Bài học

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thực hiện được trọn vẹn năm bước khảo sát cho một hàm bậc ba: tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên, xác định điểm đặc biệt và vẽ đúng hình dạng đồ thị — không chỉ tính lẻ tẻ từng đại lượng như ở Course 1.

Kiến thức nền cần nhớ

Course 1 đã cho em công cụ để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của một hàm số từ dấu của $f'(x)$ (same-grade bridge). Bài này dùng lại đúng công cụ đó, chỉ khác ở mục đích: thay vì dừng lại sau khi liệt kê cực trị, em đi tiếp đến bước cuối cùng — vẽ ra hình dạng thật của đồ thị, và đọc lại thông tin từ chính hình dạng ấy.

Khởi động

Hai học sinh cùng tính đúng bảng biến thiên của một hàm bậc ba nhưng vẽ ra hai hình khác hẳn nhau: một bạn vẽ đồ thị đi lên rồi xuống rồi lên, bạn kia vẽ ngược lại. Bảng biến thiên đúng chỉ cho một hình đúng duy nhất — vậy quy tắc nào quyết định hình dạng cuối cùng?

Kiến thức trọng tâm: năm bước khảo sát hàm bậc ba

Với hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ ( $a\neq 0$ ), tập xác định luôn là $\mathbb{R}$ — không có mẫu, không có căn, nên bước đầu tiên gần như miễn phí. Bước quan trọng là tính $y'$ , một tam thức bậc hai, rồi giải $y'=0$ để tìm điểm tới hạn. Tuỳ theo $y'=0$ vô nghiệm, có nghiệm kép hay có hai nghiệm phân biệt, hàm bậc ba sẽ đơn điệu trên toàn trục số hoặc có đúng hai điểm cực trị — không bao giờ có ba điểm cực trị trở lên, vì $y'$ là tam thức bậc hai chỉ có tối đa hai nghiệm.

Với hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$), tập xác định luôn là $\mathbb{R}$ — không có mẫu, không có căn, nên bước đầu tiên gần như miễn phí. Bước quan trọng là tính $y'$, một tam thức bậc hai, rồi giải $y'=0$ để tìm điểm tới hạn. Tuỳ theo $y'=0$ vô nghiệm, có nghiệm kép hay có hai nghiệm phân biệt, hàm bậc ba sẽ đơn điệu trên toàn trục số hoặc có đúng hai điểm cực trị — không bao giờ có ba điểm cực trị trở lên, vì $y'$ là tam thức bậc hai chỉ có tối đa hai nghiệm.

Khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ , dấu của $y'$ đổi qua từng nghiệm theo đúng quy luật đổi dấu của tam thức bậc hai: cùng dấu với $a$ ở hai bên ngoài, trái dấu với $a$ ở khoảng giữa hai nghiệm (khi hệ số bậc hai của $y'$ , tức $3a$ , cùng dấu $a$ ). Chiều biến thiên rút ra từ đó quyết định toàn bộ hình dạng: đoạn đi lên — đi xuống — đi lên tạo ra chữ N nghiêng quen thuộc khi $a>0$ , còn khi $a<0$ hình dạng lật ngược thành đi xuống — đi lên — đi xuống. Đây chính là điều bài khởi động hỏi: hai bạn vẽ khác nhau vì một bạn quên xét dấu của $a$ trước khi suy ra chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị.

Khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$, dấu của $y'$ đổi qua từng nghiệm theo đúng quy luật đổi dấu của tam thức bậc hai: cùng dấu với $a$ ở hai bên ngoài, trái dấu với $a$ ở khoảng giữa hai nghiệm (khi hệ số bậc hai của $y'$, tức $3a$, cùng dấu $a$). Chiều biến thiên rút ra từ đó quyết định toàn bộ hình dạng: đoạn đi lên — đi xuống — đi lên tạo ra chữ N nghiêng quen thuộc khi $a>0$, còn khi $a<0$ hình dạng lật ngược thành đi xuống — đi lên — đi xuống. Đây chính là điều bài khởi động hỏi: hai bạn vẽ khác nhau vì một bạn quên xét dấu của $a$ trước khi suy ra chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị.

Giới hạn tại vô cực của hàm bậc ba luôn là $+\infty$ hoặc $-\infty$ ở cả hai phía, không bao giờ tiến về một giá trị hữu hạn — nên hàm bậc ba không có tiệm cận. Dấu của $a$ quyết định chiều: $a>0$ thì $\lim_{x\to-\infty} y=-\infty$ và $\lim_{x\to+\infty} y=+\infty$ ; $a<0$ thì ngược lại. Sau khi có bảng biến thiên và hai giới hạn này, em tính thêm giao điểm với Oy (thay $x=0$ ) và giao điểm với Ox nếu phương trình $y=0$ giải được bằng nhân tử — nếu không nhân tử được đẹp, chỉ cần khẳng định số nghiệm bằng dấu của giá trị cực trị, không bắt buộc tìm nghiệm chính xác.

Giới hạn tại vô cực của hàm bậc ba luôn là $+\infty$ hoặc $-\infty$ ở cả hai phía, không bao giờ tiến về một giá trị hữu hạn — nên hàm bậc ba không có tiệm cận. Dấu của $a$ quyết định chiều: $a>0$ thì $\lim_{x\to-\infty} y=-\infty$ và $\lim_{x\to+\infty} y=+\infty$; $a<0$ thì ngược lại. Sau khi có bảng biến thiên và hai giới hạn này, em tính thêm giao điểm với Oy (thay $x=0$) và giao điểm với Ox nếu phương trình $y=0$ giải được bằng nhân tử — nếu không nhân tử được đẹp, chỉ cần khẳng định số nghiệm bằng dấu của giá trị cực trị, không bắt buộc tìm nghiệm chính xác.

Sơ đồ khảo sát dùng chung cho mọi hàm số trong khoá này — bước tiệm cận chỉ áp dụng khi hàm có mẫu

Với hàm bậc ba, bước 4 (tiệm cận) luôn bị bỏ qua vì không có tiệm cận — em sẽ thấy bước này thật sự cần thiết ở bài khảo sát hàm phân thức của chương sau.

Hai ví dụ dưới đây đều rơi vào trường hợp $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt, nhưng đề thi cũng có thể cho một hàm bậc ba mà $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép — khi đó hàm không có điểm cực trị nào và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ $\mathbb{R}$ . Chẳng hạn với $y=x^3+x$ , ta có $y'=3x^2+1$ ; vì $3x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $y'=3x^2+1>0$ với mọi $x$ , tức hàm đồng biến trên toàn trục số và đồ thị chỉ có một nhánh đi lên duy nhất, không hề gấp khúc. Nhận ra sớm trường hợp này giúp em không mất công tìm hai điểm cực trị không tồn tại.

Hai ví dụ dưới đây đều rơi vào trường hợp $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt, nhưng đề thi cũng có thể cho một hàm bậc ba mà $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép — khi đó hàm không có điểm cực trị nào và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Chẳng hạn với $y=x^3+x$, ta có $y'=3x^2+1$; vì $3x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $y'=3x^2+1>0$ với mọi $x$, tức hàm đồng biến trên toàn trục số và đồ thị chỉ có một nhánh đi lên duy nhất, không hề gấp khúc. Nhận ra sớm trường hợp này giúp em không mất công tìm hai điểm cực trị không tồn tại.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=x^3-3x^2+2

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$

1
Ta có hàm số cho bởi đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ .
Ta có hàm số cho bởi đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$.
2
Xét $y'=3x^2-6x=3x(x-2)$ . Ta có $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ . Vì hệ số bậc hai của $y'$ là $3>0$ , $y'>0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$ , $y'<0$ trên $(0;2)$ .
Xét $y'=3x^2-6x=3x(x-2)$. Ta có $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số bậc hai của $y'$ là $3>0$, $y'>0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, $y'<0$ trên $(0;2)$.
3
Suy ra hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$ , nghịch biến trên $(0;2)$ . Do đó hàm đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CD}=2$ , đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}=8-12+2=-2$ .
Suy ra hàm số đồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, nghịch biến trên $(0;2)$. Do đó hàm đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CD}=2$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}=8-12+2=-2$.
4
Vì $a=1>0$ : $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ .
Vì $a=1>0$: $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
5
Với $x=0$ : $y=2$ (giao Oy, cũng chính là điểm cực đại). Xét phương trình $x^3-3x^2+2=0$ : thử $x=1$ ta được $1-3+2=0$ , vậy $x=1$ là một nghiệm. Chia đa thức: $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$ . Phương trình $x^2-2x-2=0$ có $\Delta'=1+2=3>0$ nên có thêm hai nghiệm $x=1\pm\sqrt{3}$ . Vậy đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
Với $x=0$: $y=2$ (giao Oy, cũng chính là điểm cực đại). Xét phương trình $x^3-3x^2+2=0$: thử $x=1$ ta được $1-3+2=0$, vậy $x=1$ là một nghiệm. Chia đa thức: $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$. Phương trình $x^2-2x-2=0$ có $\Delta'=1+2=3>0$ nên có thêm hai nghiệm $x=1\pm\sqrt{3}$. Vậy đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
6
Ta có điểm cực đại $(0;2)$ nằm phía trên trục hoành, điểm cực tiểu $(2;-2)$ nằm phía dưới — hai giá trị cực trị trái dấu, nhất quán với việc phương trình $y=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt vừa tìm được ở bước trên. Vậy đồ thị đi lên từ $-\infty$ , đạt cực đại tại $(0;2)$ , đi xuống tới cực tiểu tại $(2;-2)$ , rồi đi lên tới $+\infty$ , cắt trục hoành đúng ba lần.
Ta có điểm cực đại $(0;2)$ nằm phía trên trục hoành, điểm cực tiểu $(2;-2)$ nằm phía dưới — hai giá trị cực trị trái dấu, nhất quán với việc phương trình $y=0$ có đúng ba nghiệm phân biệt vừa tìm được ở bước trên. Vậy đồ thị đi lên từ $-\infty$, đạt cực đại tại $(0;2)$, đi xuống tới cực tiểu tại $(2;-2)$, rồi đi lên tới $+\infty$, cắt trục hoành đúng ba lần.

Đồ thị y=x^3-3x^2+2 với hai điểm cực trị và một giao điểm với Ox đã đánh dấu

Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y=-x^3+3x^2-4

(hệ số

a<0

)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-4$ (hệ số $a<0$)

1
Ta có $D=\mathbb{R}$ .
Ta có $D=\mathbb{R}$.
2
Xét $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ . Ta có $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ . Vì hệ số bậc hai của $y'$ là $-3<0$ , $y'<0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$ , $y'>0$ trên $(0;2)$ — ngược chiều so với ví dụ trước vì đổi dấu $a$ .
Xét $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Ta có $y'=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số bậc hai của $y'$ là $-3<0$, $y'<0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, $y'>0$ trên $(0;2)$ — ngược chiều so với ví dụ trước vì đổi dấu $a$.
3
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$ , đồng biến trên $(0;2)$ , nghịch biến trên $(2;+\infty)$ . Do đó cực tiểu tại $x=0$ với $y_{CT}=-4$ , cực đại tại $x=2$ với $y_{CD}=-8+12-4=0$ .
Hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty)$. Do đó cực tiểu tại $x=0$ với $y_{CT}=-4$, cực đại tại $x=2$ với $y_{CD}=-8+12-4=0$.
4
Vì $a=-1<0$ : $\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$ , $\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ — đúng như quy tắc đã nêu ở phần lý thuyết, ngược hẳn với ví dụ 1.
Vì $a=-1<0$: $\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ — đúng như quy tắc đã nêu ở phần lý thuyết, ngược hẳn với ví dụ 1.
5
Với $x=0$ : $y=-4$ (giao Oy). Xét $-x^3+3x^2-4=0$ , tức $x^3-3x^2+4=0$ . Thử $x=-1$ : $-1-3+4=0$ , vậy $x=-1$ là nghiệm. Chia đa thức: $x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2$ . Vậy phương trình có nghiệm đơn $x=-1$ và nghiệm kép $x=2$ .
Với $x=0$: $y=-4$ (giao Oy). Xét $-x^3+3x^2-4=0$, tức $x^3-3x^2+4=0$. Thử $x=-1$: $-1-3+4=0$, vậy $x=-1$ là nghiệm. Chia đa thức: $x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2$. Vậy phương trình có nghiệm đơn $x=-1$ và nghiệm kép $x=2$.
6
Nghiệm kép $x=2$ trùng đúng với hoành độ điểm cực đại vừa tìm ( $y_{CD}=0$ tại $x=2$ ) — đây không phải trùng hợp: tại nghiệm kép, đồ thị tiếp xúc trục hoành thay vì cắt qua, và một điểm mà đồ thị vừa chạm Ox vừa là cực trị chính là dấu hiệu của nghiệm kép. Vậy đồ thị đi xuống từ $+\infty$ , đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ , đi lên chạm trục hoành tại điểm cực đại $(2;0)$ , rồi đi xuống về $-\infty$ .
Nghiệm kép $x=2$ trùng đúng với hoành độ điểm cực đại vừa tìm ($y_{CD}=0$ tại $x=2$) — đây không phải trùng hợp: tại nghiệm kép, đồ thị tiếp xúc trục hoành thay vì cắt qua, và một điểm mà đồ thị vừa chạm Ox vừa là cực trị chính là dấu hiệu của nghiệm kép. Vậy đồ thị đi xuống từ $+\infty$, đạt cực tiểu tại $(0;-4)$, đi lên chạm trục hoành tại điểm cực đại $(2;0)$, rồi đi xuống về $-\infty$.

Đồ thị y=-x^3+3x^2-4: điểm cực đại (2;0) trùng với một giao điểm kép trên Ox

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là quên xét dấu của hệ số $a$ trước khi suy ra chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị — nhiều em mặc định mọi hàm bậc ba đều "đi lên ở bên phải", trong khi điều đó chỉ đúng khi $a>0$ . Sai lầm thứ hai là dừng lại sau bảng biến thiên mà không tính giao điểm với Ox, khiến hình vẽ tuy đúng chiều nhưng lệch vị trí cắt trục.

Sai lầm thường gặp nhất là quên xét dấu của hệ số $a$ trước khi suy ra chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị — nhiều em mặc định mọi hàm bậc ba đều "đi lên ở bên phải", trong khi điều đó chỉ đúng khi $a>0$. Sai lầm thứ hai là dừng lại sau bảng biến thiên mà không tính giao điểm với Ox, khiến hình vẽ tuy đúng chiều nhưng lệch vị trí cắt trục.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khảo sát hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ : tập xác định luôn là $\mathbb{R}$ ; $y'$ là tam thức bậc hai nên có tối đa hai điểm cực trị; dấu của $a$ quyết định chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị; không có tiệm cận.

Khảo sát hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$: tập xác định luôn là $\mathbb{R}$; $y'$ là tam thức bậc hai nên có tối đa hai điểm cực trị; dấu của $a$ quyết định chiều đi lên hay đi xuống ở hai đầu đồ thị; không có tiệm cận.

Dạng bài khảo sát hàm bậc ba xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT dưới hai hình thức: hoặc yêu cầu khảo sát trọn vẹn như hai ví dụ trên (thường ở phần tự luận các năm trước), hoặc chỉ hỏi một chi tiết rút ra từ bảng biến thiên — số điểm cực trị, số nghiệm của $y=0$ , chiều biến thiên trên một khoảng cho trước — dưới dạng trắc nghiệm hoặc đúng/sai. Nắm chắc quy trình đầy đủ ở bài này là nền để làm nhanh và chính xác dạng hỏi rút gọn đó.

Dạng bài khảo sát hàm bậc ba xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT dưới hai hình thức: hoặc yêu cầu khảo sát trọn vẹn như hai ví dụ trên (thường ở phần tự luận các năm trước), hoặc chỉ hỏi một chi tiết rút ra từ bảng biến thiên — số điểm cực trị, số nghiệm của $y=0$, chiều biến thiên trên một khoảng cho trước — dưới dạng trắc nghiệm hoặc đúng/sai. Nắm chắc quy trình đầy đủ ở bài này là nền để làm nhanh và chính xác dạng hỏi rút gọn đó.

Bài tiếp theo khảo sát một họ hàm khác cũng không có tiệm cận nhưng có tới bốn bậc: hàm trùng phương. Điểm khác biệt lớn nhất là số điểm cực trị có thể là một hoặc ba, tuỳ vào dấu của hai hệ số $a$ và $b$ .