Bài học

Ôn tập thống kê và xác suất — đề tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một đề tổng hợp phối hợp cả số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm (trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị) lẫn xác suất biến cố hợp, giao, độc lập, đúng theo cấu trúc một đề kiểm tra cuối chương thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ôn lại toàn bộ sáu bài trước của khóa học: bốn số đặc trưng của mẫu ghép nhóm (trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị và biểu đồ hộp), cùng ba khái niệm xác suất (biến cố hợp và giao, công thức cộng, biến cố độc lập và công thức nhân). Không có kiến thức mới nào được giới thiệu — bài học duy nhất ở đây là kỹ năng NHẬN RA đúng công cụ cần dùng cho từng phần của một đề tổng hợp.

Khởi động

Một đề kiểm tra cuối chương thường trộn cả phần thống kê lẫn phần xác suất trong cùng một bối cảnh, chia thành nhiều ý nhỏ. Muốn làm tốt, em cần nhận ra ngay mỗi ý đang hỏi về xu thế trung tâm, độ phân tán, hay công thức xác suất nào — trước khi bắt tay vào tính toán.

Bài học hôm nay là một buổi tổng duyệt trước khi bước sang một chương hoàn toàn mới ở lớp 12, nên sẽ đi qua lần lượt từng công cụ đã học, gắn chúng vào cùng MỘT bối cảnh khảo sát để em thấy rõ chúng phối hợp với nhau như thế nào trong một đề thực tế.

Kiến thức trọng tâm

Khi đọc một đề tổng hợp, bước đầu tiên luôn là phân loại: câu hỏi này thuộc phần thống kê (mô tả một bảng số liệu) hay phần xác suất (mô tả khả năng xảy ra của một biến cố)? Với phần thống kê, tiếp tục hỏi: đề cần "giá trị điển hình" (trung bình, trung vị, hay mốt) hay cần "độ phân tán" (tứ phân vị, khoảng tứ phân vị, biểu đồ hộp)? Với phần xác suất, hỏi: các biến cố có xung khắc không (quyết định có cần trừ phần giao hay không), và các biến cố có độc lập không (quyết định có được nhân trực tiếp hay phải đếm giao thủ công)?

Một mẹo thực hành: gạch chân từ khóa trong đề ngay khi đọc lần đầu. "Trung bình", "điển hình", "phổ biến nhất" trỏ tới trung bình/trung vị/mốt. "Phân tán", "trải rộng", "so sánh hai nhóm" trỏ tới tứ phân vị và biểu đồ hộp. "Hoặc", "ít nhất một" trỏ tới công thức cộng. "Đồng thời", "cả hai cùng", "liên tiếp không ảnh hưởng nhau" trỏ tới công thức nhân. Nhận diện đúng từ khóa tiết kiệm rất nhiều thời gian làm bài.

Ví dụ

Phần thống kê — số đặc trưng của mẫu thời gian tự học

1
Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày (phút) của 60 học sinh khối 11: $[0;30)$ : 8; $[30;60)$ : 18; $[60;90)$ : 22; $[90;120)$ : 10; $[120;150)$ : 2. Tính số trung bình, trung vị và mốt của mẫu.
Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày (phút) của 60 học sinh khối 11: $[0;30)$: 8; $[30;60)$: 18; $[60;90)$: 22; $[90;120)$: 10; $[120;150)$: 2. Tính số trung bình, trung vị và mốt của mẫu.
2
$8+18+22+10+2=60$ , khớp với cỡ mẫu đã cho.
$8+18+22+10+2=60$, khớp với cỡ mẫu đã cho.
3
Giá trị đại diện: $15;45;75;105;135$ . $\overline{x}=\dfrac{8\times15+18\times45+22\times75+10\times105+2\times135}{60}=\dfrac{3900}{60}=65$ phút.
Giá trị đại diện: $15;45;75;105;135$. $\overline{x}=\dfrac{8\times15+18\times45+22\times75+10\times105+2\times135}{60}=\dfrac{3900}{60}=65$ phút.
4
$n/2=30$ . $cf_1=8,\ cf_2=26,\ cf_3=48$ . Vì $26<30\le48$ , nhóm trung vị là $[60;90)$ : $M_e=60+\dfrac{30-26}{22}\times30=60+\dfrac{120}{22}\approx65{,}45$ phút.
$n/2=30$. $cf_1=8,\ cf_2=26,\ cf_3=48$. Vì $26<30\le48$, nhóm trung vị là $[60;90)$: $M_e=60+\dfrac{30-26}{22}\times30=60+\dfrac{120}{22}\approx65{,}45$ phút.
5
Nhóm chứa mốt là $[60;90)$ ( $n_k=22$ lớn nhất, $n_{k-1}=18,\ n_{k+1}=10$ ): $M_o=60+\dfrac{22-18}{(22-18)+(22-10)}\times30=60+\dfrac{4}{16}\times30=67{,}5$ phút.
Nhóm chứa mốt là $[60;90)$ ($n_k=22$ lớn nhất, $n_{k-1}=18,\ n_{k+1}=10$): $M_o=60+\dfrac{22-18}{(22-18)+(22-10)}\times30=60+\dfrac{4}{16}\times30=67{,}5$ phút.
6
Vậy $\overline{x}=65,\ M_e\approx65{,}45,\ M_o=67{,}5$ — ba số khá gần nhau, cho thấy phân bố thời gian tự học của khối 11 tương đối cân đối quanh mốc 65 phút mỗi ngày.
Vậy $\overline{x}=65,\ M_e\approx65{,}45,\ M_o=67{,}5$ — ba số khá gần nhau, cho thấy phân bố thời gian tự học của khối 11 tương đối cân đối quanh mốc 65 phút mỗi ngày.

Ví dụ

Phần thống kê — tứ phân vị và biểu đồ hộp của cùng mẫu

1
Vẫn với mẫu thời gian tự học 60 học sinh ở trên, tính $Q_1$ , $Q_3$ và khoảng tứ phân vị, rồi mô tả biểu đồ hộp của mẫu.
Vẫn với mẫu thời gian tự học 60 học sinh ở trên, tính $Q_1$, $Q_3$ và khoảng tứ phân vị, rồi mô tả biểu đồ hộp của mẫu.
2
$n/4=15$ . $cf_1=8<15\le cf_2=26$ , nhóm $[30;60)$ : $Q_1=30+\dfrac{15-8}{18}\times30=30+\dfrac{210}{18}\approx41{,}7$ phút.
$n/4=15$. $cf_1=8<15\le cf_2=26$, nhóm $[30;60)$: $Q_1=30+\dfrac{15-8}{18}\times30=30+\dfrac{210}{18}\approx41{,}7$ phút.
3
$3n/4=45$ . $cf_2=26<45\le cf_3=48$ , nhóm $[60;90)$ : $Q_3=60+\dfrac{45-26}{22}\times30=60+\dfrac{570}{22}\approx85{,}9$ phút.
$3n/4=45$. $cf_2=26<45\le cf_3=48$, nhóm $[60;90)$: $Q_3=60+\dfrac{45-26}{22}\times30=60+\dfrac{570}{22}\approx85{,}9$ phút.
4
$IQR=Q_3-Q_1\approx85{,}9-41{,}7=44{,}2$ phút.
$IQR=Q_3-Q_1\approx85{,}9-41{,}7=44{,}2$ phút.
5
Biểu đồ hộp của mẫu có hộp trải từ $41{,}7$ đến $85{,}9$ phút (dài $44{,}2$ phút), vạch trung vị tại $65{,}45$ , hai râu nối tới $0$ và $150$ theo quy ước đầu mút nhóm đầu/cuối. Độ dài hộp khá lớn so với khoảng cách $65{,}45-41{,}7\approx23{,}7$ hay $85{,}9-65{,}45\approx20{,}5$ ở mỗi nửa, cho thấy thời gian tự học của khối 11 khá phân tán quanh mốc trung vị, không tập trung hẹp.
Biểu đồ hộp của mẫu có hộp trải từ $41{,}7$ đến $85{,}9$ phút (dài $44{,}2$ phút), vạch trung vị tại $65{,}45$, hai râu nối tới $0$ và $150$ theo quy ước đầu mút nhóm đầu/cuối. Độ dài hộp khá lớn so với khoảng cách $65{,}45-41{,}7\approx23{,}7$ hay $85{,}9-65{,}45\approx20{,}5$ ở mỗi nửa, cho thấy thời gian tự học của khối 11 khá phân tán quanh mốc trung vị, không tập trung hẹp.

Không có công thức nào ở ví dụ trên là mới — mọi bước đều lặp lại đúng kỹ thuật đã học ở chương thống kê, chỉ khác con số. Đây chính là điều một đề ôn tập cuối chương kiểm tra: khả năng NHỚ VÀ ÁP DỤNG lại đúng công thức, không phải học thêm kiến thức mới.

Ví dụ

Phần xác suất — biến cố trên cùng mẫu học sinh

1
Trong 60 học sinh trên, có 34 học sinh tự học từ 60 phút/ngày trở lên, và 24 học sinh tham gia câu lạc bộ học thuật (CLB); trong đó 20 học sinh vừa tự học từ 60 phút trở lên vừa tham gia CLB. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, gọi $A$ : "tự học ≥60 phút/ngày", $B$ : "tham gia CLB". Kiểm tra $A$ , $B$ có độc lập không, rồi tính $P(A\cup B)$ .
Trong 60 học sinh trên, có 34 học sinh tự học từ 60 phút/ngày trở lên, và 24 học sinh tham gia câu lạc bộ học thuật (CLB); trong đó 20 học sinh vừa tự học từ 60 phút trở lên vừa tham gia CLB. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, gọi $A$: "tự học ≥60 phút/ngày", $B$: "tham gia CLB". Kiểm tra $A$, $B$ có độc lập không, rồi tính $P(A\cup B)$.
2
$P(A)=34/60=17/30,\ P(B)=24/60=2/5,\ P(A\cap B)=20/60=1/3$ .
$P(A)=34/60=17/30,\ P(B)=24/60=2/5,\ P(A\cap B)=20/60=1/3$.
3
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{17}{30}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{34}{150}=\dfrac{17}{75}\approx0{,}227$ , trong khi $P(A\cap B)=1/3\approx0{,}333$ . Hai giá trị khác nhau, nên $A$ và $B$ KHÔNG độc lập — hợp lý, vì học sinh tự học nhiều có xu hướng tham gia CLB học thuật nhiều hơn, hai điều này có liên hệ với nhau.
$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{17}{30}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{34}{150}=\dfrac{17}{75}\approx0{,}227$, trong khi $P(A\cap B)=1/3\approx0{,}333$. Hai giá trị khác nhau, nên $A$ và $B$ KHÔNG độc lập — hợp lý, vì học sinh tự học nhiều có xu hướng tham gia CLB học thuật nhiều hơn, hai điều này có liên hệ với nhau.
4
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{17}{30}+\dfrac{12}{30}-\dfrac{10}{30}=\dfrac{19}{30}\approx0{,}633$ .
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{17}{30}+\dfrac{12}{30}-\dfrac{10}{30}=\dfrac{19}{30}\approx0{,}633$.
5
Số học sinh thuộc $A\cup B$ = $34+24-20=38$ trên tổng $60$ , nên $P(A\cup B)=38/60=19/30$ — khớp đúng với công thức.
Số học sinh thuộc $A\cup B$ = $34+24-20=38$ trên tổng $60$, nên $P(A\cup B)=38/60=19/30$ — khớp đúng với công thức.

Ba ví dụ trên cùng dùng một mẫu 60 học sinh nhưng đặt ba câu hỏi hoàn toàn khác nhau — chính là hình mẫu thu nhỏ của một đề kiểm tra cuối chương thực tế, nơi các phần (a), (b), (c) hỏi lần lượt về xu thế trung tâm, độ phân tán, và xác suất trên cùng một bối cảnh khảo sát duy nhất.

Nhìn lại toàn bộ khóa học qua lăng kính của bài ôn tập này: chương đầu (số trung bình, trung vị, mốt) trả lời câu hỏi "giá trị điển hình là bao nhiêu"; chương tiếp theo (tứ phân vị, biểu đồ hộp) trả lời câu hỏi "dữ liệu trải rộng hay tập trung đến đâu"; hai chương cuối (biến cố hợp/giao/cộng, biến cố độc lập/nhân) trả lời câu hỏi "khả năng xảy ra của một hoặc nhiều biến cố là bao nhiêu". Ba câu hỏi này bao trùm hầu hết những gì một bài toán thống kê và xác suất ở mức phổ thông thường yêu cầu.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong một đề tổng hợp là áp dụng nhầm công thức của phần này cho phần kia — ví dụ dùng công thức nội suy trung vị để tính một câu hỏi xác suất, hoặc quên kiểm tra độc lập/xung khắc trước khi chọn công thức cộng hay nhân. Một sai lầm khác là lẫn lộn đơn vị: kết quả thống kê mang đơn vị của đề bài (phút, điểm, kg…), còn kết quả xác suất là một số thuần túy trong đoạn $[0;1]$ — không bao giờ ghi "phút" sau một xác suất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đề tổng hợp = phân loại đúng từng ý (thống kê hay xác suất, xu thế trung tâm hay độ phân tán, xung khắc/độc lập hay không) rồi áp dụng đúng công thức đã học — không có công thức mới nào ở bài ôn tập này.

Khóa học Thống kê và xác suất lớp 11 đến đây kết thúc, với trọn bộ công cụ: số trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị và biểu đồ hộp cho mẫu số liệu ghép nhóm; biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc, biến cố độc lập, cùng công thức cộng và công thức nhân xác suất. Lớp 12 sẽ mở rộng thêm xác suất có điều kiện và công thức Bayes, xây dựng trực tiếp trên nền tảng biến cố hợp, giao và độc lập mà em vừa nắm vững — một nền tảng chắc chắn là điều kiện cần để tiếp thu tốt nội dung nâng cao đó.