Bài học

Mốt của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng nhóm chứa mốt — nhóm có tần số lớn nhất — và tính được mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bằng công thức nội suy dựa vào tần số của hai nhóm liền kề.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã dùng bảng chiều cao 40 học sinh để tìm số trung bình và trung vị (same-grade bridge). Ở lớp 10, em cũng đã biết mốt của mẫu không ghép nhóm là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất (ôn lại kiến thức lớp 10). Bài này trả lời câu hỏi tương tự cho mẫu ghép nhóm: nhóm nào "phổ biến" nhất, và giá trị đại diện cho sự phổ biến đó là bao nhiêu?

Khởi động

Một cửa hàng giày muốn biết nên nhập nhiều nhất cỡ giày nào để bán chạy. Số trung bình cỡ giày của khách hàng có trả lời được câu hỏi này không, hay cửa hàng cần một cách đo khác?

Kiến thức trọng tâm

Số trung bình không trả lời được câu hỏi trên: cỡ giày trung bình có thể ra một số không tồn tại trên thực tế (chẳng hạn 38,6), và không nói lên cỡ nào bán chạy nhất. Mốt mới là công cụ đúng: nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng — tức nhóm mà nhiều học sinh (hay nhiều khách hàng) rơi vào nhất. Gọi nhóm đó là nhóm $k$ , với tần số $n_k$ lớn nhất.

Nếu chỉ cần biết "nhóm phổ biến nhất", việc dừng lại ở đó đã đủ dùng cho nhiều tình huống — như cửa hàng giày chỉ cần biết nhóm cỡ nào bán chạy để nhập hàng. Nhưng để có MỘT giá trị cụ thể đại diện cho mốt, ta cần nội suy sâu hơn vào bên trong nhóm $k$ , dựa vào tần số của hai nhóm liền kề $n_{k-1}$ (nhóm trước) và $n_{k+1}$ (nhóm sau):

Nếu chỉ cần biết "nhóm phổ biến nhất", việc dừng lại ở đó đã đủ dùng cho nhiều tình huống — như cửa hàng giày chỉ cần biết nhóm cỡ nào bán chạy để nhập hàng. Nhưng để có MỘT giá trị cụ thể đại diện cho mốt, ta cần nội suy sâu hơn vào bên trong nhóm $k$, dựa vào tần số của hai nhóm liền kề $n_{k-1}$ (nhóm trước) và $n_{k+1}$ (nhóm sau):

$M_o = L_k + \frac{n_k-n_{k-1}}{(n_k-n_{k-1})+(n_k-n_{k+1})}\times h$

$$M_o = L_k + \frac{n_k-n_{k-1}}{(n_k-n_{k-1})+(n_k-n_{k+1})}\times h$$

Ý nghĩa của công thức: nếu tần số nhóm trước ( $n_{k-1}$ ) gần bằng $n_k$ hơn là tần số nhóm sau ( $n_{k+1}$ ), nghĩa là xu hướng tăng dần tần số vẫn còn mạnh khi bước vào nhóm $k$ từ bên trái, nên mốt sẽ lệch về phía cuối nhóm (gần $L_k+h$ ) hơn. Ngược lại, nếu $n_{k+1}$ gần bằng $n_k$ hơn, mốt sẽ lệch về phía đầu nhóm (gần $L_k$ ).

Ý nghĩa của công thức: nếu tần số nhóm trước ($n_{k-1}$) gần bằng $n_k$ hơn là tần số nhóm sau ($n_{k+1}$), nghĩa là xu hướng tăng dần tần số vẫn còn mạnh khi bước vào nhóm $k$ từ bên trái, nên mốt sẽ lệch về phía cuối nhóm (gần $L_k+h$) hơn. Ngược lại, nếu $n_{k+1}$ gần bằng $n_k$ hơn, mốt sẽ lệch về phía đầu nhóm (gần $L_k$).

Có thể hình dung bằng hai đoạn thẳng nối đỉnh cột tần số: một đoạn nối từ đỉnh cột $n_{k-1}$ đến đỉnh cột $n_k$ , một đoạn nối từ đỉnh cột $n_k$ đến đỉnh cột $n_{k+1}$ . Hai đoạn thẳng này cắt nhau tại đúng điểm mà công thức tính ra — mốt là hoành độ của giao điểm đó. Cách nhìn này giải thích vì sao công thức có dạng một tỉ lệ giữa hai hiệu số $(n_k-n_{k-1})$ và $(n_k-n_{k+1})$ : đó chính là độ dốc tương đối của hai đoạn thẳng vừa nói.

Có thể hình dung bằng hai đoạn thẳng nối đỉnh cột tần số: một đoạn nối từ đỉnh cột $n_{k-1}$ đến đỉnh cột $n_k$, một đoạn nối từ đỉnh cột $n_k$ đến đỉnh cột $n_{k+1}$. Hai đoạn thẳng này cắt nhau tại đúng điểm mà công thức tính ra — mốt là hoành độ của giao điểm đó. Cách nhìn này giải thích vì sao công thức có dạng một tỉ lệ giữa hai hiệu số $(n_k-n_{k-1})$ và $(n_k-n_{k+1})$: đó chính là độ dốc tương đối của hai đoạn thẳng vừa nói.

Cần lưu ý một trường hợp đặc biệt: nếu có HAI nhóm cùng đạt tần số lớn nhất (mẫu "hai đỉnh" — song mốt), công thức nội suy một nhóm duy nhất không còn áp dụng trực tiếp được nữa. Khi đó, đề bài thường yêu cầu chỉ ra cả hai nhóm chứa mốt, hoặc phải xem lại cách chia nhóm — một tình huống đề thi chuẩn hiếm khi đặt ra, nhưng đáng biết để không áp dụng máy móc công thức khi giả thiết "một nhóm tần số lớn nhất duy nhất" không còn đúng.

Ví dụ

Tính mốt chiều cao của 40 học sinh

1
Dùng lại bảng chiều cao 40 học sinh: $[150;155)$ : 3; $[155;160)$ : 7; $[160;165)$ : 12; $[165;170)$ : 10; $[170;175)$ : 6; $[175;180)$ : 2. Tính mốt.
Dùng lại bảng chiều cao 40 học sinh: $[150;155)$: 3; $[155;160)$: 7; $[160;165)$: 12; $[165;170)$: 10; $[170;175)$: 6; $[175;180)$: 2. Tính mốt.
2
Tần số lớn nhất là $12$ , thuộc nhóm $[160;165)$ . Đây là nhóm chứa mốt, với $L_k=160,\ h=5$ .
Tần số lớn nhất là $12$, thuộc nhóm $[160;165)$. Đây là nhóm chứa mốt, với $L_k=160,\ h=5$.
3
Nhóm liền trước $[155;160)$ có $n_{k-1}=7$ ; nhóm liền sau $[165;170)$ có $n_{k+1}=10$ .
Nhóm liền trước $[155;160)$ có $n_{k-1}=7$; nhóm liền sau $[165;170)$ có $n_{k+1}=10$.
4
$M_o=160+\dfrac{12-7}{(12-7)+(12-10)}\times5=160+\dfrac{5}{5+2}\times5=160+\dfrac{25}{7}$ .
$M_o=160+\dfrac{12-7}{(12-7)+(12-10)}\times5=160+\dfrac{5}{5+2}\times5=160+\dfrac{25}{7}$.
5
Vậy $M_o\approx163{,}57$ , làm tròn đến hàng phần chục là $163{,}6$ cm.
Vậy $M_o\approx163{,}57$, làm tròn đến hàng phần chục là $163{,}6$ cm.
6
Kết quả $163{,}6$ nằm trong khoảng $[160;165)$ — thỏa điều kiện của nhóm chứa mốt. Vì $n_{k-1}=7$ nhỏ hơn $n_{k+1}=10$ , nghĩa là chênh lệch với nhóm trước ( $12-7=5$ ) lớn hơn chênh lệch với nhóm sau ( $12-10=2$ ), mốt lệch về phía cuối nhóm (gần $165$ ) hơn là về phía đầu nhóm ( $160$ ) — khớp với công thức, vì $163{,}6$ gần $165$ hơn $160$ .
Kết quả $163{,}6$ nằm trong khoảng $[160;165)$ — thỏa điều kiện của nhóm chứa mốt. Vì $n_{k-1}=7$ nhỏ hơn $n_{k+1}=10$, nghĩa là chênh lệch với nhóm trước ($12-7=5$) lớn hơn chênh lệch với nhóm sau ($12-10=2$), mốt lệch về phía cuối nhóm (gần $165$) hơn là về phía đầu nhóm ($160$) — khớp với công thức, vì $163{,}6$ gần $165$ hơn $160$.

Ba số $164{,}4$ (trung bình), $164{,}2$ (trung vị) và $163{,}6$ (mốt) khá gần nhau nhưng không trùng nhau — điều này bình thường với dữ liệu thực tế và cho thấy phân bố chiều cao của lớp hơi lệch, không đối xứng tuyệt đối quanh một giá trị duy nhất. Chỉ khi cả ba số đặc trưng bằng nhau tuyệt đối, phân bố mới thực sự đối xứng hoàn toàn — một tình huống lý tưởng hiếm gặp với số liệu thực tế.

Ví dụ

Mốt khi nhóm chứa mốt nằm ở đầu bảng (dạng thi)

1
Một tổng đài ghi số cuộc gọi đến trong 30 ngày, chia theo số cuộc gọi mỗi ngày: $[0;10)$ : 15; $[10;20)$ : 9; $[20;30)$ : 6. Tính mốt.
Một tổng đài ghi số cuộc gọi đến trong 30 ngày, chia theo số cuộc gọi mỗi ngày: $[0;10)$: 15; $[10;20)$: 9; $[20;30)$: 6. Tính mốt.
2
Tần số lớn nhất là $15$ , thuộc nhóm $[0;10)$ — đây là nhóm ĐẦU TIÊN của bảng, nên không có nhóm nào đứng trước nó.
Tần số lớn nhất là $15$, thuộc nhóm $[0;10)$ — đây là nhóm ĐẦU TIÊN của bảng, nên không có nhóm nào đứng trước nó.
3
Khi nhóm chứa mốt là nhóm đầu bảng, ta quy ước tần số của nhóm "trước đó" bằng $0$ : $n_{k-1}=0$ . Nhóm liền sau $[10;20)$ có $n_{k+1}=9$ .
Khi nhóm chứa mốt là nhóm đầu bảng, ta quy ước tần số của nhóm "trước đó" bằng $0$: $n_{k-1}=0$. Nhóm liền sau $[10;20)$ có $n_{k+1}=9$.
4
$M_o=0+\dfrac{15-0}{(15-0)+(15-9)}\times10=0+\dfrac{15}{15+6}\times10=\dfrac{150}{21}$ .
$M_o=0+\dfrac{15-0}{(15-0)+(15-9)}\times10=0+\dfrac{15}{15+6}\times10=\dfrac{150}{21}$.
5
Vậy $M_o\approx7{,}14$ cuộc gọi mỗi ngày, nằm trong khoảng $[0;10)$ — hợp lý.
Vậy $M_o\approx7{,}14$ cuộc gọi mỗi ngày, nằm trong khoảng $[0;10)$ — hợp lý.

Ví dụ

So sánh mốt, trung vị, số trung bình để nhận biết hình dạng phân bố

1
Thời gian chờ xe buýt (phút) của 45 hành khách tại một trạm: $[0;5)$ : 20; $[5;10)$ : 15; $[10;15)$ : 7; $[15;20)$ : 3. Tính mốt, trung vị, số trung bình và nhận xét hình dạng phân bố.
Thời gian chờ xe buýt (phút) của 45 hành khách tại một trạm: $[0;5)$: 20; $[5;10)$: 15; $[10;15)$: 7; $[15;20)$: 3. Tính mốt, trung vị, số trung bình và nhận xét hình dạng phân bố.
2
Giá trị đại diện: $2{,}5;7{,}5;12{,}5;17{,}5$ . $\overline{x}=\dfrac{20\times2{,}5+15\times7{,}5+7\times12{,}5+3\times17{,}5}{45}=\dfrac{302{,}5}{45}\approx6{,}72$ .
Giá trị đại diện: $2{,}5;7{,}5;12{,}5;17{,}5$. $\overline{x}=\dfrac{20\times2{,}5+15\times7{,}5+7\times12{,}5+3\times17{,}5}{45}=\dfrac{302{,}5}{45}\approx6{,}72$.
3
$n/2=22{,}5$ . $cf_1=20<22{,}5\le cf_2=35$ , nhóm $[5;10)$ : $M_e=5+\dfrac{22{,}5-20}{15}\times5\approx5{,}83$ .
$n/2=22{,}5$. $cf_1=20<22{,}5\le cf_2=35$, nhóm $[5;10)$: $M_e=5+\dfrac{22{,}5-20}{15}\times5\approx5{,}83$.
4
Nhóm chứa mốt là $[0;5)$ (nhóm đầu, $n_k=20$ lớn nhất, $n_{k-1}=0$ , $n_{k+1}=15$ ): $M_o=0+\dfrac{20-0}{(20-0)+(20-15)}\times5=\dfrac{100}{25}=4{,}0$ .
Nhóm chứa mốt là $[0;5)$ (nhóm đầu, $n_k=20$ lớn nhất, $n_{k-1}=0$, $n_{k+1}=15$): $M_o=0+\dfrac{20-0}{(20-0)+(20-15)}\times5=\dfrac{100}{25}=4{,}0$.
5
Ta có $M_o\approx4{,}0<M_e\approx5{,}83<\overline{x}\approx6{,}72$ . Thứ tự mốt nhỏ hơn trung vị nhỏ hơn số trung bình là dấu hiệu của phân bố lệch phải: phần đông hành khách chờ rất ngắn (nhóm mốt sát 0), nhưng một số ít người chờ rất lâu (đuôi bên phải tới 20 phút) kéo số trung bình lên cao hơn hẳn hai số đặc trưng còn lại.
Ta có $M_o\approx4{,}0<M_e\approx5{,}83<\overline{x}\approx6{,}72$. Thứ tự mốt nhỏ hơn trung vị nhỏ hơn số trung bình là dấu hiệu của phân bố lệch phải: phần đông hành khách chờ rất ngắn (nhóm mốt sát 0), nhưng một số ít người chờ rất lâu (đuôi bên phải tới 20 phút) kéo số trung bình lên cao hơn hẳn hai số đặc trưng còn lại.

Quan sát thứ tự ba số đặc trưng như trên là một kỹ năng thường gặp trong đề thi: đề có thể cho sẵn cả ba giá trị và hỏi phân bố lệch trái hay lệch phải, thay vì bắt tính lại từ đầu. Ghi nhớ chiều ngược lại cũng đúng — nếu mốt lớn hơn trung vị và trung vị lớn hơn số trung bình, phân bố lệch trái, đuôi dài nằm ở phía giá trị nhỏ.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng tần số TÍCH LŨY để xác định nhóm chứa mốt — vì hai bài trước vừa dùng $cf$ liên tục, học sinh dễ quán tính lấy nhóm có $cf$ lớn nhất, nhưng $cf$ luôn lớn nhất ở nhóm cuối cùng, hoàn toàn sai với mốt. Mốt phải xác định từ tần số THÔ $n_i$ của từng nhóm. Sai lầm khác: quên quy ước $n_{k-1}=0$ hoặc $n_{k+1}=0$ khi nhóm chứa mốt nằm ở đầu hoặc cuối bảng, dẫn đến chia cho một hiệu sai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mốt của mẫu ghép nhóm: $M_o=L_k+\dfrac{n_k-n_{k-1}}{(n_k-n_{k-1})+(n_k-n_{k+1})}\times h$ , với nhóm $k$ là nhóm có tần số THÔ lớn nhất. Quy ước tần số nhóm liền kề bằng 0 nếu nhóm chứa mốt nằm ở đầu hoặc cuối bảng.

Mốt của mẫu ghép nhóm: $M_o=L_k+\dfrac{n_k-n_{k-1}}{(n_k-n_{k-1})+(n_k-n_{k+1})}\times h$, với nhóm $k$ là nhóm có tần số THÔ lớn nhất. Quy ước tần số nhóm liền kề bằng 0 nếu nhóm chứa mốt nằm ở đầu hoặc cuối bảng.

Ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm — trung bình, trung vị, mốt — đã đủ để mô tả "giá trị điển hình" của một mẫu ghép nhóm, nhưng chưa nói gì về việc dữ liệu tập trung sát giá trị điển hình đó hay trải rộng ra xa. Chương tiếp theo học cách đo độ phân tán của mẫu bằng tứ phân vị và biểu đồ hộp, để bổ sung đúng phần thông tin còn thiếu này.