏng})=1-0{,}9=0{,}1$.
4
Vì hai biến cố đối của hai biến cố độc lập cũng độc lập với nhau: $P(\text{cả hai hỏng})=0{,}08\times0{,}1=0{,}008$ .
Vì hai biến cố đối của hai biến cố độc lập cũng độc lập với nhau: $P(\text{cả hai hỏng})=0{,}08\times0{,}1=0{,}008$.
5
$P(\text{ít nhất một máy tốt})=1-P(\text{cả hai hỏng})=1-0{,}008=0{,}992$ . Vậy dây chuyền có xác suất tới $99{,}2\%$ không bị gián đoạn hoàn toàn, dù mỗi máy riêng lẻ chỉ đạt độ tin cậy $92\%$ và $90\%$ .
$P(\text{ít nhất một máy tốt})=1-P(\text{cả hai hỏng})=1-0{,}008=0{,}992$. Vậy dây chuyền có xác suất tới $99{,}2\%$ không bị gián đoạn hoàn toàn, dù mỗi máy riêng lẻ chỉ đạt độ tin cậy $92\%$ và $90\%$.

Kết quả trên minh họa vì sao các hệ thống quan trọng (điện lưới, máy chủ, thiết bị y tế) thường lắp đặt nhiều thiết bị dự phòng hoạt động độc lập: xác suất TẤT CẢ cùng hỏng nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất một thiết bị đơn lẻ hỏng, nên độ tin cậy toàn hệ thống tăng vọt. Đây là lý do kỹ thuật đằng sau khái niệm "dự phòng kép" mà em có thể đã nghe qua trong đời sống, giờ đã có một phép tính cụ thể để giải thích.

Ví dụ

Ba phát súng độc lập vào bia (dạng thi)

1
Một xạ thủ bắn 3 phát súng độc lập vào bia, xác suất trúng đích mỗi phát là $0{,}8$ . Tính xác suất cả ba phát đều trúng, và xác suất có ít nhất một phát trúng.
Một xạ thủ bắn 3 phát súng độc lập vào bia, xác suất trúng đích mỗi phát là $0{,}8$. Tính xác suất cả ba phát đều trúng, và xác suất có ít nhất một phát trúng.
2
Vì ba phát độc lập: $P(\text{cả 3 trúng})=0{,}8\times0{,}8\times0{,}8=0{,}8^3=0{,}512$ .
Vì ba phát độc lập: $P(\text{cả 3 trúng})=0{,}8\times0{,}8\times0{,}8=0{,}8^3=0{,}512$.
3
$P(\text{trượt mỗi phát})=1-0{,}8=0{,}2$ . Vì độc lập: $P(\text{cả 3 trượt})=0{,}2^3=0{,}008$ .
$P(\text{trượt mỗi phát})=1-0{,}8=0{,}2$. Vì độc lập: $P(\text{cả 3 trượt})=0{,}2^3=0{,}008$.
4
$P(\text{ít nhất 1 trúng})=1-P(\text{cả 3 trượt})=1-0{,}008=0{,}992$ .
$P(\text{ít nhất 1 trúng})=1-P(\text{cả 3 trượt})=1-0{,}008=0{,}992$.
5
$P(\text{cả 3 trúng})=0{,}512$ nhỏ hơn $P(\text{ít nhất 1 trúng})=0{,}992$ — hợp lý, vì "cả ba trúng" là một trường hợp hẹp hơn nhiều so với "ít nhất một trúng", vốn bao gồm cả trường hợp chỉ một hoặc hai phát trúng.
$P(\text{cả 3 trúng})=0{,}512$ nhỏ hơn $P(\text{ít nhất 1 trúng})=0{,}992$ — hợp lý, vì "cả ba trúng" là một trường hợp hẹp hơn nhiều so với "ít nhất một trúng", vốn bao gồm cả trường hợp chỉ một hoặc hai phát trúng.

Ví dụ

Ba khâu kiểm tra chất lượng độc lập với xác suất khác nhau (dạng thi)

1
Một sản phẩm phải qua ba khâu kiểm tra độc lập với nhau. Xác suất đạt ở từng khâu lần lượt là $0{,}95$ ; $0{,}9$ ; $0{,}85$ . Tính xác suất sản phẩm đạt cả ba khâu, và xác suất sản phẩm bị loại ở ít nhất một khâu.
Một sản phẩm phải qua ba khâu kiểm tra độc lập với nhau. Xác suất đạt ở từng khâu lần lượt là $0{,}95$; $0{,}9$; $0{,}85$. Tính xác suất sản phẩm đạt cả ba khâu, và xác suất sản phẩm bị loại ở ít nhất một khâu.
2
Vì ba khâu độc lập: $P(\text{đạt cả 3})=0{,}95\times0{,}9\times0{,}85=0{,}72675$ .
Vì ba khâu độc lập: $P(\text{đạt cả 3})=0{,}95\times0{,}9\times0{,}85=0{,}72675$.
3
$P(\text{bị loại ở ít nhất 1 khâu})=1-P(\text{đạt cả 3})=1-0{,}72675=0{,}27325$ .
$P(\text{bị loại ở ít nhất 1 khâu})=1-P(\text{đạt cả 3})=1-0{,}72675=0{,}27325$.
4
Vậy dù mỗi khâu riêng lẻ có tỉ lệ đạt khá cao ( $95\%$ , $90\%$ , $85\%$ ), xác suất một sản phẩm đạt CẢ BA khâu chỉ còn khoảng $72{,}7\%$ — tích của ba xác suất luôn nhỏ hơn (hoặc bằng) từng thừa số, nên càng nhiều khâu độc lập nối tiếp nhau, xác suất "đạt tất cả" càng giảm.
Vậy dù mỗi khâu riêng lẻ có tỉ lệ đạt khá cao ($95\%$, $90\%$, $85\%$), xác suất một sản phẩm đạt CẢ BA khâu chỉ còn khoảng $72{,}7\%$ — tích của ba xác suất luôn nhỏ hơn (hoặc bằng) từng thừa số, nên càng nhiều khâu độc lập nối tiếp nhau, xác suất "đạt tất cả" càng giảm.

Ví dụ này khác hai ví dụ trước ở việc ba xác suất KHÔNG bằng nhau — một tình huống thực tế hơn hẳn so với giả định "mọi khâu giống hệt nhau". Công thức nhân không đòi hỏi các xác suất bằng nhau; chỉ cần từng cặp biến cố độc lập với nhau, tích của bao nhiêu xác suất cũng áp dụng được, dù các con số khác nhau đến đâu.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là áp dụng công thức nhân cho các biến cố CHƯA được xác nhận độc lập — chẳng hạn rút bài không hoàn lại (không trả lá bài đã rút lại vào bộ trước khi rút tiếp), nơi kết quả lần rút trước ảnh hưởng đến lần rút sau. Trước khi nhân, luôn kiểm tra đề bài có nói rõ "độc lập" hay ngữ cảnh vật lý có đảm bảo tách biệt hay không. Sai lầm khác: tính "ít nhất một" bằng cách cộng $P(A)+P(B)$ như công thức cộng xác suất ở chương trước — hai công thức phục vụ hai mục đích khác nhau và không thể dùng lẫn cho nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi $A$ , $B$ độc lập (đã biết hoặc đã kiểm tra): $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . $P(\text{ít nhất một xảy ra})=1-\prod P(\overline{A_i})$ . Không áp dụng công thức nhân khi chưa xác nhận độc lập.

Khi $A$, $B$ độc lập (đã biết hoặc đã kiểm tra): $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. $P(\text{ít nhất một xảy ra})=1-\prod P(\overline{A_i})$. Không áp dụng công thức nhân khi chưa xác nhận độc lập.

Chương cuối cùng của khóa học ôn lại toàn bộ nội dung thống kê và xác suất đã học, qua một đề tổng hợp phối hợp cả số đặc trưng của mẫu ghép nhóm lẫn xác suất biến cố hợp, giao, độc lập — đúng theo cấu trúc một đề kiểm tra cuối chương thực tế. Chương trình lớp 12 sẽ đi tiếp từ đây với xác suất có điều kiện và công thức Bayes — một bước phát triển tự nhiên chỉ thực sự vững chắc khi nắm chắc biến cố hợp, giao và độc lập như em vừa học.