Bài học

Biến cố hợp và biến cố giao

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng biến cố hợp $A\cup B$ , biến cố giao $A\cap B$ và nhận biết hai biến cố xung khắc từ một phép thử cụ thể, liệt kê đúng các kết quả thuận lợi của từng biến cố.

Sau bài này, em xác định đúng biến cố hợp $A\cup B$, biến cố giao $A\cap B$ và nhận biết hai biến cố xung khắc từ một phép thử cụ thể, liệt kê đúng các kết quả thuận lợi của từng biến cố.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 10, em đã học khái niệm phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu $\Omega$ , biến cố, và xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ (ôn lại kiến thức lớp 10). Bài này chưa cần tính xác suất vội — trước tiên phải biết cách kết hợp hai biến cố thành một biến cố mới, dùng đúng ngôn ngữ tập hợp em đã quen từ chương tập hợp: hợp $\cup$ và giao $\cap$ . Biến cố, xét cho cùng, chỉ là một tập con của không gian mẫu, nên mọi phép toán tập hợp em đã học đều áp dụng được nguyên vẹn ở đây.

Ở lớp 10, em đã học khái niệm phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu $\Omega$, biến cố, và xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ (ôn lại kiến thức lớp 10). Bài này chưa cần tính xác suất vội — trước tiên phải biết cách kết hợp hai biến cố thành một biến cố mới, dùng đúng ngôn ngữ tập hợp em đã quen từ chương tập hợp: hợp $\cup$ và giao $\cap$. Biến cố, xét cho cùng, chỉ là một tập con của không gian mẫu, nên mọi phép toán tập hợp em đã học đều áp dụng được nguyên vẹn ở đây.

Khởi động

Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Xét biến cố $A$ : "xuất hiện mặt chẵn" và biến cố $B$ : "xuất hiện mặt số nguyên tố". Có kết quả nào vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$ không? Có kết quả nào thuộc ít nhất một trong hai biến cố không? Và có kết quả nào không thuộc cả hai không?

Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Xét biến cố $A$: "xuất hiện mặt chẵn" và biến cố $B$: "xuất hiện mặt số nguyên tố". Có kết quả nào vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$ không? Có kết quả nào thuộc ít nhất một trong hai biến cố không? Và có kết quả nào không thuộc cả hai không?

Kiến thức trọng tâm

Không gian mẫu của phép thử gieo xúc xắc là $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ . Với $A=\{2,4,6\}$ (mặt chẵn) và $B=\{2,3,5\}$ (mặt nguyên tố), biến cố hợp $A\cup B$ là biến cố " $A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra (hoặc cả hai)" — tập hợp mọi kết quả thuộc $A$ , thuộc $B$ , hoặc thuộc cả hai: $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ . Biến cố giao $A\cap B$ là biến cố "cả $A$ và $B$ cùng xảy ra" — tập hợp các kết quả thuộc cả hai: $A\cap B=\{2\}$ .

Không gian mẫu của phép thử gieo xúc xắc là $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Với $A=\{2,4,6\}$ (mặt chẵn) và $B=\{2,3,5\}$ (mặt nguyên tố), biến cố hợp $A\cup B$ là biến cố "$A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra (hoặc cả hai)" — tập hợp mọi kết quả thuộc $A$, thuộc $B$, hoặc thuộc cả hai: $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$. Biến cố giao $A\cap B$ là biến cố "cả $A$ và $B$ cùng xảy ra" — tập hợp các kết quả thuộc cả hai: $A\cap B=\{2\}$.

Hai biến cố $A$ và $C$ gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra, tức $A\cap C=\emptyset$ . Chẳng hạn với $C=\{5\}$ ("mặt số 5"): $A\cap C=\emptyset$ vì không số nào vừa chẵn vừa bằng 5, nên $A$ và $C$ xung khắc. Cần phân biệt xung khắc với biến cố đối: biến cố đối của $A$ là $\overline{A}=\{1,3,5\}$ (mặt lẻ) — $A$ và $\overline{A}$ vừa xung khắc VỪA lấp đầy toàn bộ không gian mẫu ( $A\cup\overline{A}=\Omega$ ). Còn $C=\{5\}$ chỉ xung khắc với $A$ chứ không lấp đầy $\Omega$ ( $A\cup C=\{2,4,5,6\}$ , còn thiếu $1$ và $3$ ) — xung khắc không nhất thiết kéo theo lấp đầy không gian mẫu.

Hai biến cố $A$ và $C$ gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra, tức $A\cap C=\emptyset$. Chẳng hạn với $C=\{5\}$ ("mặt số 5"): $A\cap C=\emptyset$ vì không số nào vừa chẵn vừa bằng 5, nên $A$ và $C$ xung khắc. Cần phân biệt xung khắc với biến cố đối: biến cố đối của $A$ là $\overline{A}=\{1,3,5\}$ (mặt lẻ) — $A$ và $\overline{A}$ vừa xung khắc VỪA lấp đầy toàn bộ không gian mẫu ($A\cup\overline{A}=\Omega$). Còn $C=\{5\}$ chỉ xung khắc với $A$ chứ không lấp đầy $\Omega$ ($A\cup C=\{2,4,5,6\}$, còn thiếu $1$ và $3$) — xung khắc không nhất thiết kéo theo lấp đầy không gian mẫu.

Ý tưởng xung khắc quen thuộc hơn em nghĩ: đèn giao thông tại một hướng không thể vừa xanh vừa đỏ cùng lúc; một học sinh không thể vừa vắng mặt vừa có mặt trong buổi kiểm tra. Bất cứ khi nào "biến cố này xảy ra thì chắc chắn biến cố kia không xảy ra", đó là dấu hiệu của xung khắc — và phép kiểm tra chặt chẽ vẫn luôn là xem $A\cap B$ có bằng tập rỗng hay không, chứ không chỉ dựa vào trực giác.

Ví dụ

Biến cố hợp, giao và xung khắc khi gieo xúc xắc

1
Gieo một con xúc xắc 6 mặt. $A$ : "mặt chẵn", $B$ : "mặt nguyên tố", $C$ : "mặt số 5". Xác định $A\cup B$ , $A\cap B$ , và cho biết $A$ , $C$ có xung khắc không.
Gieo một con xúc xắc 6 mặt. $A$: "mặt chẵn", $B$: "mặt nguyên tố", $C$: "mặt số 5". Xác định $A\cup B$, $A\cap B$, và cho biết $A$, $C$ có xung khắc không.
2
Ta có $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $A=\{2,4,6\},\ B=\{2,3,5\},\ C=\{5\}$ .
Ta có $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{2,4,6\},\ B=\{2,3,5\},\ C=\{5\}$.
3
Phần tử chung của $A$ và $B$ chỉ có $2$ , nên $A\cap B=\{2\}$ .
Phần tử chung của $A$ và $B$ chỉ có $2$, nên $A\cap B=\{2\}$.
4
Gộp mọi phần tử thuộc $A$ hoặc $B$ : $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ .
Gộp mọi phần tử thuộc $A$ hoặc $B$: $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$.
5
$A\cap C=\{2,4,6\}\cap\{5\}=\emptyset$ . Vậy $A$ và $C$ xung khắc.
$A\cap C=\{2,4,6\}\cap\{5\}=\emptyset$. Vậy $A$ và $C$ xung khắc.
6
$A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ (thiếu duy nhất số 1), $A\cap B=\{2\}$ , và $A$ , $C$ xung khắc nhưng không lấp đầy $\Omega$ (vì $A\cup C=\{2,4,5,6\}$ vẫn thiếu $1$ và $3$ ). Ba kết luận này minh họa đầy đủ ba khái niệm vừa học chỉ trong một tình huống duy nhất.
$A\cup B=\{2,3,4,5,6\}$ (thiếu duy nhất số 1), $A\cap B=\{2\}$, và $A$, $C$ xung khắc nhưng không lấp đầy $\Omega$ (vì $A\cup C=\{2,4,5,6\}$ vẫn thiếu $1$ và $3$). Ba kết luận này minh họa đầy đủ ba khái niệm vừa học chỉ trong một tình huống duy nhất.

Ví dụ trên cho thấy $B\subset A\cup B$ hiển nhiên vì hợp luôn chứa cả hai biến cố thành phần. Ngược lại, $A\cap B\subset A$ và $A\cap B\subset B$ — biến cố giao luôn nhỏ hơn (hoặc bằng) từng biến cố thành phần. Ghi nhớ hai quan hệ bao hàm này giúp phát hiện ngay khi tính sai: nếu $A\cap B$ tính ra nhiều phần tử hơn cả $A$ lẫn $B$ , chắc chắn có nhầm lẫn. Tổng quát hơn, với hai biến cố bất kì (không nhất thiết biến cố này chứa biến cố kia), luôn có $A\cap B\subset A\cup B$ — biến cố giao luôn là một phần của biến cố hợp, không bao giờ ngược lại.

Ví dụ trên cho thấy $B\subset A\cup B$ hiển nhiên vì hợp luôn chứa cả hai biến cố thành phần. Ngược lại, $A\cap B\subset A$ và $A\cap B\subset B$ — biến cố giao luôn nhỏ hơn (hoặc bằng) từng biến cố thành phần. Ghi nhớ hai quan hệ bao hàm này giúp phát hiện ngay khi tính sai: nếu $A\cap B$ tính ra nhiều phần tử hơn cả $A$ lẫn $B$, chắc chắn có nhầm lẫn. Tổng quát hơn, với hai biến cố bất kì (không nhất thiết biến cố này chứa biến cố kia), luôn có $A\cap B\subset A\cup B$ — biến cố giao luôn là một phần của biến cố hợp, không bao giờ ngược lại.

Ví dụ

Biến cố hợp, giao khi một biến cố là tập con của biến cố kia (dạng thi)

1
Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. $A$ : "lá bài màu đỏ", $B$ : "lá bài chất Cơ (hearts)". Xác định $A\cup B$ và $A\cap B$ .
Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. $A$: "lá bài màu đỏ", $B$: "lá bài chất Cơ (hearts)". Xác định $A\cup B$ và $A\cap B$.
2
Bộ bài có hai chất đỏ là Cơ và Rô, mỗi chất 13 lá. Vì mọi lá Cơ đều là lá đỏ, $B$ là một tập con của $A$ : mọi kết quả thuộc $B$ đều thuộc $A$ .
Bộ bài có hai chất đỏ là Cơ và Rô, mỗi chất 13 lá. Vì mọi lá Cơ đều là lá đỏ, $B$ là một tập con của $A$: mọi kết quả thuộc $B$ đều thuộc $A$.
3
Khi $B\subset A$ , biến cố giao chính là biến cố nhỏ hơn: $A\cap B=B$ (13 lá Cơ); biến cố hợp chính là biến cố lớn hơn: $A\cup B=A$ (26 lá đỏ), vì mọi lá Cơ đã có mặt trong tập lá đỏ rồi, không thêm phần tử nào mới ngoài những lá đã tính.
Khi $B\subset A$, biến cố giao chính là biến cố nhỏ hơn: $A\cap B=B$ (13 lá Cơ); biến cố hợp chính là biến cố lớn hơn: $A\cup B=A$ (26 lá đỏ), vì mọi lá Cơ đã có mặt trong tập lá đỏ rồi, không thêm phần tử nào mới ngoài những lá đã tính.
4
Vậy $A\cap B$ gồm đúng 13 lá Cơ, còn $A\cup B$ gồm đúng 26 lá đỏ — không phải $26+13=39$ như phép cộng số lượng đơn giản có thể khiến em nhầm. Nhận ra quan hệ bao hàm $B\subset A$ ngay từ đầu giúp bỏ qua hẳn bước liệt kê dài dòng từng lá bài.
Vậy $A\cap B$ gồm đúng 13 lá Cơ, còn $A\cup B$ gồm đúng 26 lá đỏ — không phải $26+13=39$ như phép cộng số lượng đơn giản có thể khiến em nhầm. Nhận ra quan hệ bao hàm $B\subset A$ ngay từ đầu giúp bỏ qua hẳn bước liệt kê dài dòng từng lá bài.

Ví dụ

Biến cố hợp, giao khi không gian mẫu lớn hơn (dạng thi)

1
Gieo đồng thời hai xúc xắc. $A$ : "tổng hai mặt là số chẵn", $B$ : "có ít nhất một mặt xuất hiện số 6". Xác định $n(A)$ , $n(B)$ , $n(A\cap B)$ , $n(A\cup B)$ .
Gieo đồng thời hai xúc xắc. $A$: "tổng hai mặt là số chẵn", $B$: "có ít nhất một mặt xuất hiện số 6". Xác định $n(A)$, $n(B)$, $n(A\cap B)$, $n(A\cup B)$.
2
Kết quả là cặp $(i,j)$ với $i,j\in\{1,...,6\}$ , nên $n(\Omega)=36$ .
Kết quả là cặp $(i,j)$ với $i,j\in\{1,...,6\}$, nên $n(\Omega)=36$.
3
Tổng hai mặt chẵn khi hai mặt cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Đếm trực tiếp trên 36 cặp: $n(A)=18$ .
Tổng hai mặt chẵn khi hai mặt cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Đếm trực tiếp trên 36 cặp: $n(A)=18$.
4
Các cặp có ít nhất một mặt bằng 6: $(6,1),...,(6,6)$ và $(1,6),...,(5,6)$ , tổng cộng $n(B)=11$ (không đếm trùng cặp $(6,6)$ ).
Các cặp có ít nhất một mặt bằng 6: $(6,1),...,(6,6)$ và $(1,6),...,(5,6)$, tổng cộng $n(B)=11$ (không đếm trùng cặp $(6,6)$).
5
Trong 11 cặp có mặt số 6, những cặp có tổng chẵn là $(6,2),(6,4),(6,6),(2,6),(4,6)$ : $n(A\cap B)=5$ .
Trong 11 cặp có mặt số 6, những cặp có tổng chẵn là $(6,2),(6,4),(6,6),(2,6),(4,6)$: $n(A\cap B)=5$.
6
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+11-5=24$ . Đếm trực tiếp các cặp thuộc $A$ hoặc $B$ cũng cho đúng $24$ cặp trên tổng số $36$ — khớp với công thức.
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+11-5=24$. Đếm trực tiếp các cặp thuộc $A$ hoặc $B$ cũng cho đúng $24$ cặp trên tổng số $36$ — khớp với công thức.

Khi không gian mẫu chỉ có 6 hay 36 kết quả, liệt kê trực tiếp là cách chắc chắn nhất để kiểm chứng công thức đếm — thói quen này sẽ theo em sang bài sau, nơi ta chuyển từ đếm số phần tử sang tính xác suất bằng đúng công thức tương tự, chỉ thay số phần tử bằng tỉ lệ trên tổng số kết quả có thể.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là nghĩ số phần tử của $A\cup B$ luôn bằng $n(A)+n(B)$ , quên rằng nếu $A$ và $B$ có phần tử chung, phần chung đó bị đếm hai lần. Sai lầm khác là nhầm lẫn xung khắc với biến cố đối: hai biến cố xung khắc chưa chắc lấp đầy toàn bộ không gian mẫu, như ví dụ $A$ và $C=\{5\}$ ở trên.

Sai lầm phổ biến nhất là nghĩ số phần tử của $A\cup B$ luôn bằng $n(A)+n(B)$, quên rằng nếu $A$ và $B$ có phần tử chung, phần chung đó bị đếm hai lần. Sai lầm khác là nhầm lẫn xung khắc với biến cố đối: hai biến cố xung khắc chưa chắc lấp đầy toàn bộ không gian mẫu, như ví dụ $A$ và $C=\{5\}$ ở trên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$A\cup B$ : kết quả thuộc $A$ hoặc $B$ (hoặc cả hai). $A\cap B$ : kết quả thuộc cả hai. Xung khắc: $A\cap B=\emptyset$ — nhưng chưa chắc lấp đầy không gian mẫu như biến cố đối.

$A\cup B$: kết quả thuộc $A$ hoặc $B$ (hoặc cả hai). $A\cap B$: kết quả thuộc cả hai. Xung khắc: $A\cap B=\emptyset$ — nhưng chưa chắc lấp đầy không gian mẫu như biến cố đối.

Bài tiếp theo dùng đúng các biến cố hợp, giao, xung khắc vừa học để tính xác suất của $A\cup B$ bằng công thức cộng xác suất — công cụ chuyển từ đếm tập hợp sang tính số, và cho phép em trả lời trực tiếp câu hỏi "khả năng xảy ra một trong hai biến cố là bao nhiêu" mà không cần liệt kê lại toàn bộ không gian mẫu mỗi lần làm bài.