Bài học

Đọc đồ thị hàm số để xác định tham số và tính chất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được từ một đồ thị đã vẽ sẵn: dấu của hệ số bậc cao nhất, số điểm cực trị và vị trí của chúng, số nghiệm thực của phương trình $f(x)=0$ , và tính đối xứng của hàm số — mà không cần biết trước công thức.

Sau bài này, em đọc được từ một đồ thị đã vẽ sẵn: dấu của hệ số bậc cao nhất, số điểm cực trị và vị trí của chúng, số nghiệm thực của phương trình $f(x)=0$, và tính đối xứng của hàm số — mà không cần biết trước công thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước dạy em đi từ công thức đến hình vẽ. Kỹ năng đọc đồ thị là chiều ngược lại: từ hình vẽ suy ra tính chất của hàm số (same-grade bridge, dùng đúng các dấu hiệu về cực trị, giới hạn và giao điểm đã học ở Bài 1 và Bài 2). Đây là năng lực đọc hiểu mà đề thi tốt nghiệp THPT 2025 kiểm tra trực tiếp trong phần đúng/sai, thay vì chỉ yêu cầu tính toán từ công thức có sẵn.

Khởi động

Một đề thi cho sẵn một đồ thị hàm số, không kèm công thức, và hỏi bốn khẳng định đúng/sai về hàm số đó — về dấu hệ số, số cực trị, số nghiệm. Nếu không biết công thức, làm sao trả lời được?

Kiến thức trọng tâm

Mọi thông tin về hàm bậc ba hay trùng phương đều để lại dấu vết hình học trên đồ thị, và em có thể đọc ngược lại từng dấu vết đó. Chiều đồ thị ở hai đầu (đi lên hay đi xuống khi $x\to\pm\infty$ ) cho biết dấu hệ số bậc cao nhất — với hàm bậc ba, nhánh phải đi lên nghĩa là $a>0$ ; với hàm trùng phương, cả hai nhánh cùng đi lên nghĩa là $a>0$ . Số đỉnh và đáy nhìn thấy trên hình chính là số điểm cực trị, và toạ độ của chúng đọc trực tiếp từ hình không cần tính đạo hàm.

Mọi thông tin về hàm bậc ba hay trùng phương đều để lại dấu vết hình học trên đồ thị, và em có thể đọc ngược lại từng dấu vết đó. Chiều đồ thị ở hai đầu (đi lên hay đi xuống khi $x\to\pm\infty$) cho biết dấu hệ số bậc cao nhất — với hàm bậc ba, nhánh phải đi lên nghĩa là $a>0$; với hàm trùng phương, cả hai nhánh cùng đi lên nghĩa là $a>0$. Số đỉnh và đáy nhìn thấy trên hình chính là số điểm cực trị, và toạ độ của chúng đọc trực tiếp từ hình không cần tính đạo hàm.

Số điểm đồ thị cắt qua trục hoành (không tính điểm chỉ chạm rồi quay lại) chính là số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f(x)=0$ . Cần phân biệt "cắt qua" với "tiếp xúc": nếu đồ thị chạm trục hoành đúng tại một điểm cực trị rồi quay ngược lại (không băng qua phía bên kia), đó là nghiệm kép, không phải hai nghiệm phân biệt — chi tiết này chính là điều bài trước đã gặp ở ví dụ $y=-x^3+3x^2-4$ , nơi nghiệm kép $x=2$ trùng với điểm cực đại chạm trục hoành.

Số điểm đồ thị cắt qua trục hoành (không tính điểm chỉ chạm rồi quay lại) chính là số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f(x)=0$. Cần phân biệt "cắt qua" với "tiếp xúc": nếu đồ thị chạm trục hoành đúng tại một điểm cực trị rồi quay ngược lại (không băng qua phía bên kia), đó là nghiệm kép, không phải hai nghiệm phân biệt — chi tiết này chính là điều bài trước đã gặp ở ví dụ $y=-x^3+3x^2-4$, nơi nghiệm kép $x=2$ trùng với điểm cực đại chạm trục hoành.

Tính đối xứng cũng đọc được trực tiếp: nếu nửa bên trái và nửa bên phải của đồ thị là ảnh phản chiếu của nhau qua trục $Oy$ , hàm là hàm chẵn (đúng với mọi hàm trùng phương). Nếu đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ — quay hình 180 độ quanh gốc O thì trùng khít với chính nó — hàm là hàm lẻ, tức $f(-x)=-f(x)$ , một tính chất riêng của một số hàm bậc ba đặc biệt (không phải mọi hàm bậc ba đều lẻ, chỉ khi không có số hạng bậc hai và hằng số, như $y=x^3-3x$ ).

Tính đối xứng cũng đọc được trực tiếp: nếu nửa bên trái và nửa bên phải của đồ thị là ảnh phản chiếu của nhau qua trục $Oy$, hàm là hàm chẵn (đúng với mọi hàm trùng phương). Nếu đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ — quay hình 180 độ quanh gốc O thì trùng khít với chính nó — hàm là hàm lẻ, tức $f(-x)=-f(x)$, một tính chất riêng của một số hàm bậc ba đặc biệt (không phải mọi hàm bậc ba đều lẻ, chỉ khi không có số hạng bậc hai và hằng số, như $y=x^3-3x$).

Kỹ năng đọc đồ thị cũng áp dụng được cho hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đã học ở bài trước, dù hình dạng khác hẳn hàm đa thức. Một đường thẳng đứng mà đồ thị tiến sát vào nhưng không bao giờ chạm — dù đọc từ bên trái hay bên phải — chính là tiệm cận đứng; một đường thẳng ngang mà cả hai nhánh cùng tiến gần khi đi ra xa hai phía chính là tiệm cận ngang. Nếu cả hai nhánh của đồ thị cùng đi lên (từ trái sang phải trên mỗi nhánh), hàm đồng biến trên từng khoảng; nếu cùng đi xuống, hàm nghịch biến — đọc trực tiếp từ hình, không cần tính lại $ad-bc$ .

Điểm chung của mọi bài đọc đồ thị là: em không cần công thức, chỉ cần đối chiếu hình dạng quan sát được với các dấu hiệu đã học ở ba bài trước. Đây là lý do năng lực đọc đồ thị luôn đi kèm chặt chẽ với năng lực khảo sát — nắm chắc một chiều thì chiều ngược lại tự nhiên trở nên dễ dàng, và ngược lại cũng đúng.

Đồ thị (C) của một hàm bậc ba y=f(x), chưa biết công thức

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đọc các tính chất của đồ thị (C):

y=f(x)

là một hàm bậc baĐọc các tính chất của đồ thị (C): $y=f(x)$ là một hàm bậc ba

1
Cho đồ thị (C) như hình vẽ (chưa biết công thức). Xác định: dấu hệ số bậc ba, số điểm cực trị và toạ độ, số nghiệm của $f(x)=0$ , và hàm có là hàm lẻ hay không.
Cho đồ thị (C) như hình vẽ (chưa biết công thức). Xác định: dấu hệ số bậc ba, số điểm cực trị và toạ độ, số nghiệm của $f(x)=0$, và hàm có là hàm lẻ hay không.
2
Ta có nhánh bên phải của đồ thị đi lên khi $x\to+\infty$ , nên hệ số bậc ba $a>0$ .
Ta có nhánh bên phải của đồ thị đi lên khi $x\to+\infty$, nên hệ số bậc ba $a>0$.
3
Đồ thị có một đỉnh (cực đại) tại $(-1;2)$ và một đáy (cực tiểu) tại $(1;-2)$ — hai điểm cực trị.
Đồ thị có một đỉnh (cực đại) tại $(-1;2)$ và một đáy (cực tiểu) tại $(1;-2)$ — hai điểm cực trị.
4
Ta có $y_{CD}=2>0$ và $y_{CT}=-2<0$ , hai giá trị cực trị trái dấu, nên đồ thị cắt trục hoành tại đúng ba điểm phân biệt — quan sát trên hình đúng là ba điểm cắt.
Ta có $y_{CD}=2>0$ và $y_{CT}=-2<0$, hai giá trị cực trị trái dấu, nên đồ thị cắt trục hoành tại đúng ba điểm phân biệt — quan sát trên hình đúng là ba điểm cắt.
5
Nửa bên trái và nửa bên phải của đồ thị đối xứng nhau qua gốc toạ độ $O$ — xoay hình 180 độ quanh $O$ thì trùng khít với chính nó. Vậy hàm là hàm lẻ, $f(-x)=-f(x)$ .
Nửa bên trái và nửa bên phải của đồ thị đối xứng nhau qua gốc toạ độ $O$ — xoay hình 180 độ quanh $O$ thì trùng khít với chính nó. Vậy hàm là hàm lẻ, $f(-x)=-f(x)$.
6
Vậy từ đồ thị (không cần biết công thức), ta xác định được: $a>0$ ; hai điểm cực trị tại $(-1;2)$ và $(1;-2)$ ; phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt; và hàm số là hàm lẻ.
Vậy từ đồ thị (không cần biết công thức), ta xác định được: $a>0$; hai điểm cực trị tại $(-1;2)$ và $(1;-2)$; phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt; và hàm số là hàm lẻ.

Đồ thị (C) sau khi đọc ra các điểm đặc biệt

Công thức thật sự của đồ thị trên là $y=x^3-3x$ (em có thể tự kiểm tra: $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ , cực đại tại $x=-1$ với $y=-1+3=2$ , cực tiểu tại $x=1$ với $y=1-3=-2$ , đúng khớp mọi chi tiết vừa đọc được từ hình) — nhưng điều quan trọng của bài này là toàn bộ lập luận trên không hề cần đến công thức này.

Công thức thật sự của đồ thị trên là $y=x^3-3x$ (em có thể tự kiểm tra: $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, cực đại tại $x=-1$ với $y=-1+3=2$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=1-3=-2$, đúng khớp mọi chi tiết vừa đọc được từ hình) — nhưng điều quan trọng của bài này là toàn bộ lập luận trên không hề cần đến công thức này.

Ví dụ

Đọc các tính chất của đồ thị (C'):

y=g(x)=ax^4+bx^2+c

Đọc các tính chất của đồ thị (C'): $y=g(x)=ax^4+bx^2+c$

1
Cho đồ thị (C') của hàm trùng phương $y=g(x)$ như hình vẽ. Trong bốn khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai: (a) hệ số $a$ dương; (b) đồ thị có ba điểm cực trị; (c) đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; (d) giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng 0.
Cho đồ thị (C') của hàm trùng phương $y=g(x)$ như hình vẽ. Trong bốn khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai: (a) hệ số $a$ dương; (b) đồ thị có ba điểm cực trị; (c) đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; (d) giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng 0.
2
Cả hai nhánh ngoài cùng của đồ thị đều đi lên khi $x\to\pm\infty$ , nên $a>0$ . Khẳng định (a) đúng.
Cả hai nhánh ngoài cùng của đồ thị đều đi lên khi $x\to\pm\infty$, nên $a>0$. Khẳng định (a) đúng.
3
Hình có hai đáy và một đỉnh ở giữa — ba điểm cực trị. Khẳng định (b) đúng.
4
Đồ thị chỉ chạm trục hoành tại hai điểm (đúng bằng hai đáy cực tiểu), không cắt qua tại điểm nào khác — không phải bốn điểm. Khẳng định (c) sai.
5
Hai đáy cực tiểu đều nằm đúng trên trục hoành ( $y=0$ ), và vì đây là giá trị thấp nhất quan sát được trên toàn hình, đó cũng là giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ . Khẳng định (d) đúng.
Hai đáy cực tiểu đều nằm đúng trên trục hoành ($y=0$), và vì đây là giá trị thấp nhất quan sát được trên toàn hình, đó cũng là giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$. Khẳng định (d) đúng.
6
Vậy trong bốn khẳng định, (a), (b), (d) đúng và (c) sai.

Đồ thị (C') của hàm trùng phương y=g(x)=ax^4+bx^2+c, chưa biết các hệ số cụ thể

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là nhầm điểm tiếp xúc (chạm rồi quay lại) với điểm cắt qua khi đếm số nghiệm — một đồ thị có thể chạm trục hoành nhiều lần nhưng chỉ thực sự "cắt" (đổi dấu) tại một số điểm ít hơn. Sai lầm thứ hai là kết luận hàm lẻ chỉ vì đồ thị "trông cân đối", trong khi phải kiểm tra đúng điều kiện đối xứng qua gốc toạ độ, không phải qua trục Oy (đó là dấu hiệu của hàm chẵn, một tính chất khác hẳn).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đọc đồ thị: chiều đi lên/xuống ở hai đầu cho dấu hệ số cao nhất; số đỉnh/đáy là số cực trị; so dấu hai giá trị cực trị (trái dấu: 3 nghiệm, cùng dấu: 1 nghiệm, một giá trị bằng 0: 2 nghiệm với một nghiệm kép); đối xứng qua Oy là hàm chẵn, qua gốc O là hàm lẻ.

Bài tiếp theo dùng chính kỹ năng đọc đồ thị này theo một cách khác: thay vì đọc tính chất của một hàm, em sẽ đọc số giao điểm của HAI đồ thị chồng lên nhau — chuẩn bị trực tiếp cho bài toán tương giao.