Bài học

Biểu đồ hộp và so sánh hai mẫu số liệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng được biểu đồ hộp từ năm giá trị đặc trưng của mẫu ghép nhóm (giá trị nhỏ nhất, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , giá trị lớn nhất), và dùng biểu đồ hộp để so sánh độ phân tán, vị trí trung tâm của hai mẫu số liệu.

Sau bài này, em dựng được biểu đồ hộp từ năm giá trị đặc trưng của mẫu ghép nhóm (giá trị nhỏ nhất, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, giá trị lớn nhất), và dùng biểu đồ hộp để so sánh độ phân tán, vị trí trung tâm của hai mẫu số liệu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã tính $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ cho mẫu điểm kiểm tra 50 học sinh (same-grade bridge — dùng lại đúng ba giá trị vừa tính). Ở lớp 10, em cũng đã học cách dựng biểu đồ hộp cho mẫu không ghép nhóm từ năm giá trị: nhỏ nhất, $Q_1$ , trung vị, $Q_3$ , lớn nhất (ôn lại kiến thức lớp 10). Điểm khác duy nhất ở đây là cách xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất khi dữ liệu đã bị ghép nhóm, không còn liệt kê từng số liệu gốc như lớp 10.

Bài trước đã tính $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ cho mẫu điểm kiểm tra 50 học sinh (same-grade bridge — dùng lại đúng ba giá trị vừa tính). Ở lớp 10, em cũng đã học cách dựng biểu đồ hộp cho mẫu không ghép nhóm từ năm giá trị: nhỏ nhất, $Q_1$, trung vị, $Q_3$, lớn nhất (ôn lại kiến thức lớp 10). Điểm khác duy nhất ở đây là cách xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất khi dữ liệu đã bị ghép nhóm, không còn liệt kê từng số liệu gốc như lớp 10.

Khởi động

Hai lớp 11A và 11B cùng làm một đề kiểm tra. Điểm trung bình hai lớp gần bằng nhau. Có thể kết luận ngay rằng chất lượng học tập của hai lớp là như nhau không, hay cần nhìn thêm vào độ phân tán và vị trí của từng nhóm điểm trước khi đưa ra kết luận?

Câu trả lời ngắn gọn là: chưa đủ căn cứ. Hai lớp có điểm trung bình bằng nhau vẫn có thể khác nhau rất nhiều về độ đồng đều, hoặc về việc phần lớn học sinh nằm cao hay thấp hơn mức trung bình đó — những điều một con số trung bình duy nhất không thể hiện được.

Kiến thức trọng tâm

Biểu đồ hộp (box plot) vẽ lại năm giá trị đặc trưng của mẫu trên một trục số: giá trị nhỏ nhất, $Q_1$ , $Q_2$ (trung vị), $Q_3$ , giá trị lớn nhất. Một hình chữ nhật ("hộp") nối từ $Q_1$ đến $Q_3$ , có một vạch tại $Q_2$ bên trong; hai "râu" nối từ hai cạnh hộp đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Với mẫu KHÔNG ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là hai số liệu thật. Với mẫu GHÉP NHÓM, ta không biết số liệu gốc chính xác, nên quy ước dùng đầu mút trái của nhóm đầu tiên làm giá trị nhỏ nhất, và đầu mút phải của nhóm cuối cùng làm giá trị lớn nhất — đây là một xấp xỉ, cần nói rõ khi trình bày.

Biểu đồ hộp (box plot) vẽ lại năm giá trị đặc trưng của mẫu trên một trục số: giá trị nhỏ nhất, $Q_1$, $Q_2$ (trung vị), $Q_3$, giá trị lớn nhất. Một hình chữ nhật ("hộp") nối từ $Q_1$ đến $Q_3$, có một vạch tại $Q_2$ bên trong; hai "râu" nối từ hai cạnh hộp đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Với mẫu KHÔNG ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là hai số liệu thật. Với mẫu GHÉP NHÓM, ta không biết số liệu gốc chính xác, nên quy ước dùng đầu mút trái của nhóm đầu tiên làm giá trị nhỏ nhất, và đầu mút phải của nhóm cuối cùng làm giá trị lớn nhất — đây là một xấp xỉ, cần nói rõ khi trình bày.

Độ dài hộp $Q_3-Q_1$ gọi là khoảng tứ phân vị (kí hiệu $\Delta_Q$ hoặc IQR), đo độ phân tán của phần "giữa" mẫu số liệu — khoảng chứa 50% số liệu ở giữa mẫu. Hộp càng dài, dữ liệu càng trải rộng quanh trung vị; hộp càng ngắn, dữ liệu càng tập trung.

Biểu đồ hộp còn cho biết vị trí của vạch trung vị bên trong hộp: nếu vạch trung vị lệch gần $Q_1$ hơn, nửa dưới của 50% dữ liệu giữa co cụm hơn nửa trên — một dấu hiệu lệch phải ở phần giữa mẫu; nếu vạch trung vị lệch gần $Q_3$ hơn, ngược lại là lệch trái. Cách đọc này chính là hình ảnh trực quan của phép so sánh khoảng cách $Q_2-Q_1$ với $Q_3-Q_2$ đã nói ở bài trước, chỉ khác là giờ đây em nhìn thấy nó trực tiếp trên hình vẽ thay vì phải tính hai hiệu số.

Cách vẽ bằng tay không khó: kẻ một trục số đủ dài để chứa cả năm giá trị đặc trưng. Đánh dấu hai điểm nhỏ nhất và lớn nhất trên trục. Vẽ một hình chữ nhật (hộp) có hai cạnh đứng đặt đúng tại $Q_1$ và $Q_3$ . Kẻ thêm một vạch đứng nằm bên trong hộp, tại đúng vị trí $Q_2$ . Cuối cùng, nối một đoạn thẳng (gọi là râu) từ cạnh trái của hộp tới điểm nhỏ nhất, và một đoạn tương tự từ cạnh phải của hộp tới điểm lớn nhất — toàn bộ hình vẽ xong chỉ cần năm con số và một chiếc thước kẻ.

Cách vẽ bằng tay không khó: kẻ một trục số đủ dài để chứa cả năm giá trị đặc trưng. Đánh dấu hai điểm nhỏ nhất và lớn nhất trên trục. Vẽ một hình chữ nhật (hộp) có hai cạnh đứng đặt đúng tại $Q_1$ và $Q_3$. Kẻ thêm một vạch đứng nằm bên trong hộp, tại đúng vị trí $Q_2$. Cuối cùng, nối một đoạn thẳng (gọi là râu) từ cạnh trái của hộp tới điểm nhỏ nhất, và một đoạn tương tự từ cạnh phải của hộp tới điểm lớn nhất — toàn bộ hình vẽ xong chỉ cần năm con số và một chiếc thước kẻ.

Vị trí gần đúng, đã làm tròn về số nguyên để hiển thị trên trục số; giá trị chính xác dùng khi tính toán là 5,06 / 6,45 / 7,59.

Ví dụ

Dựng biểu đồ hộp cho mẫu điểm kiểm tra lớp A

1
Dùng lại mẫu điểm kiểm tra 50 học sinh lớp A ở bài trước: $[2;4)$ : 4; $[4;6)$ : 16; $[6;8)$ : 22; $[8;10)$ : 8, với $Q_1\approx5{,}06,\ Q_2\approx6{,}45,\ Q_3\approx7{,}59$ . Xác định năm giá trị đặc trưng và khoảng tứ phân vị.
Dùng lại mẫu điểm kiểm tra 50 học sinh lớp A ở bài trước: $[2;4)$: 4; $[4;6)$: 16; $[6;8)$: 22; $[8;10)$: 8, với $Q_1\approx5{,}06,\ Q_2\approx6{,}45,\ Q_3\approx7{,}59$. Xác định năm giá trị đặc trưng và khoảng tứ phân vị.
2
Theo quy ước cho mẫu ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất lấy bằng đầu mút trái của nhóm đầu $[2;4)$ , tức $2$ ; giá trị lớn nhất lấy bằng đầu mút phải của nhóm cuối $[8;10)$ , tức $10$ .
Theo quy ước cho mẫu ghép nhóm, giá trị nhỏ nhất lấy bằng đầu mút trái của nhóm đầu $[2;4)$, tức $2$; giá trị lớn nhất lấy bằng đầu mút phải của nhóm cuối $[8;10)$, tức $10$.
3
Ta có: nhỏ nhất $=2$ ; $Q_1\approx5{,}06$ ; $Q_2\approx6{,}45$ ; $Q_3\approx7{,}59$ ; lớn nhất $=10$ .
Ta có: nhỏ nhất $=2$; $Q_1\approx5{,}06$; $Q_2\approx6{,}45$; $Q_3\approx7{,}59$; lớn nhất $=10$.
4
$IQR=Q_3-Q_1\approx7{,}59-5{,}06=2{,}53$ .
$IQR=Q_3-Q_1\approx7{,}59-5{,}06=2{,}53$.
5
Vậy hộp của lớp A trải từ $5{,}06$ đến $7{,}59$ (dài $2{,}53$ điểm), với vạch trung vị tại $6{,}45$ , và hai râu nối tới $2$ và $10$ .
Vậy hộp của lớp A trải từ $5{,}06$ đến $7{,}59$ (dài $2{,}53$ điểm), với vạch trung vị tại $6{,}45$, và hai râu nối tới $2$ và $10$.

Ví dụ

So sánh hai lớp bằng biểu đồ hộp (dạng thi)

1
Lớp B cũng có 50 học sinh làm cùng đề, với bảng: $[2;4)$ : 2; $[4;6)$ : 10; $[6;8)$ : 20; $[8;10)$ : 18. Tính $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ của lớp B, so sánh với lớp A.
Lớp B cũng có 50 học sinh làm cùng đề, với bảng: $[2;4)$: 2; $[4;6)$: 10; $[6;8)$: 20; $[8;10)$: 18. Tính $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ của lớp B, so sánh với lớp A.
2
$cf_1=2,\ cf_2=12,\ cf_3=32,\ cf_4=50$ .
$cf_1=2,\ cf_2=12,\ cf_3=32,\ cf_4=50$.
3
$n/4=12{,}5$ : nhóm $[6;8)$ ( $cf_2=12<12{,}5\le cf_3=32$ ), $Q_1=6+\dfrac{12{,}5-12}{20}\times2=6+0{,}05=6{,}05$ . $n/2=25$ : cùng nhóm $[6;8)$ , $Q_2=6+\dfrac{25-12}{20}\times2=6+1{,}3=7{,}3$ . $3n/4=37{,}5$ : nhóm $[8;10)$ ( $cf_3=32<37{,}5\le cf_4=50$ ), $Q_3=8+\dfrac{37{,}5-32}{18}\times2\approx8{,}61$ .
$n/4=12{,}5$: nhóm $[6;8)$ ($cf_2=12<12{,}5\le cf_3=32$), $Q_1=6+\dfrac{12{,}5-12}{20}\times2=6+0{,}05=6{,}05$. $n/2=25$: cùng nhóm $[6;8)$, $Q_2=6+\dfrac{25-12}{20}\times2=6+1{,}3=7{,}3$. $3n/4=37{,}5$: nhóm $[8;10)$ ($cf_3=32<37{,}5\le cf_4=50$), $Q_3=8+\dfrac{37{,}5-32}{18}\times2\approx8{,}61$.
4
Lớp A: $Q_1\approx5{,}06,\ Q_2\approx6{,}45,\ Q_3\approx7{,}59$ , $IQR\approx2{,}53$ . Lớp B: $Q_1\approx6{,}05,\ Q_2\approx7{,}3,\ Q_3\approx8{,}61$ , $IQR\approx2{,}56$ .
Lớp A: $Q_1\approx5{,}06,\ Q_2\approx6{,}45,\ Q_3\approx7{,}59$, $IQR\approx2{,}53$. Lớp B: $Q_1\approx6{,}05,\ Q_2\approx7{,}3,\ Q_3\approx8{,}61$, $IQR\approx2{,}56$.
5
Hai lớp có khoảng tứ phân vị gần bằng nhau (độ phân tán giữa mẫu tương đương), nhưng cả ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ của lớp B đều cao hơn lớp A khoảng một điểm — hộp của lớp B nằm lệch hẳn về phía điểm cao hơn. Vậy nhìn chung, lớp B làm bài tốt hơn lớp A một cách có hệ thống, một kết luận mà chỉ so sánh điểm trung bình có thể không thấy rõ bằng khi nhìn cả bức tranh qua biểu đồ hộp.
Hai lớp có khoảng tứ phân vị gần bằng nhau (độ phân tán giữa mẫu tương đương), nhưng cả ba mốc $Q_1, Q_2, Q_3$ của lớp B đều cao hơn lớp A khoảng một điểm — hộp của lớp B nằm lệch hẳn về phía điểm cao hơn. Vậy nhìn chung, lớp B làm bài tốt hơn lớp A một cách có hệ thống, một kết luận mà chỉ so sánh điểm trung bình có thể không thấy rõ bằng khi nhìn cả bức tranh qua biểu đồ hộp.

So với lớp A, cả ba mốc Q1, Q2, Q3 của lớp B đều dịch sang phải — điểm số nhìn chung cao hơn.

Ví dụ

Đọc vị trí vạch trung vị bên trong hộp của hai lớp

1
So sánh khoảng cách $Q_2-Q_1$ với $Q_3-Q_2$ của lớp A và lớp B để nhận xét vạch trung vị nằm lệch về phía nào trong mỗi hộp.
So sánh khoảng cách $Q_2-Q_1$ với $Q_3-Q_2$ của lớp A và lớp B để nhận xét vạch trung vị nằm lệch về phía nào trong mỗi hộp.
2
$Q_2-Q_1\approx6{,}45-5{,}06=1{,}39$ ; $Q_3-Q_2\approx7{,}59-6{,}45=1{,}14$ . Vì $1{,}14<1{,}39$ , vạch trung vị của lớp A lệch gần $Q_3$ hơn — nửa trên của 50% dữ liệu giữa co cụm hơn nửa dưới.
$Q_2-Q_1\approx6{,}45-5{,}06=1{,}39$; $Q_3-Q_2\approx7{,}59-6{,}45=1{,}14$. Vì $1{,}14<1{,}39$, vạch trung vị của lớp A lệch gần $Q_3$ hơn — nửa trên của 50% dữ liệu giữa co cụm hơn nửa dưới.
3
$Q_2-Q_1\approx7{,}3-6{,}05=1{,}25$ ; $Q_3-Q_2\approx8{,}61-7{,}3=1{,}31$ . Hai khoảng này gần bằng nhau, nên vạch trung vị của lớp B nằm gần chính giữa hộp.
$Q_2-Q_1\approx7{,}3-6{,}05=1{,}25$; $Q_3-Q_2\approx8{,}61-7{,}3=1{,}31$. Hai khoảng này gần bằng nhau, nên vạch trung vị của lớp B nằm gần chính giữa hộp.
4
Hộp của lớp A hơi lệch (nửa dưới trải rộng hơn nửa trên quanh trung vị), trong khi hộp của lớp B khá cân đối. Đây là một chi tiết mà chỉ nhìn ba con số $Q_1,Q_2,Q_3$ tách rời khó nhận ra ngay, nhưng hiện rõ khi đặt cạnh nhau trên biểu đồ hộp.
Hộp của lớp A hơi lệch (nửa dưới trải rộng hơn nửa trên quanh trung vị), trong khi hộp của lớp B khá cân đối. Đây là một chi tiết mà chỉ nhìn ba con số $Q_1,Q_2,Q_3$ tách rời khó nhận ra ngay, nhưng hiện rõ khi đặt cạnh nhau trên biểu đồ hộp.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên rằng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu đồ hộp cho mẫu ghép nhóm chỉ là ước lượng theo đầu mút của nhóm đầu và nhóm cuối, không phải giá trị thật — cần nói rõ điều này khi trình bày, tránh khẳng định chắc chắn "điểm thấp nhất lớp là 2". Sai lầm khác: đọc nhầm chiều cao của hộp trong biểu đồ hộp như thể đó là tần số — biểu đồ hộp không biểu diễn tần số, khác hẳn với biểu đồ tần số đã học ở các bài trước.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Biểu đồ hộp dựng từ năm giá trị: nhỏ nhất, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , lớn nhất. Với mẫu ghép nhóm, nhỏ nhất/lớn nhất là ước lượng theo đầu mút nhóm đầu/cuối. $IQR=Q_3-Q_1$ đo độ phân tán; hộp dịch chuyển cho biết lệch vị trí trung tâm.

Biểu đồ hộp dựng từ năm giá trị: nhỏ nhất, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, lớn nhất. Với mẫu ghép nhóm, nhỏ nhất/lớn nhất là ước lượng theo đầu mút nhóm đầu/cuối. $IQR=Q_3-Q_1$ đo độ phân tán; hộp dịch chuyển cho biết lệch vị trí trung tâm.

Đến đây, bốn số đặc trưng — trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị — cùng biểu đồ hộp đã tạo thành một bộ công cụ khá đầy đủ để mô tả một mẫu số liệu ghép nhóm: vị trí trung tâm, giá trị phổ biến nhất, và độ phân tán quanh trung tâm đó. Chương tiếp theo rời khỏi phần thống kê để bước sang xác suất: biến cố hợp, biến cố giao, và công thức cộng xác suất — bắt đầu từ những phép thử đơn giản như gieo xúc xắc hay rút bài, nơi ta đếm được trực tiếp mọi kết quả có thể xảy ra.