Bài học

Ôn tập: khảo sát và đọc đồ thị hàm đa thức

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không dạy kỹ thuật mới — em ôn lại trọn vẹn quy trình khảo sát hàm bậc ba, hàm trùng phương và kỹ năng đọc đồ thị đã học ở bốn bài trước, áp dụng vào hai hàm số hoàn toàn mới để tự kiểm tra mức độ thành thạo trước khi sang chương tương giao.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ nội dung bài này dùng lại nguyên vẹn sơ đồ sáu bước khảo sát và các dấu hiệu đọc đồ thị đã học ở bốn bài trước của khoá — không có công thức hay kỹ thuật nào mới xuất hiện (same-grade bridge, ôn tập thuần tuý). Việc luyện lại trên hàm số mới, thay vì lặp lại đúng những số liệu đã quen mắt, mới thật sự kiểm tra được em đã hiểu quy trình hay chỉ nhớ đáp số cũ.

Khởi động

Hai hàm số $y=x^3+3x^2-4$ và $y=x^4-5x^2+4$ chưa từng xuất hiện ở bài nào trước đây. Em có tự tin khảo sát trọn vẹn cả hai mà không cần xem lại lý thuyết không?

Khi gặp một đề tổng hợp không nói rõ dạng hàm, bước đầu tiên luôn là nhận diện họ hàm từ chính công thức: bậc cao nhất của $x$ là ba hay bốn, có mặt số hạng bậc lẻ hay chỉ toàn bậc chẵn, có mẫu số chứa biến hay không. Nhận diện đúng họ hàm quyết định toàn bộ chiến lược làm bài: bậc ba dùng bảng dấu tam thức $y'$ , trùng phương dùng dấu tích $ab$ , phân thức dùng công thức $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ có sẵn không cần tính lại từ đầu mỗi lần. Nhầm lẫn dạng hàm ngay từ bước đầu — ví dụ tưởng một hàm trùng phương là hàm bậc ba vì chỉ nhìn thấy số mũ 4 mà quên kiểm tra có số hạng bậc lẻ hay không — sẽ kéo theo sai toàn bộ các bước sau.

Khi gặp một đề tổng hợp không nói rõ dạng hàm, bước đầu tiên luôn là nhận diện họ hàm từ chính công thức: bậc cao nhất của $x$ là ba hay bốn, có mặt số hạng bậc lẻ hay chỉ toàn bậc chẵn, có mẫu số chứa biến hay không. Nhận diện đúng họ hàm quyết định toàn bộ chiến lược làm bài: bậc ba dùng bảng dấu tam thức $y'$, trùng phương dùng dấu tích $ab$, phân thức dùng công thức $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ có sẵn không cần tính lại từ đầu mỗi lần. Nhầm lẫn dạng hàm ngay từ bước đầu — ví dụ tưởng một hàm trùng phương là hàm bậc ba vì chỉ nhìn thấy số mũ 4 mà quên kiểm tra có số hạng bậc lẻ hay không — sẽ kéo theo sai toàn bộ các bước sau.

Ôn tập: khảo sát hàm bậc ba với nghiệm kép ở cực trị

Ví dụ dưới đây lặp lại đúng kiểu cấu trúc đã gặp ở Bài 1 của Chương 1 — nơi nghiệm kép của phương trình $f(x)=0$ trùng với một điểm cực trị — nhưng với một hàm số hoàn toàn khác, để em tự luyện lại toàn bộ quy trình mà không dựa vào trí nhớ về số liệu cũ.

Ví dụ

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị

y=x^3+3x^2-4

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị $y=x^3+3x^2-4$

1
$D=\mathbb{R}$ .
$D=\mathbb{R}$.
2
$y'=3x^2+6x=3x(x+2)$ . $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=-2$ . Vì hệ số bậc hai của $y'$ dương, $y'>0$ trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$ , $y'<0$ trên $(-2;0)$ .
$y'=3x^2+6x=3x(x+2)$. $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=-2$. Vì hệ số bậc hai của $y'$ dương, $y'>0$ trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$, $y'<0$ trên $(-2;0)$.
3
Đồng biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$ , nghịch biến trên $(-2;0)$ . Cực đại tại $x=-2$ : $y=-8+12-4=0$ . Cực tiểu tại $x=0$ : $y=-4$ .
Đồng biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$, nghịch biến trên $(-2;0)$. Cực đại tại $x=-2$: $y=-8+12-4=0$. Cực tiểu tại $x=0$: $y=-4$.
4
$a=1>0$ nên $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ .
$a=1>0$ nên $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
5
Giao Oy: $(0;-4)$ . Xét $x^3+3x^2-4=0$ : thử $x=1$ được $1+3-4=0$ . Chia đa thức: $x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$ . Nghiệm đơn $x=1$ , nghiệm kép $x=-2$ — trùng đúng với hoành độ điểm cực đại vừa tìm ( $y_{CD}=0$ tại $x=-2$ ).
Giao Oy: $(0;-4)$. Xét $x^3+3x^2-4=0$: thử $x=1$ được $1+3-4=0$. Chia đa thức: $x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$. Nghiệm đơn $x=1$, nghiệm kép $x=-2$ — trùng đúng với hoành độ điểm cực đại vừa tìm ($y_{CD}=0$ tại $x=-2$).
6
Nghiệm kép trùng cực đại có giá trị 0 là dấu hiệu đồ thị tiếp xúc trục hoành đúng tại điểm cực đại đó, giống cấu trúc đã gặp ở Bài 1 Chương 1 (khi đó là điểm cực đại tại $x=2$ của $y=-x^3+3x^2-4$ ). Vậy đồ thị đi lên từ $-\infty$ , chạm Ox tại điểm cực đại $(-2;0)$ , đi xuống tới cực tiểu $(0;-4)$ , rồi đi lên cắt Ox tại $(1;0)$ .
Nghiệm kép trùng cực đại có giá trị 0 là dấu hiệu đồ thị tiếp xúc trục hoành đúng tại điểm cực đại đó, giống cấu trúc đã gặp ở Bài 1 Chương 1 (khi đó là điểm cực đại tại $x=2$ của $y=-x^3+3x^2-4$). Vậy đồ thị đi lên từ $-\infty$, chạm Ox tại điểm cực đại $(-2;0)$, đi xuống tới cực tiểu $(0;-4)$, rồi đi lên cắt Ox tại $(1;0)$.

Ôn tập: y=x^3+3x^2-4, một hàm bậc ba mới với cùng cấu trúc nghiệm kép ở cực trị như Bài 1

Ôn tập: khảo sát hàm trùng phương với bốn nghiệm phân biệt

Ví dụ tiếp theo cho một tình huống trái ngược với ví dụ trùng phương đã học ở Chương 2: thay vì hai nghiệm kép tiếp xúc trục hoành, hàm này cắt qua trục hoành tại bốn điểm hoàn toàn phân biệt — một dịp tốt để ôn lại sự khác nhau giữa "tiếp xúc" và "cắt qua" đã học ở bài đọc đồ thị.

Ví dụ

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị

y=x^4-5x^2+4

Ôn tập: khảo sát và vẽ đồ thị $y=x^4-5x^2+4$

1
$D=\mathbb{R}$ , hàm chẵn.
$D=\mathbb{R}$, hàm chẵn.
2
$y'=4x^3-10x=2x(2x^2-5)$ . $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=\pm\sqrt{2{,}5}\approx\pm 1{,}58$ . Ở đây $a=1,\,b=-5$ , $ab=-5<0$ : ba điểm cực trị, đúng như quy tắc đã học.
$y'=4x^3-10x=2x(2x^2-5)$. $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=\pm\sqrt{2{,}5}\approx\pm 1{,}58$. Ở đây $a=1,\,b=-5$, $ab=-5<0$: ba điểm cực trị, đúng như quy tắc đã học.
3
Cực tiểu tại $x=\pm\sqrt{2{,}5}$ với $y=(2{,}5)^2-5(2{,}5)+4=6{,}25-12{,}5+4=-2{,}25$ . Cực đại tại $x=0$ với $y=4$ .
Cực tiểu tại $x=\pm\sqrt{2{,}5}$ với $y=(2{,}5)^2-5(2{,}5)+4=6{,}25-12{,}5+4=-2{,}25$. Cực đại tại $x=0$ với $y=4$.
4
$a=1>0$ nên $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$ .
$a=1>0$ nên $\lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty$.
5
Giao Oy: $(0;4)$ , trùng cực đại. Xét $x^4-5x^2+4=0$ : đặt $t=x^2\geq 0$ , được $t^2-5t+4=0 \iff (t-1)(t-4)=0 \iff t=1$ hoặc $t=4$ . Suy ra $x=\pm 1$ hoặc $x=\pm 2$ — bốn nghiệm phân biệt.
Giao Oy: $(0;4)$, trùng cực đại. Xét $x^4-5x^2+4=0$: đặt $t=x^2\geq 0$, được $t^2-5t+4=0 \iff (t-1)(t-4)=0 \iff t=1$ hoặc $t=4$. Suy ra $x=\pm 1$ hoặc $x=\pm 2$ — bốn nghiệm phân biệt.
6
Cực đại $y_{CD}=4>0$ và cực tiểu $y_{CT}=-2{,}25<0$ trái dấu, nên trên mỗi nửa (trái và phải trục đối xứng) hàm phải đổi dấu đúng hai lần — khớp với bốn nghiệm vừa tìm, khác hẳn ví dụ tiếp xúc kép ở Chương 2. Vậy đồ thị hình chữ W cắt Ox tại đúng bốn điểm: $-2,-1,1,2$ .
Cực đại $y_{CD}=4>0$ và cực tiểu $y_{CT}=-2{,}25<0$ trái dấu, nên trên mỗi nửa (trái và phải trục đối xứng) hàm phải đổi dấu đúng hai lần — khớp với bốn nghiệm vừa tìm, khác hẳn ví dụ tiếp xúc kép ở Chương 2. Vậy đồ thị hình chữ W cắt Ox tại đúng bốn điểm: $-2,-1,1,2$.

Ôn tập: y=x^4-5x^2+4 cắt Ox tại 4 điểm — khác hẳn ví dụ tiếp xúc ở Chương 2

Ví dụ

Ôn tập: đọc đồ thị

y=x^4-5x^2+4

mà không cần khảo sát lạiÔn tập: đọc đồ thị $y=x^4-5x^2+4$ mà không cần khảo sát lại

1
Nhìn đồ thị vừa vẽ ở trên (không dùng lại công thức), xác định: dấu hệ số $a$ , số điểm cực trị, và số nghiệm của $f(x)=0$ .
Nhìn đồ thị vừa vẽ ở trên (không dùng lại công thức), xác định: dấu hệ số $a$, số điểm cực trị, và số nghiệm của $f(x)=0$.
2
Cả hai nhánh ngoài cùng của đồ thị đi lên khi $x\to\pm\infty$ , nên $a>0$ .
Cả hai nhánh ngoài cùng của đồ thị đi lên khi $x\to\pm\infty$, nên $a>0$.
3
Đồ thị có hai đáy và một đỉnh ở giữa — ba điểm cực trị, dạng chữ W.
4
Đỉnh (cực đại) nằm trên trục hoành, hai đáy (cực tiểu) nằm dưới trục hoành — hai giá trị cực trị trái dấu ở mỗi nửa, nên đồ thị cắt trục hoành đúng hai lần trên mỗi nửa, tổng cộng bốn điểm phân biệt, khớp đúng bốn nghiệm đã tính ở ví dụ trên.

Tổng quát hoá cho mọi hàm trùng phương ba cực trị (dạng W hoặc M): số nghiệm thực của $f(x)=0$ cũng suy ra từ dấu hai giá trị cực trị, chỉ khác quy luật đếm so với bậc ba vì hình có hai đáy đối xứng thay vì một. Nếu cực đại và cực tiểu trái dấu như ví dụ trên, đồ thị cắt Ox bốn lần. Nếu cực đại bằng 0, đỉnh tiếp xúc Ox và mỗi đáy vẫn cắt thêm một lần — tổng ba nghiệm. Nếu cực tiểu bằng 0, cả hai đáy tiếp xúc Ox — đúng trường hợp $y=x^4-2x^2+1$ đã học ở Chương 2, chỉ hai nghiệm phân biệt. Nếu cực đại và cực tiểu cùng dấu dương, toàn bộ đồ thị nằm trên trục hoành và phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp

Khi ôn tập, sai lầm phổ biến nhất không phải là quên công thức mà là áp dụng máy móc kết quả của ví dụ cũ cho hàm số mới — chẳng hạn giả định mọi hàm trùng phương ba cực trị đều tiếp xúc Ox tại hai điểm như $y=x^4-2x^2+1$ , trong khi ví dụ vừa rồi cắt qua tại bốn điểm hoàn toàn khác. Luôn tính lại từ đầu cho từng hàm số cụ thể.

Khi ôn tập, sai lầm phổ biến nhất không phải là quên công thức mà là áp dụng máy móc kết quả của ví dụ cũ cho hàm số mới — chẳng hạn giả định mọi hàm trùng phương ba cực trị đều tiếp xúc Ox tại hai điểm như $y=x^4-2x^2+1$, trong khi ví dụ vừa rồi cắt qua tại bốn điểm hoàn toàn khác. Luôn tính lại từ đầu cho từng hàm số cụ thể.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ôn tập Chương 1–4: khảo sát hàm đa thức (bậc ba, trùng phương) không có tiệm cận; số cực trị của bậc ba tối đa hai, của trùng phương là một hoặc ba tuỳ dấu $ab$ ; đọc đồ thị dựa vào chiều đi lên/xuống, số cực trị, và so dấu giá trị cực trị để suy ra số nghiệm — luôn phân biệt tiếp xúc (nghiệm kép) với cắt qua (nghiệm đơn).

Ôn tập Chương 1–4: khảo sát hàm đa thức (bậc ba, trùng phương) không có tiệm cận; số cực trị của bậc ba tối đa hai, của trùng phương là một hoặc ba tuỳ dấu $ab$; đọc đồ thị dựa vào chiều đi lên/xuống, số cực trị, và so dấu giá trị cực trị để suy ra số nghiệm — luôn phân biệt tiếp xúc (nghiệm kép) với cắt qua (nghiệm đơn).

Nhìn lại hai ví dụ ôn tập vừa làm, điểm chung là cả hai đều tận dụng mối liên hệ giữa cực trị và nghiệm: một hàm bậc ba hoặc trùng phương không cần giải trực tiếp phương trình $f(x)=0$ nếu đã biết chính xác bảng biến thiên — chỉ cần so sánh dấu các giá trị cực trị. Đây là kỹ năng tiết kiệm thời gian quan trọng nhất khi làm bài thi trắc nghiệm hoặc đúng/sai có giới hạn thời gian, vì giải một phương trình bậc ba hoặc bậc bốn đầy đủ luôn tốn thời gian hơn nhiều so với chỉ so sánh hai con số.

Bài ôn tập cuối cùng của khoá chuyển sang hai nội dung còn lại: khảo sát hàm phân thức, nơi tiệm cận và tập xác định thu hẹp mới thật sự cần dùng, và bài toán tương giao, gồm cả trường hợp có tham số — khép lại toàn bộ nội dung Course 2 bằng một cặp đề luyện tập tổng hợp cuối cùng.