Bài học

Sự tương giao của hai đồ thị

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được toạ độ giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm, và biện luận được số giao điểm của một họ đồ thị có tham số với trục hoành dựa vào giá trị cực trị — một kỹ năng tổng hợp cả khảo sát lẫn đọc đồ thị.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước dạy em đọc số nghiệm của $f(x)=0$ từ một đồ thị có sẵn bằng cách so dấu hai giá trị cực trị (same-grade bridge). Bài này đặt câu hỏi tổng quát hơn: giao điểm của hai đồ thị bất kỳ, không chỉ với trục hoành $y=0$ , và trường hợp một trong hai đồ thị còn phụ thuộc tham số $m$ .

Bài trước dạy em đọc số nghiệm của $f(x)=0$ từ một đồ thị có sẵn bằng cách so dấu hai giá trị cực trị (same-grade bridge). Bài này đặt câu hỏi tổng quát hơn: giao điểm của hai đồ thị bất kỳ, không chỉ với trục hoành $y=0$, và trường hợp một trong hai đồ thị còn phụ thuộc tham số $m$.

Khởi động

Đồ thị $y=x^3-3x$ và đường thẳng $y=x$ được vẽ chồng lên nhau trên cùng một hệ trục. Nhìn bằng mắt, chúng cắt nhau tại ba điểm — nhưng làm sao tính được toạ độ chính xác của ba điểm đó mà không cần đo trên hình?

Kiến thức trọng tâm

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ — vì tại giao điểm, cả hai hàm phải cho cùng một giá trị $y$ ứng với cùng một $x$ . Giải phương trình này (thường bằng cách chuyển vế và nhân tử hoá) cho các hoành độ giao điểm; thay ngược lại vào $f(x)$ hoặc $g(x)$ để tìm tung độ tương ứng. Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đồ thị — không cần vẽ hình để đếm bằng mắt.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ — vì tại giao điểm, cả hai hàm phải cho cùng một giá trị $y$ ứng với cùng một $x$. Giải phương trình này (thường bằng cách chuyển vế và nhân tử hoá) cho các hoành độ giao điểm; thay ngược lại vào $f(x)$ hoặc $g(x)$ để tìm tung độ tương ứng. Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đồ thị — không cần vẽ hình để đếm bằng mắt.

Khi một trong hai đồ thị chứa tham số $m$ , phương trình hoành độ giao điểm trở thành một phương trình có tham số. Với hàm bậc ba $y=x^3-3x+m$ giao với trục hoành ( $y=0$ ), phương trình hoành độ giao điểm là $x^3-3x+m=0$ , tức $x^3-3x=-m$ . Đây chính là dạng "tách tham số": đặt $g(x)=x^3-3x$ , phương trình trở thành $g(x)=-m$ — số nghiệm bằng số lần đường thẳng ngang $y=-m$ cắt đồ thị $y=g(x)$ . Vì $g$ có cực đại $g(-1)=-1+3=2$ và cực tiểu $g(1)=1-3=-2$ , đường ngang $y=-m$ cắt $g$ ba lần khi nằm giữa hai giá trị này ( $-2<-m<2$ , tức $-2<m<2$ ), cắt một lần khi nằm ngoài ( $-m<-2$ hoặc $-m>2$ , tức $m>2$ hoặc $m<-2$ ), và cắt hai lần (một điểm kép) khi $-m=\pm 2$ .

Khi một trong hai đồ thị chứa tham số $m$, phương trình hoành độ giao điểm trở thành một phương trình có tham số. Với hàm bậc ba $y=x^3-3x+m$ giao với trục hoành ($y=0$), phương trình hoành độ giao điểm là $x^3-3x+m=0$, tức $x^3-3x=-m$. Đây chính là dạng "tách tham số": đặt $g(x)=x^3-3x$, phương trình trở thành $g(x)=-m$ — số nghiệm bằng số lần đường thẳng ngang $y=-m$ cắt đồ thị $y=g(x)$. Vì $g$ có cực đại $g(-1)=-1+3=2$ và cực tiểu $g(1)=1-3=-2$, đường ngang $y=-m$ cắt $g$ ba lần khi nằm giữa hai giá trị này ($-2<-m<2$, tức $-2<m<2$), cắt một lần khi nằm ngoài ($-m<-2$ hoặc $-m>2$, tức $m>2$ hoặc $m<-2$), và cắt hai lần (một điểm kép) khi $-m=\pm 2$.

Trường hợp cắt hai lần ở trên xứng đáng nhìn kỹ hơn, vì nó không phải hai giao điểm "bình thường" như trường hợp ba nghiệm. Khi $-m$ đúng bằng một giá trị cực trị (chẳng hạn $-m=2$ ), đường thẳng ngang $y=-m$ đi qua đúng điểm cực đại của $g$ ; tại đó đường thẳng không cắt qua đồ thị mà chỉ tiếp xúc rồi quay lại theo cùng phía, vì bản thân điểm cực đại là nơi $g$ đổi chiều tăng giảm, giống hệt cách một đường thẳng ngang chạm đúng đỉnh một quả đồi mà không sang bên kia. Nghiệm tại điểm tiếp xúc này là nghiệm kép: về mặt đại số nó lặp lại hai lần khi phân tích nhân tử, nhưng về mặt hình học chỉ là một điểm chung duy nhất. Cộng thêm một điểm cắt qua bình thường ở nhánh còn lại, tổng cộng có hai điểm phân biệt trên hình dù phương trình có ba nghiệm nếu tính cả bội. Phân biệt tiếp xúc với cắt qua là kỹ năng em đã gặp ở bài đọc đồ thị trước, nay dùng lại đúng chỗ cho bài toán tương giao có tham số, một ví dụ nữa cho thấy hai kỹ năng khảo sát và đọc đồ thị luôn song hành với nhau trong suốt khoá học này.

Trường hợp cắt hai lần ở trên xứng đáng nhìn kỹ hơn, vì nó không phải hai giao điểm "bình thường" như trường hợp ba nghiệm. Khi $-m$ đúng bằng một giá trị cực trị (chẳng hạn $-m=2$), đường thẳng ngang $y=-m$ đi qua đúng điểm cực đại của $g$; tại đó đường thẳng không cắt qua đồ thị mà chỉ tiếp xúc rồi quay lại theo cùng phía, vì bản thân điểm cực đại là nơi $g$ đổi chiều tăng giảm, giống hệt cách một đường thẳng ngang chạm đúng đỉnh một quả đồi mà không sang bên kia. Nghiệm tại điểm tiếp xúc này là nghiệm kép: về mặt đại số nó lặp lại hai lần khi phân tích nhân tử, nhưng về mặt hình học chỉ là một điểm chung duy nhất. Cộng thêm một điểm cắt qua bình thường ở nhánh còn lại, tổng cộng có hai điểm phân biệt trên hình dù phương trình có ba nghiệm nếu tính cả bội. Phân biệt tiếp xúc với cắt qua là kỹ năng em đã gặp ở bài đọc đồ thị trước, nay dùng lại đúng chỗ cho bài toán tương giao có tham số, một ví dụ nữa cho thấy hai kỹ năng khảo sát và đọc đồ thị luôn song hành với nhau trong suốt khoá học này.

Cách làm tương đương và trực tiếp hơn — không cần đổi biến — là so sánh ngay hai giá trị cực trị của chính hàm $y=x^3-3x+m$ : đặt $h(x)=x^3-3x+m$ , ta có $h'(x)=3x^2-3$ , cực trị tại $x=\pm 1$ với $h(-1)=2+m$ và $h(1)=-2+m$ . Phương trình $h(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt khi $h(-1)$ và $h(1)$ trái dấu, tức $(2+m)(m-2)<0 \iff m^2<4 \iff -2<m<2$ ; có đúng một nghiệm khi $h(-1)$ và $h(1)$ cùng dấu, tức $m^2>4 \iff m<-2$ hoặc $m>2$ . Hai cách cho cùng kết luận.

Cách làm tương đương và trực tiếp hơn — không cần đổi biến — là so sánh ngay hai giá trị cực trị của chính hàm $y=x^3-3x+m$: đặt $h(x)=x^3-3x+m$, ta có $h'(x)=3x^2-3$, cực trị tại $x=\pm 1$ với $h(-1)=2+m$ và $h(1)=-2+m$. Phương trình $h(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt khi $h(-1)$ và $h(1)$ trái dấu, tức $(2+m)(m-2)<0 \iff m^2<4 \iff -2<m<2$; có đúng một nghiệm khi $h(-1)$ và $h(1)$ cùng dấu, tức $m^2>4 \iff m<-2$ hoặc $m>2$. Hai cách cho cùng kết luận.

Kỹ thuật tách tham số và so sánh cực trị ở trên áp dụng cho MỌI đường thẳng ngang $y=k$ giao với một đồ thị cố định, không chỉ riêng trục hoành $y=0$ . Với đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1 của chương này (cực đại $2$ tại $x=0$ , cực tiểu $-2$ tại $x=2$ ), đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $k$ nằm thực sự giữa hai giá trị cực trị đó, tức $-2<k<2$ — không cần giải lại phương trình bậc ba mỗi lần đổi giá trị $k$ , chỉ cần so sánh với hai mốc cực trị đã biết trước.

Kỹ thuật tách tham số và so sánh cực trị ở trên áp dụng cho MỌI đường thẳng ngang $y=k$ giao với một đồ thị cố định, không chỉ riêng trục hoành $y=0$. Với đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1 của chương này (cực đại $2$ tại $x=0$, cực tiểu $-2$ tại $x=2$), đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $k$ nằm thực sự giữa hai giá trị cực trị đó, tức $-2<k<2$ — không cần giải lại phương trình bậc ba mỗi lần đổi giá trị $k$, chỉ cần so sánh với hai mốc cực trị đã biết trước.

Giao điểm của y=x^3-3x và y=x: giải x^3-3x=x được ba nghiệm x=0, x=2, x=-2

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm giao điểm của

y=x^3-3x

và

y=x

Tìm giao điểm của $y=x^3-3x$ và $y=x$

1
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị $y=x^3-3x$ và đường thẳng $y=x$ .
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị $y=x^3-3x$ và đường thẳng $y=x$.
2
Ta có $x^3-3x=x \iff x^3-4x=0$ .
Ta có $x^3-3x=x \iff x^3-4x=0$.
3
Phân tích $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$ . Suy ra $x(x-2)(x+2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-2$ .
Phân tích $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$. Suy ra $x(x-2)(x+2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-2$.
4
Với $y=x$ : $x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=2\Rightarrow y=2$ ; $x=-2\Rightarrow y=-2$ .
Với $y=x$: $x=0\Rightarrow y=0$; $x=2\Rightarrow y=2$; $x=-2\Rightarrow y=-2$.
5
Thay lại vào $y=x^3-3x$ : tại $x=2$ , $y=8-6=2$ (khớp); tại $x=-2$ , $y=-8+6=-2$ (khớp). Vậy ba giao điểm là $(0;0)$ , $(2;2)$ và $(-2;-2)$ .
Thay lại vào $y=x^3-3x$: tại $x=2$, $y=8-6=2$ (khớp); tại $x=-2$, $y=-8+6=-2$ (khớp). Vậy ba giao điểm là $(0;0)$, $(2;2)$ và $(-2;-2)$.

Ví dụ

Tìm

m

để

y=x^3-3x+m

cắt trục hoành tại đúng một điểmTìm $m$ để $y=x^3-3x+m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm

1
Tìm tất cả giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3x+m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Tìm tất cả giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3x+m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm.
2
Ta có $h'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ , $h'(x)=0 \iff x=\pm 1$ . Cực đại $h(-1)=-1+3+m=2+m$ ; cực tiểu $h(1)=1-3+m=m-2$ .
Ta có $h'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, $h'(x)=0 \iff x=\pm 1$. Cực đại $h(-1)=-1+3+m=2+m$; cực tiểu $h(1)=1-3+m=m-2$.
3
Đồ thị cắt trục hoành đúng một lần khi hai giá trị cực trị cùng dấu, tức $(2+m)(m-2)>0$ .
Đồ thị cắt trục hoành đúng một lần khi hai giá trị cực trị cùng dấu, tức $(2+m)(m-2)>0$.
4
Ta có $(2+m)(m-2)=m^2-4>0 \iff m^2>4 \iff m<-2$ hoặc $m>2$ .
Ta có $(2+m)(m-2)=m^2-4>0 \iff m^2>4 \iff m<-2$ hoặc $m>2$.
5
Với $m=3>2$ : $h(-1)=5>0$ , $h(1)=1>0$ , cùng dấu dương — đúng một nghiệm, khớp dự đoán. Với $m=0$ (không thuộc tập nghiệm): $h(-1)=2>0$ , $h(1)=-2<0$ , trái dấu — ba nghiệm, đúng như đã loại ở bước trên.
Với $m=3>2$: $h(-1)=5>0$, $h(1)=1>0$, cùng dấu dương — đúng một nghiệm, khớp dự đoán. Với $m=0$ (không thuộc tập nghiệm): $h(-1)=2>0$, $h(1)=-2<0$, trái dấu — ba nghiệm, đúng như đã loại ở bước trên.
6
Vậy $m<-2$ hoặc $m>2$ thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Vậy $m<-2$ hoặc $m>2$ thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm.

Họ đồ thị y=x^3-3x+m: tham số m tịnh tiến đồ thị lên xuống, làm thay đổi số giao điểm với trục hoành

Ví dụ

Tìm

k

để đường thẳng

y=k

cắt đồ thị

(C): y=x^3-3x^2+2

tại ba điểm phân biệtTìm $k$ để đường thẳng $y=k$ cắt đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ tại ba điểm phân biệt

1
Cho đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1. Tìm tất cả giá trị của $k$ để đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.
Cho đồ thị $(C): y=x^3-3x^2+2$ đã khảo sát ở Bài 1. Tìm tất cả giá trị của $k$ để đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.
2
Từ bảng biến thiên đã lập ở Bài 1: cực đại $y_{CD}=2$ tại $x=0$ , cực tiểu $y_{CT}=-2$ tại $x=2$ .
Từ bảng biến thiên đã lập ở Bài 1: cực đại $y_{CD}=2$ tại $x=0$, cực tiểu $y_{CT}=-2$ tại $x=2$.
3
Đường thẳng ngang $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $k$ nằm giữa hai giá trị cực trị: $y_{CT}<k<y_{CD}$ , tức $-2<k<2$ .
Đường thẳng ngang $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $k$ nằm giữa hai giá trị cực trị: $y_{CT}<k<y_{CD}$, tức $-2<k<2$.
4
Với $k=0$ (thuộc khoảng vừa tìm): phương trình $x^3-3x^2+2=0$ đã được giải ở Bài 1 với ba nghiệm $x=1,\,1\pm\sqrt{3}$ — đúng ba nghiệm phân biệt, khớp dự đoán.
Với $k=0$ (thuộc khoảng vừa tìm): phương trình $x^3-3x^2+2=0$ đã được giải ở Bài 1 với ba nghiệm $x=1,\,1\pm\sqrt{3}$ — đúng ba nghiệm phân biệt, khớp dự đoán.
5
Vậy $-2<k<2$ thì đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.
Vậy $-2<k<2$ thì đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên kiểm tra dấu bất đẳng thức khi giải điều kiện tích hai biểu thức lớn hơn 0 — nhầm $(2+m)(m-2)>0$ thành khoảng $-2<m<2$ thay vì đúng phải là $m<-2$ hoặc $m>2$ (dấu của tích một tam thức dạng $m^2-4$ chỉ dương ở ngoài khoảng nghiệm, không phải bên trong). Sai lầm thứ hai là quên thử lại nghiệm bằng cách thay một giá trị $m$ cụ thể để kiểm tra chiều đúng của bất phương trình.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giao điểm hai đồ thị: giải $f(x)=g(x)$ để tìm hoành độ, thay lại để tìm tung độ. Với hàm bậc ba có tham số $m$ giao trục hoành, so sánh dấu hai giá trị cực trị $(y_{CD}+m)$ và $(y_{CT}+m)$ (hoặc tách $m$ riêng rồi so với cực trị của phần không chứa $m$ ): trái dấu cho ba nghiệm, cùng dấu cho một nghiệm, một giá trị bằng 0 cho hai nghiệm.

Giao điểm hai đồ thị: giải $f(x)=g(x)$ để tìm hoành độ, thay lại để tìm tung độ. Với hàm bậc ba có tham số $m$ giao trục hoành, so sánh dấu hai giá trị cực trị $(y_{CD}+m)$ và $(y_{CT}+m)$ (hoặc tách $m$ riêng rồi so với cực trị của phần không chứa $m$): trái dấu cho ba nghiệm, cùng dấu cho một nghiệm, một giá trị bằng 0 cho hai nghiệm.

Khoá học này đã đi qua trọn vẹn ba họ hàm và hai kỹ năng lớn: khảo sát (từ công thức ra hình) và đọc/biện luận (từ hình hoặc điều kiện tham số ra tính chất). Hai bài ôn tập cuối khoá sẽ luyện lại toàn bộ nội dung này trong các đề tổng hợp, đúng dạng em sẽ gặp ở phần luyện đề của Course 10.