Bài học

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em khảo sát và vẽ được đồ thị hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ ( $a\neq 0$ ), và đặc biệt là xác định đúng số điểm cực trị (một hoặc ba) chỉ từ dấu của hai hệ số $a$ và $b$ , trước khi tính toán chi tiết.

Sau bài này, em khảo sát và vẽ được đồ thị hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ ($a\neq 0$), và đặc biệt là xác định đúng số điểm cực trị (một hoặc ba) chỉ từ dấu của hai hệ số $a$ và $b$, trước khi tính toán chi tiết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em quy trình khảo sát đầy đủ và cách hàm bậc ba có tối đa hai cực trị vì $y'$ là tam thức bậc hai (same-grade bridge). Với hàm trùng phương, $y'$ là một biểu thức bậc ba nhưng luôn phân tích được thành nhân tử $x$ nhân với một tam thức theo $x^2$ — điều này khiến số nghiệm của $y'=0$ dễ đọc hơn nhiều so với một hàm bậc ba tổng quát.

Khởi động

Quan sát hai đồ thị: một cái có hình chữ W với hai đáy và một đỉnh ở giữa, cái kia có hình chữ U chỉ với một đáy duy nhất — cả hai đều là đồ thị hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ . Điều gì trong công thức quyết định đồ thị có một hay ba điểm cực trị?

Quan sát hai đồ thị: một cái có hình chữ W với hai đáy và một đỉnh ở giữa, cái kia có hình chữ U chỉ với một đáy duy nhất — cả hai đều là đồ thị hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$. Điều gì trong công thức quyết định đồ thị có một hay ba điểm cực trị?

Kiến thức trọng tâm

Với $y=ax^4+bx^2+c$ , ta có $y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$ . Phương trình $y'=0$ luôn có nghiệm $x=0$ ; nghiệm còn lại phụ thuộc phương trình $2ax^2+b=0 \iff x^2=-\dfrac{b}{2a}$ . Phương trình này có thêm hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi $-\dfrac{b}{2a}>0$ , tức là $a$ và $b$ trái dấu ( $ab<0$ ). Khi đó $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, hàm có ba điểm cực trị — đồ thị dạng chữ W (nếu $a>0$ ) hoặc chữ M (nếu $a<0$ ). Khi $ab\geq 0$ (cùng dấu hoặc $b=0$ ), phương trình $2ax^2+b=0$ vô nghiệm hoặc chỉ cho lại $x=0$ , nên $y'=0$ chỉ có nghiệm $x=0$ và hàm chỉ có đúng một điểm cực trị — đồ thị dạng chữ U (nếu $a>0$ ) hoặc hình úp ngược (nếu $a<0$ ).

Với $y=ax^4+bx^2+c$, ta có $y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$. Phương trình $y'=0$ luôn có nghiệm $x=0$; nghiệm còn lại phụ thuộc phương trình $2ax^2+b=0 \iff x^2=-\dfrac{b}{2a}$. Phương trình này có thêm hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi $-\dfrac{b}{2a}>0$, tức là $a$ và $b$ trái dấu ($ab<0$). Khi đó $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, hàm có ba điểm cực trị — đồ thị dạng chữ W (nếu $a>0$) hoặc chữ M (nếu $a<0$). Khi $ab\geq 0$ (cùng dấu hoặc $b=0$), phương trình $2ax^2+b=0$ vô nghiệm hoặc chỉ cho lại $x=0$, nên $y'=0$ chỉ có nghiệm $x=0$ và hàm chỉ có đúng một điểm cực trị — đồ thị dạng chữ U (nếu $a>0$) hoặc hình úp ngược (nếu $a<0$).

Vì $y'$ chỉ đổi dấu qua nghiệm bội lẻ, quy tắc xét dấu vẫn dùng đúng cách đã học ở bài trước, chỉ khác là ta có ba mốc ( $-x_0,0,x_0$ ) thay vì hai. Một tính chất phụ hữu ích: hàm trùng phương luôn là hàm chẵn, vì thay $x$ bằng $-x$ không đổi giá trị $y$ (chỉ có luỹ thừa chẵn của $x$ ). Do đó đồ thị luôn đối xứng qua trục $Oy$ — em chỉ cần khảo sát kỹ nửa bên phải ( $x\geq 0$ ) rồi lấy đối xứng để có nửa còn lại, giúp việc lập bảng biến thiên và vẽ hình nhanh hơn.

Vì $y'$ chỉ đổi dấu qua nghiệm bội lẻ, quy tắc xét dấu vẫn dùng đúng cách đã học ở bài trước, chỉ khác là ta có ba mốc ($-x_0,0,x_0$) thay vì hai. Một tính chất phụ hữu ích: hàm trùng phương luôn là hàm chẵn, vì thay $x$ bằng $-x$ không đổi giá trị $y$ (chỉ có luỹ thừa chẵn của $x$). Do đó đồ thị luôn đối xứng qua trục $Oy$ — em chỉ cần khảo sát kỹ nửa bên phải ($x\geq 0$) rồi lấy đối xứng để có nửa còn lại, giúp việc lập bảng biến thiên và vẽ hình nhanh hơn.

Tương tự hàm bậc ba, hàm trùng phương không có tiệm cận vì tập xác định là $\mathbb{R}$ và giới hạn tại $\pm\infty$ đều là $+\infty$ hoặc $-\infty$ tuỳ dấu $a$ — nhưng khác với bậc ba, hai giới hạn ở $-\infty$ và $+\infty$ của hàm trùng phương luôn cùng dấu (đều $+\infty$ nếu $a>0$ , đều $-\infty$ nếu $a<0$ ), một hệ quả trực tiếp của tính chẵn.

Tương tự hàm bậc ba, hàm trùng phương không có tiệm cận vì tập xác định là $\mathbb{R}$ và giới hạn tại $\pm\infty$ đều là $+\infty$ hoặc $-\infty$ tuỳ dấu $a$ — nhưng khác với bậc ba, hai giới hạn ở $-\infty$ và $+\infty$ của hàm trùng phương luôn cùng dấu (đều $+\infty$ nếu $a>0$, đều $-\infty$ nếu $a<0$), một hệ quả trực tiếp của tính chẵn.

Ngoài cách lập bảng xét dấu $y'$ , em có thể kiểm tra loại cực trị bằng đạo hàm cấp hai đã học ở Course 1: tại điểm tới hạn $x_0$ , nếu $y''(x_0)>0$ thì đó là cực tiểu, nếu $y''(x_0)<0$ thì đó là cực đại. Với hàm trùng phương, $y''=12ax^2+2b$ — một biểu thức bậc hai đơn giản, thay trực tiếp từng nghiệm vào là có kết quả ngay, không cần lập cả bảng dấu nếu chỉ cần phân loại nhanh một vài điểm. Hai cách cho cùng một kết quả; dùng cách nào tuỳ tình huống, miễn là nhất quán trong lời giải.

Ngoài cách lập bảng xét dấu $y'$, em có thể kiểm tra loại cực trị bằng đạo hàm cấp hai đã học ở Course 1: tại điểm tới hạn $x_0$, nếu $y''(x_0)>0$ thì đó là cực tiểu, nếu $y''(x_0)<0$ thì đó là cực đại. Với hàm trùng phương, $y''=12ax^2+2b$ — một biểu thức bậc hai đơn giản, thay trực tiếp từng nghiệm vào là có kết quả ngay, không cần lập cả bảng dấu nếu chỉ cần phân loại nhanh một vài điểm. Hai cách cho cùng một kết quả; dùng cách nào tuỳ tình huống, miễn là nhất quán trong lời giải.

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=x^4-2x^2+1

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+1$

1
Ta có $D=\mathbb{R}$ . Đây là hàm chẵn vì chỉ chứa luỹ thừa chẵn của $x$ .
Ta có $D=\mathbb{R}$. Đây là hàm chẵn vì chỉ chứa luỹ thừa chẵn của $x$.
2
Xét $y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ . Ta có $y'=0 \iff x\in\{-1;0;1\}$ . Ở đây $a=1,\,b=-2$ nên $ab=-2<0$ , dự đoán ba điểm cực trị đúng như lý thuyết. Lập dấu: $y'<0$ trên $(-\infty;-1)$ , $y'>0$ trên $(-1;0)$ , $y'<0$ trên $(0;1)$ , $y'>0$ trên $(1;+\infty)$ .
Xét $y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. Ta có $y'=0 \iff x\in\{-1;0;1\}$. Ở đây $a=1,\,b=-2$ nên $ab=-2<0$, dự đoán ba điểm cực trị đúng như lý thuyết. Lập dấu: $y'<0$ trên $(-\infty;-1)$, $y'>0$ trên $(-1;0)$, $y'<0$ trên $(0;1)$, $y'>0$ trên $(1;+\infty)$.
3
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$ , đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$ . Cực tiểu tại $x=\pm1$ với $y_{CT}=1-2+1=0$ ; cực đại tại $x=0$ với $y_{CD}=1$ .
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Cực tiểu tại $x=\pm1$ với $y_{CT}=1-2+1=0$; cực đại tại $x=0$ với $y_{CD}=1$.
4
Vì $a=1>0$ : $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$ .
Vì $a=1>0$: $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$.
5
Ta có $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geq 0$ với mọi $x$ , nên đồ thị không bao giờ nằm dưới trục hoành và chỉ chạm Ox tại $x=\pm1$ — đúng bằng hai điểm cực tiểu vừa tìm, không phải giao cắt qua.
Ta có $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geq 0$ với mọi $x$, nên đồ thị không bao giờ nằm dưới trục hoành và chỉ chạm Ox tại $x=\pm1$ — đúng bằng hai điểm cực tiểu vừa tìm, không phải giao cắt qua.
6
Giá trị nhỏ nhất trên toàn $\mathbb{R}$ bằng 0, đạt tại hai điểm $x=\pm1$ — khớp với dạng bình phương $(x^2-1)^2\geq 0$ vừa viết ở bước trên. Vậy đồ thị có dạng chữ W: đi xuống, chạm Ox tại $(-1;0)$ , đi lên tới đỉnh $(0;1)$ , đi xuống chạm Ox tại $(1;0)$ , rồi đi lên — đối xứng hoàn toàn qua trục Oy.
Giá trị nhỏ nhất trên toàn $\mathbb{R}$ bằng 0, đạt tại hai điểm $x=\pm1$ — khớp với dạng bình phương $(x^2-1)^2\geq 0$ vừa viết ở bước trên. Vậy đồ thị có dạng chữ W: đi xuống, chạm Ox tại $(-1;0)$, đi lên tới đỉnh $(0;1)$, đi xuống chạm Ox tại $(1;0)$, rồi đi lên — đối xứng hoàn toàn qua trục Oy.

Trường hợp ab<0 (a=1, b=-2): ba điểm cực trị, dạng chữ W

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=x^4+2x^2-1

(trường hợp một cực trị)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^4+2x^2-1$ (trường hợp một cực trị)

1
Ta có $D=\mathbb{R}$ , hàm chẵn.
Ta có $D=\mathbb{R}$, hàm chẵn.
2
Xét $y'=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ . Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$ , $y'=0 \iff x=0$ — chỉ một nghiệm. Ở đây $a=1,\,b=2$ nên $ab=2>0$ , đúng như lý thuyết dự đoán chỉ một điểm cực trị. Ta có $y'<0$ trên $(-\infty;0)$ và $y'>0$ trên $(0;+\infty)$ .
Xét $y'=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, $y'=0 \iff x=0$ — chỉ một nghiệm. Ở đây $a=1,\,b=2$ nên $ab=2>0$, đúng như lý thuyết dự đoán chỉ một điểm cực trị. Ta có $y'<0$ trên $(-\infty;0)$ và $y'>0$ trên $(0;+\infty)$.
3
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$ , đồng biến trên $(0;+\infty)$ . Cực tiểu duy nhất tại $x=0$ với $y_{CT}=-1$ .
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$. Cực tiểu duy nhất tại $x=0$ với $y_{CT}=-1$.
4
Vì $a=1>0$ : $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$ .
Vì $a=1>0$: $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$.
5
Giao Oy tại $(0;-1)$ , trùng với điểm cực tiểu. Xét $x^4+2x^2-1=0$ : đặt $t=x^2\geq 0$ , phương trình trở thành $t^2+2t-1=0$ , có $\Delta'=1+1=2>0$ nên $t=-1\pm\sqrt{2}$ . Vì $t\geq 0$ nên chỉ nhận $t=\sqrt{2}-1>0$ , cho $x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$ — đồ thị cắt Ox tại đúng hai điểm phân biệt, đối xứng qua Oy.
Giao Oy tại $(0;-1)$, trùng với điểm cực tiểu. Xét $x^4+2x^2-1=0$: đặt $t=x^2\geq 0$, phương trình trở thành $t^2+2t-1=0$, có $\Delta'=1+1=2>0$ nên $t=-1\pm\sqrt{2}$. Vì $t\geq 0$ nên chỉ nhận $t=\sqrt{2}-1>0$, cho $x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$ — đồ thị cắt Ox tại đúng hai điểm phân biệt, đối xứng qua Oy.
6
Ta có cực tiểu $y_{CT}=-1<0$ và $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty>0$ , nên hàm phải đổi dấu đúng một lần ở mỗi phía của trục đối xứng — khớp với hai nghiệm vừa tìm. Vậy đồ thị có dạng chữ U: đi xuống từ $+\infty$ , chạm đáy tại $(0;-1)$ , rồi đi lên $+\infty$ , không có đỉnh phụ nào khác.
Ta có cực tiểu $y_{CT}=-1<0$ và $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty>0$, nên hàm phải đổi dấu đúng một lần ở mỗi phía của trục đối xứng — khớp với hai nghiệm vừa tìm. Vậy đồ thị có dạng chữ U: đi xuống từ $+\infty$, chạm đáy tại $(0;-1)$, rồi đi lên $+\infty$, không có đỉnh phụ nào khác.

Trường hợp ab≥0 (a=1, b=2): đúng một điểm cực trị, dạng chữ U

Điều kiện $ab<0$ vừa học trả lời trực tiếp cả những câu hỏi có tham số kiểu "tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị" — dạng bài rất hay gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì nó kiểm tra đúng năng lực suy luận từ điều kiện dấu, không phải chỉ đếm cực trị của một hàm số cụ thể đã cho sẵn hệ số.

Ví dụ

Tìm

m

để hàm số

y=x^4-2mx^2+1

có ba điểm cực trịTìm $m$ để hàm số $y=x^4-2mx^2+1$ có ba điểm cực trị

1
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^4-2mx^2+1$ có đúng ba điểm cực trị.
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^4-2mx^2+1$ có đúng ba điểm cực trị.
2
Ta có $a=1$ , $b=-2m$ . Theo điều kiện vừa học, hàm có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ab<0$ , tức $1\cdot(-2m)<0 \iff -2m<0 \iff m>0$ .
Ta có $a=1$, $b=-2m$. Theo điều kiện vừa học, hàm có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ab<0$, tức $1\cdot(-2m)<0 \iff -2m<0 \iff m>0$.
3
Ta có $y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$ . Nếu $m>0$ , phương trình $x^2=m$ cho hai nghiệm $x=\pm\sqrt{m}$ khác 0, cộng với nghiệm $x=0$ ta được ba nghiệm phân biệt — khớp với điều kiện vừa suy ra. Nếu $m\leq 0$ , $x^2=m$ vô nghiệm (khi $m<0$ ) hoặc trùng nghiệm $x=0$ (khi $m=0$ ), nên $y'=0$ chỉ còn một nghiệm.
Ta có $y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$. Nếu $m>0$, phương trình $x^2=m$ cho hai nghiệm $x=\pm\sqrt{m}$ khác 0, cộng với nghiệm $x=0$ ta được ba nghiệm phân biệt — khớp với điều kiện vừa suy ra. Nếu $m\leq 0$, $x^2=m$ vô nghiệm (khi $m<0$) hoặc trùng nghiệm $x=0$ (khi $m=0$), nên $y'=0$ chỉ còn một nghiệm.
4
Vậy điều kiện cần tìm là $m>0$ .
Vậy điều kiện cần tìm là $m>0$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là quên xét dấu tích $ab$ trước khi giải $y'=0$ , dẫn đến bỏ sót nghiệm khi $ab<0$ hoặc mất công tìm nghiệm ảo khi $ab\geq 0$ . Một sai lầm khác là quên rằng hàm trùng phương luôn đối xứng qua $Oy$ nên hai giá trị cực tiểu ở hai bên (khi có ba cực trị) luôn bằng nhau — nếu tính ra hai giá trị khác nhau, chắc chắn có lỗi tính toán.

Sai lầm phổ biến là quên xét dấu tích $ab$ trước khi giải $y'=0$, dẫn đến bỏ sót nghiệm khi $ab<0$ hoặc mất công tìm nghiệm ảo khi $ab\geq 0$. Một sai lầm khác là quên rằng hàm trùng phương luôn đối xứng qua $Oy$ nên hai giá trị cực tiểu ở hai bên (khi có ba cực trị) luôn bằng nhau — nếu tính ra hai giá trị khác nhau, chắc chắn có lỗi tính toán.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ : luôn là hàm chẵn, đối xứng qua Oy, không có tiệm cận. Có ba điểm cực trị khi $ab<0$ (dạng W nếu $a>0$ , dạng M nếu $a<0$ ); có đúng một điểm cực trị khi $ab\geq 0$ (dạng U nếu $a>0$ , úp ngược nếu $a<0$ ).

Hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$: luôn là hàm chẵn, đối xứng qua Oy, không có tiệm cận. Có ba điểm cực trị khi $ab<0$ (dạng W nếu $a>0$, dạng M nếu $a<0$); có đúng một điểm cực trị khi $ab\geq 0$ (dạng U nếu $a>0$, úp ngược nếu $a<0$).

Cả hai họ hàm em vừa học — bậc ba và trùng phương — đều không có tiệm cận, và cả hai đều là đa thức nên tập xác định luôn là $\mathbb{R}$ , không cần lo điều kiện loại nghiệm. Bài tiếp theo giới thiệu họ hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, nơi tiệm cận lần đầu xuất hiện trong khoá học này và trở thành một bước bắt buộc trong quy trình khảo sát, đồng thời tập xác định lần đầu tiên bị thu hẹp lại vì có mẫu số.

Cả hai họ hàm em vừa học — bậc ba và trùng phương — đều không có tiệm cận, và cả hai đều là đa thức nên tập xác định luôn là $\mathbb{R}$, không cần lo điều kiện loại nghiệm. Bài tiếp theo giới thiệu họ hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, nơi tiệm cận lần đầu xuất hiện trong khoá học này và trở thành một bước bắt buộc trong quy trình khảo sát, đồng thời tập xác định lần đầu tiên bị thu hẹp lại vì có mẫu số.