Bài học

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em khảo sát và vẽ được đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ , tìm đúng tập xác định bị thu hẹp vì có mẫu, xác định cả hai loại tiệm cận, và nhận ra hàm này luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định — không bao giờ có cực trị.

Sau bài này, em khảo sát và vẽ được đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, tìm đúng tập xác định bị thu hẹp vì có mẫu, xác định cả hai loại tiệm cận, và nhận ra hàm này luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định — không bao giờ có cực trị.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em quy trình khảo sát cho hàm đa thức, nơi tập xác định luôn là $\mathbb{R}$ và không có tiệm cận (same-grade bridge). Bài này là lần đầu tiên trong khoá học tập xác định bị thu hẹp — vì mẫu số $cx+d$ không được bằng 0 — và bước tiệm cận trong sơ đồ khảo sát ở Bài 1 lần đầu thật sự cần dùng đến.

Khởi động

Một chiếc máy tính bỏ túi báo lỗi khi em nhập $x=1$ vào công thức $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ , nhưng chấp nhận mọi giá trị $x$ khác. Điều gì xảy ra với đồ thị hàm số tại đúng vị trí $x=1$ đó?

Một chiếc máy tính bỏ túi báo lỗi khi em nhập $x=1$ vào công thức $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$, nhưng chấp nhận mọi giá trị $x$ khác. Điều gì xảy ra với đồ thị hàm số tại đúng vị trí $x=1$ đó?

Kiến thức trọng tâm

Với $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq 0$ , và $ad-bc\neq 0$ để hàm không suy biến thành hằng số), tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ — loại đúng giá trị làm mẫu bằng 0. Đường thẳng đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ là tiệm cận đứng: khi $x$ tiến tới giá trị này, mẫu tiến về 0 còn tử tiến về một số khác 0, nên $|y|\to+\infty$ . Khi $x\to\pm\infty$ , chia cả tử và mẫu cho $x$ ta được $y\to\dfrac{a}{c}$ — đây chính là tiệm cận ngang, tỉ số hai hệ số bậc cao nhất.

Với $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0$, và $ad-bc\neq 0$ để hàm không suy biến thành hằng số), tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ — loại đúng giá trị làm mẫu bằng 0. Đường thẳng đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ là tiệm cận đứng: khi $x$ tiến tới giá trị này, mẫu tiến về 0 còn tử tiến về một số khác 0, nên $|y|\to+\infty$. Khi $x\to\pm\infty$, chia cả tử và mẫu cho $x$ ta được $y\to\dfrac{a}{c}$ — đây chính là tiệm cận ngang, tỉ số hai hệ số bậc cao nhất.

Đạo hàm của hàm này luôn có dạng $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ . Vì mẫu $(cx+d)^2$ luôn dương trên tập xác định, dấu của $y'$ chỉ phụ thuộc dấu của $ad-bc$ — một hằng số, không đổi dấu theo $x$ . Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với hai bài trước: hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến trên toàn tập xác định (nếu $ad-bc>0$ ) hoặc luôn nghịch biến trên toàn tập xác định (nếu $ad-bc<0$ ) — không bao giờ đổi chiều, nên không bao giờ có cực trị. "Đồng biến trên toàn tập xác định" ở đây nghĩa là đồng biến trên từng khoảng của tập xác định riêng biệt, chứ không phải trên cả $\mathbb{R}$ liền mạch — hai nhánh hai bên tiệm cận đứng không nối được với nhau.

Đạo hàm của hàm này luôn có dạng $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Vì mẫu $(cx+d)^2$ luôn dương trên tập xác định, dấu của $y'$ chỉ phụ thuộc dấu của $ad-bc$ — một hằng số, không đổi dấu theo $x$. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với hai bài trước: hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến trên toàn tập xác định (nếu $ad-bc>0$) hoặc luôn nghịch biến trên toàn tập xác định (nếu $ad-bc<0$) — không bao giờ đổi chiều, nên không bao giờ có cực trị. "Đồng biến trên toàn tập xác định" ở đây nghĩa là đồng biến trên từng khoảng của tập xác định riêng biệt, chứ không phải trên cả $\mathbb{R}$ liền mạch — hai nhánh hai bên tiệm cận đứng không nối được với nhau.

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn có tâm đối xứng chính là giao điểm hai đường tiệm cận — điểm $\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)$ . Tính chất này không bắt buộc phải chứng minh lại mỗi lần, nhưng giúp em kiểm tra nhanh hình vẽ: nếu hai nhánh không đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận, chắc chắn đã vẽ sai.

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn có tâm đối xứng chính là giao điểm hai đường tiệm cận — điểm $\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)$. Tính chất này không bắt buộc phải chứng minh lại mỗi lần, nhưng giúp em kiểm tra nhanh hình vẽ: nếu hai nhánh không đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận, chắc chắn đã vẽ sai.

Điều kiện $ad-bc\neq 0$ nêu ở trên không phải chi tiết kỹ thuật có thể bỏ qua: nếu $ad-bc=0$ , hai hệ số $a,b$ và $c,d$ tỉ lệ với nhau, và biểu thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ rút gọn thành một hằng số không đổi trên toàn tập xác định — chẳng hạn $y=\dfrac{2x+4}{x+2}=\dfrac{2(x+2)}{x+2}=2$ với mọi $x\neq -2$ . Đồ thị khi đó chỉ là một đường thẳng nằm ngang bị khuyết một điểm, không còn là một hyperbol với hai nhánh và hai tiệm cận như các ví dụ ở bài này. Vì vậy, trước khi khảo sát, luôn kiểm tra nhanh $ad-bc\neq 0$ để chắc chắn đang làm việc với đúng dạng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thật sự — bước kiểm tra này chỉ mất vài giây nhưng tránh được sai lầm nghiêm trọng là khảo sát nhầm một đường thẳng như thể nó là một hyperbol.

Điều kiện $ad-bc\neq 0$ nêu ở trên không phải chi tiết kỹ thuật có thể bỏ qua: nếu $ad-bc=0$, hai hệ số $a,b$ và $c,d$ tỉ lệ với nhau, và biểu thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ rút gọn thành một hằng số không đổi trên toàn tập xác định — chẳng hạn $y=\dfrac{2x+4}{x+2}=\dfrac{2(x+2)}{x+2}=2$ với mọi $x\neq -2$. Đồ thị khi đó chỉ là một đường thẳng nằm ngang bị khuyết một điểm, không còn là một hyperbol với hai nhánh và hai tiệm cận như các ví dụ ở bài này. Vì vậy, trước khi khảo sát, luôn kiểm tra nhanh $ad-bc\neq 0$ để chắc chắn đang làm việc với đúng dạng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thật sự — bước kiểm tra này chỉ mất vài giây nhưng tránh được sai lầm nghiêm trọng là khảo sát nhầm một đường thẳng như thể nó là một hyperbol.

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$

1
Mẫu số bằng 0 khi $x=1$ , vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .
Mẫu số bằng 0 khi $x=1$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
2
Ta có $y'=\dfrac{2\cdot(-1)-1\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$ . Vì $(x-1)^2>0$ với mọi $x\neq 1$ , ta có $y'<0$ trên toàn tập xác định. Suy ra hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$ , không có cực trị.
Ta có $y'=\dfrac{2\cdot(-1)-1\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$. Vì $(x-1)^2>0$ với mọi $x\neq 1$, ta có $y'<0$ trên toàn tập xác định. Suy ra hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$, không có cực trị.
3
Khi $x\to 1$ , mẫu $x-1\to 0$ còn tử $2x+1\to 3\neq 0$ , nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$ , $y=\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\to 2$ , nên $y=2$ là tiệm cận ngang.
Khi $x\to 1$, mẫu $x-1\to 0$ còn tử $2x+1\to 3\neq 0$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$, $y=\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\to 2$, nên $y=2$ là tiệm cận ngang.
4
Giao Oy tại $x=0$ : $y=\dfrac{1}{-1}=-1$ , điểm $(0;-1)$ . Giao Ox khi $2x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}$ , điểm $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$ .
Giao Oy tại $x=0$: $y=\dfrac{1}{-1}=-1$, điểm $(0;-1)$. Giao Ox khi $2x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}$, điểm $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.
5
Ta có tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận $(1;2)$ . Điểm $(0;-1)$ và điểm đối xứng của nó qua $(1;2)$ là $(2;5)$ ; kiểm tra trực tiếp $y(2)=\dfrac{5}{1}=5$ — khớp đúng, xác nhận hình vẽ đối xứng qua tâm $(1;2)$ . Vậy đồ thị gồm hai nhánh nghịch biến, nhánh trái đi từ tiệm cận ngang $y=2$ xuống $-\infty$ khi tới gần $x=1$ , nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống tiệm cận ngang $y=2$ .
Ta có tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận $(1;2)$. Điểm $(0;-1)$ và điểm đối xứng của nó qua $(1;2)$ là $(2;5)$; kiểm tra trực tiếp $y(2)=\dfrac{5}{1}=5$ — khớp đúng, xác nhận hình vẽ đối xứng qua tâm $(1;2)$. Vậy đồ thị gồm hai nhánh nghịch biến, nhánh trái đi từ tiệm cận ngang $y=2$ xuống $-\infty$ khi tới gần $x=1$, nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống tiệm cận ngang $y=2$.

y=(2x+1)/(x-1): nghịch biến trên từng khoảng xác định; tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 vẽ nét đứt

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=\dfrac{x-3}{x+1}

(trường hợp đồng biến)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-3}{x+1}$ (trường hợp đồng biến)

1
Mẫu số bằng 0 khi $x=-1$ , vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .
Mẫu số bằng 0 khi $x=-1$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
2
Ta có $y'=\dfrac{1\cdot 1-(-3)\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{4}{(x+1)^2}$ . Vì $(x+1)^2>0$ với mọi $x\neq -1$ , $y'>0$ trên toàn tập xác định — trái ngược với ví dụ trước. Hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$ .
Ta có $y'=\dfrac{1\cdot 1-(-3)\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{4}{(x+1)^2}$. Vì $(x+1)^2>0$ với mọi $x\neq -1$, $y'>0$ trên toàn tập xác định — trái ngược với ví dụ trước. Hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$.
3
$x=-1$ là tiệm cận đứng (mẫu triệt tiêu, tử $x-3\to -4\neq 0$ khi $x\to -1$ ). Khi $x\to\pm\infty$ , $y\to 1$ (tỉ số hệ số bậc nhất trên tử và mẫu), nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
$x=-1$ là tiệm cận đứng (mẫu triệt tiêu, tử $x-3\to -4\neq 0$ khi $x\to -1$). Khi $x\to\pm\infty$, $y\to 1$ (tỉ số hệ số bậc nhất trên tử và mẫu), nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
4
Giao Oy tại $x=0$ : $y=\dfrac{-3}{1}=-3$ . Giao Ox khi $x-3=0 \iff x=3$ , điểm $(3;0)$ .
Giao Oy tại $x=0$: $y=\dfrac{-3}{1}=-3$. Giao Ox khi $x-3=0 \iff x=3$, điểm $(3;0)$.
5
Tâm đối xứng là $(-1;1)$ . Điểm $(3;0)$ đối xứng qua $(-1;1)$ cho điểm $(-5;2)$ ; kiểm tra $y(-5)=\dfrac{-8}{-4}=2$ — khớp đúng. Vậy đồ thị gồm hai nhánh đồng biến, mỗi nhánh đi từ tiệm cận đứng $x=-1$ tới tiệm cận ngang $y=1$ mà không bao giờ chạm hai đường này.
Tâm đối xứng là $(-1;1)$. Điểm $(3;0)$ đối xứng qua $(-1;1)$ cho điểm $(-5;2)$; kiểm tra $y(-5)=\dfrac{-8}{-4}=2$ — khớp đúng. Vậy đồ thị gồm hai nhánh đồng biến, mỗi nhánh đi từ tiệm cận đứng $x=-1$ tới tiệm cận ngang $y=1$ mà không bao giờ chạm hai đường này.

y=(x-3)/(x+1): đồng biến trên từng khoảng xác định — trái chiều với ví dụ trước; tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=1

Trong đề trắc nghiệm, câu hỏi thường không yêu cầu vẽ trọn vẹn đồ thị mà chỉ hỏi riêng một tiệm cận — khi đó em không cần lập bảng biến thiên hay tìm điểm đặc biệt, chỉ cần đọc thẳng hai hệ số. Tiệm cận đứng luôn là nghiệm của mẫu số $cx+d=0$ , tức $x=-\dfrac{d}{c}$ ; tiệm cận ngang luôn là tỉ số hai hệ số bậc nhất, $y=\dfrac{a}{c}$ — không cần tính giới hạn từng bước như lúc học lý thuyết, vì kết quả giới hạn luôn rút gọn về đúng công thức này. Đây là cách làm nhanh, tiết kiệm thời gian đáng kể cho dạng hỏi riêng lẻ về tiệm cận.

Trong đề trắc nghiệm, câu hỏi thường không yêu cầu vẽ trọn vẹn đồ thị mà chỉ hỏi riêng một tiệm cận — khi đó em không cần lập bảng biến thiên hay tìm điểm đặc biệt, chỉ cần đọc thẳng hai hệ số. Tiệm cận đứng luôn là nghiệm của mẫu số $cx+d=0$, tức $x=-\dfrac{d}{c}$; tiệm cận ngang luôn là tỉ số hai hệ số bậc nhất, $y=\dfrac{a}{c}$ — không cần tính giới hạn từng bước như lúc học lý thuyết, vì kết quả giới hạn luôn rút gọn về đúng công thức này. Đây là cách làm nhanh, tiết kiệm thời gian đáng kể cho dạng hỏi riêng lẻ về tiệm cận.

Ví dụ

Xác định nhanh hai tiệm cận của

y=\dfrac{3x+2}{2x-1}

(dạng hỏi rút gọn)Xác định nhanh hai tiệm cận của $y=\dfrac{3x+2}{2x-1}$ (dạng hỏi rút gọn)

1
Không cần khảo sát đầy đủ, hãy xác định ngay hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+2}{2x-1}$ .
Không cần khảo sát đầy đủ, hãy xác định ngay hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+2}{2x-1}$.
2
Mẫu số $2x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{2}$ , vậy $x=\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.
Mẫu số $2x-1=0 \iff x=\dfrac{1}{2}$, vậy $x=\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.
3
Tỉ số hai hệ số bậc nhất của tử và mẫu là $\dfrac{3}{2}$ , vậy $y=\dfrac{3}{2}$ là tiệm cận ngang.
Tỉ số hai hệ số bậc nhất của tử và mẫu là $\dfrac{3}{2}$, vậy $y=\dfrac{3}{2}$ là tiệm cận ngang.
4
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=\dfrac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\dfrac{3}{2}$ , đọc trực tiếp từ hệ số mà không cần thêm phép tính giới hạn nào.
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=\dfrac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\dfrac{3}{2}$, đọc trực tiếp từ hệ số mà không cần thêm phép tính giới hạn nào.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên loại điểm làm mẫu bằng 0 khỏi tập xác định rồi vẫn tính $y$ tại đó. Sai lầm thứ hai là vẽ đồ thị thành MỘT đường cong liền mạch băng qua tiệm cận đứng — đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn gồm HAI nhánh tách rời, không bao giờ cắt hay chạm tiệm cận đứng. Sai lầm thứ ba là quên rằng dấu của $y'$ ở đây là một hằng số không đổi theo $x$ , nên chỉ cần tính $ad-bc$ một lần duy nhất, không cần lập bảng xét dấu như hàm bậc ba.

Sai lầm phổ biến nhất là quên loại điểm làm mẫu bằng 0 khỏi tập xác định rồi vẫn tính $y$ tại đó. Sai lầm thứ hai là vẽ đồ thị thành MỘT đường cong liền mạch băng qua tiệm cận đứng — đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn gồm HAI nhánh tách rời, không bao giờ cắt hay chạm tiệm cận đứng. Sai lầm thứ ba là quên rằng dấu của $y'$ ở đây là một hằng số không đổi theo $x$, nên chỉ cần tính $ad-bc$ một lần duy nhất, không cần lập bảng xét dấu như hàm bậc ba.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ : tập xác định loại điểm $x=-\dfrac{d}{c}$ ; tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ , tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$ ; $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ không đổi dấu nên hàm luôn đơn điệu, không có cực trị, đồ thị gồm hai nhánh đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận.

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$: tập xác định loại điểm $x=-\dfrac{d}{c}$; tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$, tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$; $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ không đổi dấu nên hàm luôn đơn điệu, không có cực trị, đồ thị gồm hai nhánh đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận.

Ba dạng hàm em vừa khảo sát — bậc ba, trùng phương, phân thức — là toàn bộ các hàm số được vẽ đồ thị trọn vẹn trong chương trình lớp 12. Chương tiếp theo đổi hướng: thay vì khảo sát từ công thức để vẽ ra hình, em sẽ làm ngược lại — nhìn một đồ thị đã vẽ sẵn và đọc ra các thông tin về công thức, dấu hệ số, số điểm cực trị.