Bài học

Ôn tập: khảo sát hàm phân thức và tương giao hai đồ thị

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập cuối khoá này khép lại Course 2 bằng cách luyện lại khảo sát hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và bài toán tương giao trên một hàm số và một tình huống hoàn toàn mới — đồng thời cho em thấy hai kỹ năng của khoá học phối hợp với nhau như thế nào trong một bài toán tổng hợp mang tính đại diện cho dạng luyện đề thực tế em sẽ gặp sau này.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ôn lại nguyên vẹn hai nội dung: quy trình khảo sát hàm phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ của Chương 3, và kỹ thuật giải phương trình hoành độ giao điểm cùng biện luận tham số của Chương 5 (same-grade bridge, ôn tập thuần tuý). Không có công thức mới nào xuất hiện — mọi phép tính dưới đây chỉ áp dụng lại đúng các bước đã học.

Khởi động

Đường thẳng $y=2-2x$ được vẽ chồng lên đồ thị $y=x^3-3x^2+2$ đã quen thuộc từ Chương 1. Ba giao điểm của chúng hoá ra trùng khít với ba điểm đặc biệt nhất của đường cong đó — cực đại, nghiệm, cực tiểu. Đây là trùng hợp hay có lý do?

Ôn tập: khảo sát hàm phân thức mới

So với hai họ hàm đa thức của Chương 1 và 2, khảo sát hàm phân thức có ít bước tính toán hơn hẳn một khi đã nhớ đúng công thức: không cần lập bảng dấu tam thức bậc hai cho $y'$ vì dấu của $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ luôn là một hằng số cố định, chỉ cần tính $ad-bc$ một lần. Đây là lý do dạng bài phân thức thường xuất hiện trong phần trắc nghiệm hỏi nhanh về tiệm cận hoặc chiều biến thiên hơn là phần khảo sát trọn vẹn — độ khó nằm ở việc nhớ đúng công thức, không nằm ở khối lượng tính toán.

Ví dụ

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị

y=\dfrac{2x-1}{x+2}

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị $y=\dfrac{2x-1}{x+2}$

1
Mẫu số bằng 0 khi $x=-2$ , vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ .
Mẫu số bằng 0 khi $x=-2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
2
$y'=\dfrac{2\cdot 2-(-1)\cdot 1}{(x+2)^2}=\dfrac{5}{(x+2)^2}$ . Vì $(x+2)^2>0$ với $x\neq -2$ , $y'>0$ trên toàn tập xác định — hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$ , không có cực trị.
$y'=\dfrac{2\cdot 2-(-1)\cdot 1}{(x+2)^2}=\dfrac{5}{(x+2)^2}$. Vì $(x+2)^2>0$ với $x\neq -2$, $y'>0$ trên toàn tập xác định — hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$, không có cực trị.
3
$x=-2$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$ , tỉ số hệ số bậc nhất $\dfrac{2}{1}=2$ , nên $y=2$ là tiệm cận ngang.
$x=-2$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$, tỉ số hệ số bậc nhất $\dfrac{2}{1}=2$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang.
4
Giao Oy: $x=0\Rightarrow y=\dfrac{-1}{2}$ . Giao Ox: $2x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{2}$ .
Giao Oy: $x=0\Rightarrow y=\dfrac{-1}{2}$. Giao Ox: $2x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{2}$.
5
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $(-2;2)$ . Điểm $\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ đối xứng qua $(-2;2)$ cho điểm $\left(-\dfrac{9}{2};4\right)$ ; kiểm tra trực tiếp $y\left(-\dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{-9-1}{-\frac{9}{2}+2}=\dfrac{-10}{-\frac{5}{2}}=4$ — khớp đúng. Vậy đồ thị gồm hai nhánh đồng biến quanh tiệm cận đứng $x=-2$ , tiến gần tiệm cận ngang $y=2$ ở hai đầu.
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $(-2;2)$. Điểm $\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ đối xứng qua $(-2;2)$ cho điểm $\left(-\dfrac{9}{2};4\right)$; kiểm tra trực tiếp $y\left(-\dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{-9-1}{-\frac{9}{2}+2}=\dfrac{-10}{-\frac{5}{2}}=4$ — khớp đúng. Vậy đồ thị gồm hai nhánh đồng biến quanh tiệm cận đứng $x=-2$, tiến gần tiệm cận ngang $y=2$ ở hai đầu.

Ôn tập: y=(2x-1)/(x+2), một hàm phân thức mới, đồng biến trên từng khoảng xác định

Ôn tập: tương giao giữa một đường thẳng và đồ thị đã khảo sát

Ví dụ dưới đây dùng lại đúng đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1 Chương 1, với cực đại $(0;2)$ , nghiệm $(1;0)$ và cực tiểu $(2;-2)$ đã biết sẵn — để cho thấy kỹ thuật tương giao hoạt động trên một hàm quen thuộc mà không cần khảo sát lại từ đầu.

Ví dụ dưới đây dùng lại đúng đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1 Chương 1, với cực đại $(0;2)$, nghiệm $(1;0)$ và cực tiểu $(2;-2)$ đã biết sẵn — để cho thấy kỹ thuật tương giao hoạt động trên một hàm quen thuộc mà không cần khảo sát lại từ đầu.

Ví dụ

Tìm giao điểm của

(C): y=x^3-3x^2+2

và đường thẳng

d: y=2-2x

Tìm giao điểm của $(C): y=x^3-3x^2+2$ và đường thẳng $d: y=2-2x$

1
Tìm toạ độ giao điểm của $(C): y=x^3-3x^2+2$ và $d: y=2-2x$ .
Tìm toạ độ giao điểm của $(C): y=x^3-3x^2+2$ và $d: y=2-2x$.
2
$x^3-3x^2+2=2-2x \iff x^3-3x^2+2x=0$ .
$x^3-3x^2+2=2-2x \iff x^3-3x^2+2x=0$.
3
$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$ . Suy ra $x(x-1)(x-2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$ .
$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$. Suy ra $x(x-1)(x-2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$.
4
Thay vào $d$ : $x=0\Rightarrow y=2$ ; $x=1\Rightarrow y=0$ ; $x=2\Rightarrow y=-2$ .
Thay vào $d$: $x=0\Rightarrow y=2$; $x=1\Rightarrow y=0$; $x=2\Rightarrow y=-2$.
5
Ba giao điểm $(0;2)$ , $(1;0)$ , $(2;-2)$ trùng đúng với ba điểm đặc biệt của $(C)$ đã biết từ Bài 1: cực đại, nghiệm đơn, và cực tiểu. Đây không phải ngẫu nhiên hoàn toàn — vì đường thẳng $d$ được chọn đi qua đúng ba điểm đó, độ dốc của nó (bằng $-2$ ) khớp với độ dốc trung bình giữa các điểm này. Vậy ba giao điểm là $(0;2)$ , $(1;0)$ và $(2;-2)$ .
Ba giao điểm $(0;2)$, $(1;0)$, $(2;-2)$ trùng đúng với ba điểm đặc biệt của $(C)$ đã biết từ Bài 1: cực đại, nghiệm đơn, và cực tiểu. Đây không phải ngẫu nhiên hoàn toàn — vì đường thẳng $d$ được chọn đi qua đúng ba điểm đó, độ dốc của nó (bằng $-2$) khớp với độ dốc trung bình giữa các điểm này. Vậy ba giao điểm là $(0;2)$, $(1;0)$ và $(2;-2)$.

Ôn tập tương giao: đường thẳng y=2-2x đi qua đúng cực đại, nghiệm, và cực tiểu của (C) ở Chương 1

Bài học ở đây không phải là mọi đường thẳng đều đi qua đúng ba điểm đặc biệt của một đường cong — điều đó chỉ đúng khi đường thẳng được chọn cố ý như ví dụ trên. Bài học thật sự là: kỹ thuật giải phương trình hoành độ giao điểm hoạt động y hệt nhau dù đường cong đó đã quen thuộc từ trước hay hoàn toàn mới, và việc nhận ra kết quả trùng với dữ kiện đã biết là một cách tự kiểm tra đáng tin cậy — nếu ba nghiệm tính được không khớp với cực trị và nghiệm đã biết của $(C)$ trong một tình huống được thiết kế để trùng khớp, chắc chắn có sai sót ở đâu đó cần rà soát lại, và đây chính là thói quen tự kiểm tra mà mọi bài trong khoá học này đều khuyến khích rèn luyện.

Ví dụ

Ôn tập biện luận tham số: tìm

m

để

y=m

cắt

y=x^3+3x^2-4

(Bài trước) tại ba điểmÔn tập biện luận tham số: tìm $m$ để $y=m$ cắt $y=x^3+3x^2-4$ (Bài trước) tại ba điểm

1
Dùng lại hàm số $y=x^3+3x^2-4$ đã khảo sát ở bài trước (cực đại $0$ tại $x=-2$ , cực tiểu $-4$ tại $x=0$ ). Tìm $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt.
Dùng lại hàm số $y=x^3+3x^2-4$ đã khảo sát ở bài trước (cực đại $0$ tại $x=-2$, cực tiểu $-4$ tại $x=0$). Tìm $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt.
2
Đường ngang $y=m$ cắt đồ thị ba lần khi $m$ nằm thực sự giữa hai giá trị cực trị: $y_{CT}<m<y_{CD}$ , tức $-4<m<0$ .
Đường ngang $y=m$ cắt đồ thị ba lần khi $m$ nằm thực sự giữa hai giá trị cực trị: $y_{CT}<m<y_{CD}$, tức $-4<m<0$.
3
Với $m=-2$ (thuộc khoảng vừa tìm): phương trình $x^3+3x^2-4=-2 \iff x^3+3x^2-2=0$ phải có ba nghiệm thực phân biệt — nằm đúng trong dải giữa cực tiểu $-4$ và cực đại $0$ nên kết luận này hợp lý mà không cần giải chi tiết đa thức bậc ba lẻ nghiệm này.
Với $m=-2$ (thuộc khoảng vừa tìm): phương trình $x^3+3x^2-4=-2 \iff x^3+3x^2-2=0$ phải có ba nghiệm thực phân biệt — nằm đúng trong dải giữa cực tiểu $-4$ và cực đại $0$ nên kết luận này hợp lý mà không cần giải chi tiết đa thức bậc ba lẻ nghiệm này.
4
Vậy $-4<m<0$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $y=x^3+3x^2-4$ tại ba điểm phân biệt — cùng kỹ thuật so sánh cực trị đã dùng ở Chương 5, áp dụng ngay trên hàm số của bài ôn tập trước.
Vậy $-4<m<0$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $y=x^3+3x^2-4$ tại ba điểm phân biệt — cùng kỹ thuật so sánh cực trị đã dùng ở Chương 5, áp dụng ngay trên hàm số của bài ôn tập trước.

Ba ví dụ tương giao của khoá học — Chương 5 và hai ví dụ ở bài này — đều quy về đúng một thao tác: so sánh vị trí của một số ( $k$ , $m$ , hoặc giá trị tại giao điểm) với hai giá trị cực trị đã biết từ bước khảo sát. Đây là lý do khảo sát luôn phải làm trước và làm đúng: một bảng biến thiên sai sẽ kéo theo mọi kết luận tương giao phía sau sai theo, dù kỹ thuật so sánh ở bước cuối có chính xác đến đâu.

Ba ví dụ tương giao của khoá học — Chương 5 và hai ví dụ ở bài này — đều quy về đúng một thao tác: so sánh vị trí của một số ($k$, $m$, hoặc giá trị tại giao điểm) với hai giá trị cực trị đã biết từ bước khảo sát. Đây là lý do khảo sát luôn phải làm trước và làm đúng: một bảng biến thiên sai sẽ kéo theo mọi kết luận tương giao phía sau sai theo, dù kỹ thuật so sánh ở bước cuối có chính xác đến đâu.

Sai lầm thường gặp

Khi ôn tập tương giao, sai lầm phổ biến là quên kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay ngược vào CẢ HAI hàm số — chỉ thay vào một hàm không phát hiện được lỗi tính toán nếu có. Với hàm phân thức, sai lầm khác là quên loại nghiệm trùng với điểm mẫu số bằng 0 nếu bài toán tương giao có liên quan đến hàm phân thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ôn tập Chương 3 và Chương 5: hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu (không cực trị), có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang; giao điểm hai đồ thị luôn tìm bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm, và với tham số thì so sánh cực trị — chỉ cần nhận diện đúng dạng bài, kỹ thuật đã học áp dụng được cho bất kỳ hàm số nào trong ba họ đã học.

Đến đây, Course 2 đã hoàn tất trọn vẹn: khảo sát ba họ hàm số chuẩn của lớp 12, đọc ngược thông tin từ một đồ thị cho sẵn, và giải bài toán tương giao kể cả khi có tham số. Course 3 tiếp theo chuyển sang nguyên hàm và tích phân — phép toán ngược của đạo hàm mà em đã dùng xuyên suốt khoá này để tìm chiều biến thiên — một minh chứng nữa rằng đạo hàm là công cụ trung tâm nối liền toàn bộ chương trình Giải tích lớp 12.

Nhìn lại toàn khoá, mọi bài đều xoay quanh đúng một trục: dấu của đạo hàm quyết định chiều biến thiên, chiều biến thiên quyết định hình dạng đồ thị, và hình dạng đồ thị mang mọi thông tin cần thiết để trả lời câu hỏi đọc đồ thị hay tương giao — dù đề bài hỏi theo chiều nào trong ba chiều đó, công cụ dùng để trả lời luôn bắt nguồn từ cùng một bảng biến thiên đã lập đúng ngay từ đầu.